数_海无涯_形_作舟――_三角函数的图像和性质_教学案例

1、“数"海无涯“形"作 “三角函数的图像和性质”教学案例 何先飞(南京市浦口区中等职业学校,江苏南京211800版试验修订本还是目前江苏省高一年级统一使用的苏教版试验教科书.都为落实新课程理念提供r丰富的新题材。但由于知识的客观性。传统的教学题材依旧是新教材的主体内个最普遍又最值得关注的问题。在我看来新课程的最高目标是使学生通过高中阶段的数学学习,能获得适应现代生活和的需要。新教材在概念的引入时.更强调从学生了解、熟悉的实际问题引入,更注意了解该数学概念的背景。我就必修4第 舟1.3.2节。三角函数的图像与性质(第一课时”的教学作了一 番尝试。一、教材分析从最初的人民教育出版

2、社高级中学课本到过渡的人教版 试验修订本,再到目前使用的苏教版实验教材.“三角函数的 图像与性质”是三套教材的必修内容之一。在教材处理方法 上,前两者几乎一样,这里我称前两套为老教材,后者为新教 材。新老教材在教学内容上一致,都包含正弦函数、余弦甬数 图像的推导及应用两块。在教材处理方法上则有三点不同。第(5写出答案(略。事实上。(1与(2式是相同的,但(1式是从要求的数值 反推心去.是由困导果的综合法.它要求找出一个能用四则运 算符号把已知数联系起来的综合运算式子,这样难于思考,而 且一次性地计算出问题的结果来,学生也难以做到。而(2式 是利用未知数X,将有关的量用含未知数的代数式表示出来,

3、 然后依题意列出方程,最后将未知数求出来.这是执果索因的 分析法,便于思考,易于列式,且将列方程与解方程分开进行, 可以分散难点,化难为易,从而体现出代数法的优越性,促使 学生迅速适应并掌握代数法.顺利地实现从算术法到代数法 的飞跃。二、教会学生寻找出相等关系的方法仔细分析一个列方程解应用题的一般步骤可以发现. 列方程巾最关键的是怎样在题目中正确“找出相等关系” 来。相等关系有两类:一类是题目中给出的条件等量关系, 这类关系对应问题中的主要量在一般情况下是变化的.属 于“动态”问题,另一类表示各种量之间内存规律同有的等 量关系。这类关系对应的问题中主要量在一般情况下处于 稳定状态,属于“静态”

4、问题。因此,寻找相等关系的_般方 法有如下两种。1.对于“动态”问题中的相等关系.可在发生变化的事物 中找,对于发生量变的事物。可以从“量”的方面来找.也可以 从“质”的方面来找。如应用题中的和、差、倍、分问题,等积变 形问题,追及口J题.相遇问题,货物调配问题,等等。都可以从量 的方面按发展的顺序找到相等关系。例如:有含盐15%的盐水20千克,要使盐水含盐10%,要加 水多少千克?分析:这是一个溶液稀释问题。在这个题目中,由于原来 的盐水中只加入了水,没有加盐。因此盐水所含盐的重量在加 水前后是没有变化的,这就是说该应用题中含有下面的一个 相等关系:加水前含盐重量=加水后含盐重量。2.对于“

5、静态”问题中的相等关系.可在事物之间的内在 联系中找到相等关系.因为处在“静态”问题中的几个事物之 间,必然存在着一种数量上的联系.我们要根据这种数量上的 联系找到相等关系。例如:一个两位数,十位数上的数比个位上的数小l。十位 与个位上的数的和是这个两位数的1/5.求这个两位数。分析:这道题rl含有这样的一个相等关系:十位上的数+ 72 个位上的数=(1/5×两位数.三、使学生掌握解应用题常用的分析方法1.代数式法。在正确分析题意的基础上.将题目中的数量 关系,各数量之间的关系,用代数式依次表示出来。再根据各 代数式之间的内存联系。找到相连关系。列出方程。此法常用 于工程问题、比例调

6、配问题、数字问题等。2.示意图法。对于一些较直观的问题,可将题目中的条件 之间的关系,用简单明了的示意图表示出来,然后根据图示中 有关的数量的内存联系,找到相等关系,列出方程。3.表格法。将题目中的有关数量及其关系填在事先设计 的一个表格内。然后再根据表格逐层分析.找到各量之间的内 存联系。从而找到相等关系,列出方程。对以上三种常用的分析方法。在教学时,要通过具体题目 教给学生具体的分析方法。通过训练,要求学生能对具体问题 作具体的分析,并能灵活运用,不要死记硬背。四、通过典型例题。引导学生逐步掌握设未知数的技巧 设未知数是列方程解应用题的第一步,也是至关重要的 一步。在一个题目中,如果含有多

7、个未知数而又只允许设一个 未知数时,到底选哪个未知数来设元,初学者往往难以掌握, 教师应利用一些典型例题教会学生设元的方法。一般来讲,设 未知数有以下两种方法。1.直接设元法。即在题目里问什么。就设什么为未知数。 这样设元后,只要能求出所列方程的解.就可以直接得题目所 求。在多数情况下,都可以采用直接设元法来设元。2.间接设元法。有些问题中,若采用直接设元法.则不易 列出方程。这里可考虑采取间接设元法,即通过间接的桥梁作 用,来达到求解的目的。例如,按比例分配问题.和、差、倍、分 问题,整数的组成问题.等等,均可用间接设元法来解元。有些问题既可以采用间接设元法,又可采用直接设元法, 从而形成一

8、个问题的多种解法。对于这样的问题.教师可要求 学生将所有的解法都做出来,然后从这些解法中选一种最优 的解法。总之,在用方程解决问题的教学中,不要以题形分类,应 强调对实际问题的数量关系的分析.突出解题策略.特男要借 助图表,示意网整体把握和分析题意,寻找相等关系,并注意 检验和解释方程解的合理性。教学中还要给学生足够的探索 和交流的空间,鼓励学生多采用尝试、猜想、验证的方法去解 决问题,从而体现“做数学”的思想。万方数据一.章头图给出本章核心概念或原理的直观形象.在内容处理 上,力图做到“入口浅,寓意深”;第二,与过去的教材相比。新 教材强调r三角函数是一种“数学模型”.注意从数学模型的 角度

9、来认识三角函数.突出数学思想方法在数学模型建构中 的作用;第三,与以往的三角函数内容相比较,本章提出了对 三角甬数作为刻j田i现实世界的数学模型的认识的要求,加强 了对借助单位圆理解i角甬数的概念、性质。以及通过建立三 角函数模型解决实际问题等内容。普通高中数学课程标准(实验指出:三角函数是基本 初等函数.它是描述周期现象的重要数学模型.在数学和其他 领域中具有重要的作甩。学生将通过实例,学习正弦函数、余 弦函数图像的推导及应用.体会i角函数在解决具有周期变 化规律的问题中的作用。标准对其中的一些内容作了新的 处理.在要求上也有所变化,在课堂教学中准确把握角函数 的教学要求。是落实新课程理念。

10、提高课堂效率,实现有效教 学的关键点。研究函数的性质常常以直观的图像为基础,对于 这点学生已有蝗经验。通过观察函数的图像,从图像的特征获 得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用。 正弦甬数、余弦函数的教学也是如此。先研究它们的图像.在 此基础上再利用图像来研究它们的性质。显然,数形结合是深 入研究甬数性质的基本要求。二、设计方案与意图【教学i维目标】通过实例演示.让学生经历作出图像过程及方法.通过对 图像的感知,形成正弦曲线的初步认识.进而探索正弦曲线准 确的作法。养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新 问题时善于调动所学过的知识.较好的运用新旧知识之间的 联系,提高分析问

11、题、解决问题的能力。通过学习本节,理解正弦函数、余弦函数图像的I田.法。借 助图像变换。了解函数之间的内在联系。通过j角函数图像的 三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图带来 的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图像。通过学习本节.让学生体会数学中的网形美,体验善于动 手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦。渗透南抽象到 具体的思想.加深数形结合思想的认识。理解动与静的辩证关 系.树立科学的辩证唯物主义观。【重点难点】教学重点:正弦函数、余弦函数的图像。教学难点:将单位圆巾的正弦线通过平移转化为正弦函 数图像上的点:正弦函数与余弦函数图像间的关系。【课时安排】第一课时。【教

12、学过程】教学教学程序设计 设计意图 环节(教师根据亭头图我们给出奉章核心概 通过实例演示,设 问念:i角函数的慨念和直观形象。前面我 置问题情境.让学 题们研究r:角龋数的周期性通过J:常课 ,1.时正弦图像的初 情的学习,我们初步感受到用函数l冬形束研 步感知.进而探索 境 究函数的什质直观性。为了更加“观地研 正弦曲线准确的作 究j角蛹数的性质,可以先作出它们的图 法。像。怎样作出正弦甬数的图像呢?问题一三角f 自数与二角!fi数线的联系 问题一通过对二三 二角函数 三角甬数线 角函数线的复习, 正弦函数sina:MP正弦线MP 体会数与形的联 余弦蛹数翌坠 =OM余弦线OM 系,进fjj

13、引导学生 正切函数tana :AT正切线AT 画出止弦函数的图厂。 姘一像,iL学生体会数 学lI的图形美,体 验善于动于.操作、 弋 少I“i 2合作探究的学习方 ,法带来的成功愉 悦。问题二如何作出正弦函数的图像? 问题一:解决的途 径是从利用译位圆 j 1-t舯,_坩ttl 中正弦线求解决。 学 饿狳。等h 以水平线为x轴, 生 吲鼍泌沙。 圆心。为坐标原点 活建正直角坐标系, 动 有序数时(X,Y也 町以表示点P,用 作法:(几何作法 光滑l|j线把这蝗正 (1在A角坐标系的x轴=任取一点 弦线的终点P连结 O。,以O,为圆心作单f圆。从00。与x轴 起来.就得到E弦 的交点A起,把Q

14、O.分成12等份,过QO, 函数y=hinx.x O,21r的图像。 上各点作x轴的垂线,可得对应于0,詈,÷,.孚,L,21r等角的正弦线;(2把x轴f:O一21r这一段分成12等份.把角x的正弦线向右平行移动,使正弦线的起点与x轴f:的点x重合;(3用光滑曲线把这蝗正弦线的终点连结起来,就得到止弦函数Y=sinx,x0,2:的图像。三、教学后记1.本符课操作性强.学生活动量大。新课从实验演示人 手.形成图像的感知后.升级问题,探索正弦曲线准确的画法, 形成理性的认识。问题设置层层深入,引导学生发现问题,解 决问题.并对方法进行归纳总结.体现r新课标“以学生为主 体.教师为主导”的课簧教学理念。2.本节课所J坦j的图像较多.能迅速的准确的画H函数图 像对初