三角形的四心问题

1、三角形的四心问题三角形的四心问题 河高高三数学组河高高三数学组 王波王波温馨寄语：惜时、勤奋、自信、专心，才会开出成功之花。学习目标：学习目标：了解三角形四心的概念及性质， 能根 据题目的特点，利用向量知识，结合向量的运算，结合图形处理一些简单问题。课课 型：型：复习课学学 法：法：练习归纳、总结巩固。学习重点学习重点：三角形四心的概念及性质 学习难点：学习难点：问题的转化，知识的综合应用引言引言：l在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。在了解三角形的“四心”定义及向量的运算的基础上读懂向量的几何意义。下面从三个方面加以阐述：l1. 三角形的“四心”定义和性质l2.与三角

2、形的“四心”有关的一些常见的向量关系式；l3. 与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用；一、要点梳理1.三角形重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点。 性质：性质：(1).重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 (2).重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 (3).重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 (4).在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数三角形内心：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 1. 三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 2.r=2S/(a+b+c) 3.在RtABC中，C=90，r=(a+b-c

3、)/2 性质：性质：三角形外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 到三角形三个顶点的距离相等到三角形三个顶点的距离相等 三角形垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。 性质：性质：性质：性质：二、精讲精练二、精讲精练 A.A.重心重心 外心外心 垂心垂心 B.B.重心重心 外心外心 内心内心 C C. .外心外心 重心重心 垂心垂心 D D. .内心内心 重心重心 外心外心C ,0, ,.1依次是则，且所在平面内，且在已知例PNOPCPAPBPCPBPANCNBNAOCOBOAABC

4、PNO【练习】：若点O是 的外心， ，则 的内角C等于（ ） A. B. C. D. ABC（ ）0COOBOAABC456012090D 例过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E若 , ， 则 的值.（ ） A.4 B.3 C.2 D.1ADx AB AEyAC 0 xy 11xy B【练习】（2005年全国（年全国（I）卷第）卷第15题）题）三角形三角形的外心为的外心为O,两条边上的高的交两条边上的高的交点点H， , 则实则实数数m = _. 1)(OCOBOAmOH例3、点 是 的重心 ， 若 ，则 最小值为（ ）GABC),(,RACABAG120 ,2oAAB AC |A

5、G32当堂检测当堂检测OP OCCB CA R. 若O是平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，且满足( )则P点的轨迹一定过ABC的( )A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心A2(2003年全国高考题)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心3已知O为ABC内一点,要使222OAOBOC 的值最小,O的位置必须为ABC的( )A.外心 B.重心 C.垂心 D.内心的的轨迹一定通过则ABCP),0),|(ACACABABOAOPBB5（2004年全国奥赛题 ）设O点在的内部，且有230OAOBOC ，则ABC的面积与AOC的面积的比为( )A. 2B. 32C. 3D.