第十七章 振动

1、第第1717章章 振动振动17.1简谐振动的描述17.2简谐运动的动力学17.3简谐运动的能量17.4阻尼振动17.5 受迫振动 共振 17.6 一维同频率的简谐运动的合成 振动是一种重要的运动形式振动是一种重要的运动形式 1. 1. 狭义振动：物体在某一位置做往复运动。狭义振动：物体在某一位置做往复运动。 2.2.广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量 ( (如位移、电流等如位移、电流等) ) 在某一数值附近反复变化。在某一数值附近反复变化。表现的形式表现的形式机械振动机械振动：位移：位移x x 随时间随时间t t的往复变化的往复变化电磁振动电磁振动：电场、磁场等电磁量随：电场、磁场等电磁

2、量随t t的往复变化的往复变化微观振动微观振动：如晶格点阵上原子的振动：如晶格点阵上原子的振动 振动分类振动分类受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动( (简谐振动简谐振动) )无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动 简谐振动：简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位物体运动时，离开平衡位置的位移移( (或角位移或角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )规律随时间变化。规律随时间变化。17.117.1简谐振动的描述简谐振动的描述（运动学定义）（运动学定义） 表达式表达式：x(t)=Acos( t+ ) 简谐振动简

3、谐振动x x随随t t按正弦（或余弦）变化。按正弦（或余弦）变化。 特点：特点： (1) (1)等幅振动等幅振动 (2)(2)周期振动周期振动 x x( (t t)=)=x x( (t+Tt+T）6）17.117.1简谐振动的描述简谐振动的描述二、描述谐振动的特征量二、描述谐振动的特征量 1. 1. 振幅（振幅（A A ）: : 振子离开平衡位置的最大位移的绝对振子离开平衡位置的最大位移的绝对值。值。2. 2. 周期（周期（T T ）：振子作一次完全振动所经历的时间。）：振子作一次完全振动所经历的时间。4. 4. 相位相位 ： 描述简谐振动状态的物理量。描述简谐振动状态的物理量。()t5. 5

4、. 初相位初相位 ：t t =0 =0 时的相位。时的相位。- - , , 3. 3. 频率（频率（ ）：单位时间内物体所作完全振动的次数。）：单位时间内物体所作完全振动的次数。 = 1/T (Hz)22T7）)cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122tt12同相同相 ) 12 (12k反相反相（频率相同）（频率相同）6. 6. 相位差相位差：17.117.1简谐振动的描述简谐振动的描述212kx2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相xoA1-A1A2- A2x1x2Tt同相同相 (a) (a) 两同相振动的振动曲线两同相振动的振动曲线 (b) (b) 两反相振动的

5、振动曲线两反相振动的振动曲线 同相和反相同相和反相 当当 = = 2 2k k ， ( ( k k = 0,1,2,)= 0,1,2,)， 两振动两振动步调相同步调相同，称，称同相同相。 当当 = = (2(2k k+1)+1) ， ( k( k= 0,1,2,= 0,1,2,)， 两振动两振动步调相反步调相反，称，称反相反相。三、三、 简谐振动的描述方法简谐振动的描述方法1. 1. 解析法解析法由由 x x= =A Acos(cos( t t+ + ) )已知表达式已知表达式 A A、 、 已知已知A A、 、 表达式表达式三角函数问题。三角函数问题。2.2.曲线法曲线法 已知振动曲线已知振

6、动曲线 A A、 、 已知已知A A、 、 振动振动曲线曲线oA-AtxT 用振动曲线描述简谐振动用振动曲线描述简谐振动 = /211）17.117.1简谐振动的描述简谐振动的描述位移时间曲线（位移时间曲线（x x- -t t曲线）的形成曲线）的形成tAxcost 3.3.旋转矢量法旋转矢量法 （相量图法相量图法）投影到投影到Y Y, ,描述描述Y Y方向的谐振动方向的谐振动投影到投影到X X轴轴, , 描述描述X X方向方向的谐振动的谐振动xAY投影到任意轴？投影到任意轴？xOx 逆时针逆时针 旋转矢量旋转矢量: :一长度等于振幅一长度等于振幅A的矢量的矢量 在纸平面在纸平面A可直观地领会简

7、谐振动可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的表达式中各个物理量的意义。意义。 内绕内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。xA t对对应应量量A t+ x旋旋转转矢矢量量长长度度角角速速度度初初角角夹夹角角投投影影圆频率圆频率位移位移初相位初相位相位相位* *旋转矢量与振动的对应量旋转矢量与振动的对应量0tt 15）17.117.1简谐振动的描述简谐振动的描述)cos(tAxotxoxT TA AA A- -A A- -A A思考思考: 在相量图上怎样表现在相量图上怎样表现位相同相、

8、反相？位相同相、反相？ 1 2 xo 1 2 xo例例1.1. 用向量图法，按图写振动方程。用向量图法，按图写振动方程。x(m)t (s) 10 -5t (s) 1021x(m)2 mtx)32cos(10 mtx)2cos(10已知已知: :旋转矢量旋转矢量A=0.04m, A=0.04m, =4=4 (rad/s),(rad/s),如图所示如图所示例例2.2. 由旋转矢量法画振动曲线，写由旋转矢量法画振动曲线，写振动方程。振动方程。 /4xot (s)x(m)211611610.04-0.04mtx)44cos(04. 0习题习题 一质点沿一质点沿x x轴作简谐振动，轴作简谐振动，A=0.

9、12mA=0.12mT=2sT=2s，x x0 0=0.06m=0.06m, ,此时刻质点向此时刻质点向x x正向正向运动。运动。求求:(1):(1)运动方程运动方程 (2)(2)t=T/4t=T/4时时x x (3) (3) 第一次第一次通过平衡位置的时刻通过平衡位置的时刻t t 解：解：(1) x=Acos( t+ ) =0.12cos( t /3 /3) m(2)把把t=T/4 代入代入xAT23f f /3 /3 /2 /2 5/65/6)(6565stf (3) (3) 第一次通过平衡位置的时刻第一次通过平衡位置的时刻t t fft=0( s)t=5/6 ( s)21）17.217.

10、2简谐运动的动力学简谐运动的动力学)cos()( tAtx) sin( tAv)cos(2 tAa 位移、速度、位移、速度、加速度都随时间作加速度都随时间作简谐振动。简谐振动。一、简谐振动的速度和加速度一、简谐振动的速度和加速度22）17.217.2简谐运动的动力学简谐运动的动力学速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前/2/2；加速度的相位比速度的相位超前加速度的相位比速度的相位超前/2/2 与位移反相。与位移反相。)(costAx)()(mmcoscostataa)2/(cos)(sinmmtvtvvxotaotovt23）17.217.2简谐运动的动力学简谐运动的动力学 二、

11、谐振动的特征及其表达式二、谐振动的特征及其表达式 水平弹簧振子水平弹簧振子由运动学：由运动学：xdtxda222xmtdxdmmaF222牛二定律：牛二定律：即：作简谐振动的质点所受合外力与它即：作简谐振动的质点所受合外力与它对于平衡位置的位移成正比，方向相反。对于平衡位置的位移成正比，方向相反。F F称为回复力。称为回复力。反过来：受到指向平衡位置的力的质点作反过来：受到指向平衡位置的力的质点作简谐简谐振动振动。 即：受合外力为即：受合外力为F=F=kxkx的质点做的质点做简谐振动简谐振动。由牛二定律：由牛二定律： F=ma 得得22dtxdmkx )0( ,022kxmkdtxd微分学上，

12、必有：微分学上，必有：x xAcos(t+Acos(t+ ）简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程其中其中kmTmk22,A A、 由初始条件决定。由初始条件决定。 、T T是固有角是固有角频率、固有周期频率、固有周期由谐振子由谐振子的固有物的固有物理性质决理性质决定定22020vxA00 xvtg结论：结论： 一个谐振子一个谐振子(确定确定m,k)，只能，只能有一个固定的频率，但可以有无数的有一个固定的频率，但可以有无数的A 和和 ，即可做无数种振动。，即可做无数种振动。0t初始条件： cos0Ax sin 0Av（运动学方程）动力学方程）)cos(0222tAxxdtxdX 任意物理量任

13、意物理量简谐振动的普遍表示形式简谐振动的普遍表示形式28）例题例题1 1 一质量为一质量为0.2kg0.2kg的质点作谐振动，其振动表的质点作谐振动，其振动表达式为达式为: : x =0.60 cos(5t/2)(SI)。求求: :(1)(1)质点的初速度；质点的初速度；(2)(2)质点在正向最大的位移一半处所受的力。质点在正向最大的位移一半处所受的力。解解 已知已知A=0.60m, = 5s-1, 2 （1 1）由）由 )sin(:)cos( tAvtAx得得m s100 ,sin5 0.60 sin()3.002tvA （2 2）2 mk xmkxF2 当当N2211,0.2 50.601

14、.5()222AxFmA 17.217.2简谐运动的动力学简谐运动的动力学 待物体静止后待物体静止后, ,再向再向下拉下拉y0 0=0.1=0.1m后放手后放手, ,测得测得T=2T=2s。求：。求：(1)(1)振动方程振动方程; ;Om1 . 0Y(2)(2)首次过平衡位置时首次过平衡位置时物体物体的速度的速度; ;(3)(3)第二次经过平衡位置上方第二次经过平衡位置上方0.050.05m处处的加速度的加速度; ;(4)(4)物体从平衡位置下方物体从平衡位置下方0.050.05m处向上处向上运动到平衡位置上方运动到平衡位置上方0.050.05m处所需处所需的最的最短时间。短时间。( (大家做

15、练习交）大家做练习交）习题习题解：解：00.100vy12sT(1)(1)求振动方程求振动方程; ;0tg001yv mtY cos1 . 000y舍舍myyA1 . 0022020vm1 . 0OY首次过平衡位置的时刻：首次过平衡位置的时刻：t t = =T T/4 =1/2/4 =1/221sin1 . 0tA sinv(2)(2)首次过平衡位置时物体的速度首次过平衡位置时物体的速度; ;11 . 0msm1 . 0OY23t(3)(3)第二次经过平衡位置上方第二次经过平衡位置上方0.050.05m处处的加速度的加速度; ;m1 . 0m05. 0OYtAacos23t3cos1 . 02

16、a2493.0ms(4)(4)物体从平衡位置下方物体从平衡位置下方0.050.05m处向上处向上运动到平衡位置上方运动到平衡位置上方0.050.05m处所需处所需的最的最短时间。短时间。m05. 0m05. 0OYfft2T=223/t st31 17.3 17.3 简谐振动的能量简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)(1) 动能动能221 mEk )(sin2122 tkAoxmx0 = 00,21min2max kkEkAE2411kAdtETETttkk 2)sin(21tAmmk2(2) 势能势能221kxEp )(cos2122 tkA情况同动能。情况同动能。pppE

17、EE,minmax(3) 机械能机械能221kAEEEpk 结论结论:简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒xtTEk(1/2)kA2okpEE EpE)(sin2122tkAEk36）简谐振动的能量特点简谐振动的能量特点17.317.3简谐运动的能量简谐运动的能量37）17.6 17.6 一维同频率的简谐运动的合成一维同频率的简谐运动的合成一、分振动一、分振动 : :二、二、 合振动合振动 : :)cos()cos(2211tAtA)tcos(Ax )cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(111tAx)cos(222tAx2

18、1xxx38）17.6 17.6 一维同频率的简谐运动的合成一维同频率的简谐运动的合成Px20 x10AMx00Ot = 0A11M1A1A2x2020M2A2Px2x2x1xOt = tM1M2MAA1A239）17.6 17.6 一维同频率的简谐运动的合成一维同频率的简谐运动的合成2,1,0, ,212kk212122212AAAAAAA2,1,0, 1)(212kk)tcos(Ax )cos(212212221AAAAA1. 1. 两振动同相，即相位差两振动同相，即相位差合振动振合振动振幅最大。幅最大。2. 2. 两振动反相，即相位差两振动反相，即相位差合振动振幅最小。合振动振幅最小。212122212AAAAAAA40）17.6 17.6 一维同频率的简谐运动的合成一维同频率的简谐运动的合成x1tOx2tOxtO同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成A1A2A=A1+A2例)62cos(04. 01tx)62cos(03. 02tx)66cos(2212221AAAAA= 0.066/cos03. 06/cos04. 06/sin03. 06/sin04.