最新一元二次方程解法讲义

1、学习-好资料龙文教育学科教师辅导讲义课题一兀一次方程的解法教学目标1 .理解一元一次方程及具有美概念2 .会解一元二次方程，并能熟练运用四种方法去解重点、难点1. 一元二次方程的判定，求根公式2. 一元二次方程的解法与应用考点及考试要求1. 一兀二次方程的定义，一般形式，配方式2 .熟练一元二次方程的解法能灵活运用：直接开平法，配方法.，因式分解，公式法去3 . 一元二次方程在实际问题中的综合应用教学内容传点一、概念(1)定义：T只含有丁个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一二次方程。(2) 一般表送式：ax +bx + c=0(a=0)注：当b=0时可化为ax2+c=0这是

2、一二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2; (3)是整式方程.要判断一个方程是否为F二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为ax2 +bx+c-0(a#0)的形式，则这个方程就为F二次方程.(4)将方程化为T形式：ax2 +bx+c=0 时，应满足(aw0)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：该项系数不为“ 0”；未知数指数为“ 2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的F二次方程的是()A 3(x+1 2 =2(x+1 ) B2+-2 = 0

3、C ax +bx+c = 0D x +2x = x +1x x变式：当k时，关于x的方程kx2 +2x - x2 +3是一元二次方程。例2、方程(m +2 km+3mx+1 - 0是关于x的一兀一次方程，则 m的值为。忻点二、方程的解|概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。更多精品文档学习-好资料应用：利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知2y2 +y3的值为2,则4y2 +2y+1的值为。例2、关于x的一兀二次方程(a 一2 X2+x +a2 -4 = 0的一个根为0,则a的值为。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程ax2

4、 +bx+c = 0(a # 0 )的系数满足a + c=b,则此方程必有一根为 o说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“ -1 ”巧解代数式的值。例4、已知a,b是方程x2 -4x + m = 0的两个根，b, c是方程y28y +5m = 0的两个根，则 m的值为 o例 5、已知 a#b, a2 2a1 =0 , b22b1 = 0,求 a+b=变式：若 a22a1=0, b22b1=0,则 a+P 的值为。b a6、方程(a -b x2 +(b-cx+c-a=0的一个根为()A -1B 1 Cb-c D -a7、若 2x +5y -3 =0,WJ 4x 32y =0

5、考点三、方程丽T(1)基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。(2)方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法类型一、直接开方法：就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如 x2 =m(m之0 )其解为：x = ±'m对于(x +a 2 =m , (ax + m 2 =(bx +n f等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程：(12x28=0;(2) (3x+1)2=7(311 - xf -9=0;(4) 9(x-1 2 =16(x+2f(5) 9x2 -24x+16 = 11例2、解关于x的方程：ax2-b = 03.

6、下列方程无解的是()A. x2 3=2x2-1 B. x -2 2 =0 C. 2x 3=1-x D. x2 9 =0类型二、配方法更多精品文档学习-好资料基本步骤:1.先将常数c移到方程右边 2.将二次项系数化为 13.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式:在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明x2-2x+3的值恒大于0, 10x2+7x-4的值恒小于0。例2、已知x、y为实数，求代数式x2+y2 +2x 4y+7的最小值。变式：若t =2 -V-3x2 +12x-9 ,则t的最大值为,最小值为

7、。例3、已知x2 +y2 +4x_6y +13=0, x、y为实数，求xy的值。211.1变式 1:已知 xx 4 = 0,贝(J x +=.x xx变式 2:如果 a 十b + vcTi_1 =4V732 +2v'b+1-4,那么 a+2b3c 的值为 例4、分解因式：4x2+12x+3类型三、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积 的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到 的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法(x -x1 jx -x2 )=0 = x = x1，或x = x2

8、方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”,方程形式：如(ax + m 2 = (bx + n 2 , (x +a jx +b )= (x + a jx + c ) , x2 + 2ax + a2 = 0分解方法：提公因式，利用平方差与完全平方公式，十字相乘法 针对练习： 例 1、2x(x-3)=5(x-3 附根为(.5_一 一Ax= B x=3 C243 238x y+6x y -2x y (提公因式)22例 2.(1) 4a -169b (平方差)(2)更多精品文档2_(4) a +6a +9 (完全平方式)一_22(5 ) 12xy+x +36 y (完全平方式)2(6) (

9、a+b) +5(a+b)+4 (十字相乘法)p27pq+12q2 (十字相乘法)(8) 5n(2mn)22(n 2m)(3) (m+n) -4(m -n)(平万差)(提公因式)例 3、若(4x+y j +3(4x+y ) 4 =0,则 4x+y 的值为。例4、方程x2 +|x| -6 =0的解为()A. x1二-3,X2 =2 B.x二 3,x2 =-2C.x1二3,x?=-3D.x1二2,x?=-2例 5、解方程：x类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值,当判别式大于等于零时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式，就可得到方程的根。 -条件：(a#0,且b2 4a

10、c 之0 X2)公式：x = , (a =0,且b24ac之 0 )2a典型例题：例1、选择适当方法解下列方程： 3(1 +x2 =6.(x +31x +6 )=8. x2 4x+1 =0 3x2 -4x 1=0 3仅1 j(3x +1 )=(x -1 j(2x +5)说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。例2、在实数范围内分解因式：(1) x2 -2<2x -3；(2) -4x2+8x-1. 2x2-4xy-5y2说明：对于二次三项式ax2 -bx-c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式、这例1、已知一个

11、直角三角形的两直角边长恰是方程2x2-8x+ 7=0的两根，则这个直角三角形的斜边是()A. 、3B.3C.6 D.6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握a + b、a-b、ab、a2+b2 之间的运算关系.例2、解方程组： +2(73+1 x+2并+4 =0例6、已知2x2 3xy 2y2 =0，贝(J上上的值为x -y变式：已知 2x2 -3xy -2y2 = 0,且 x>0, y>。，® -xy 的值为x- y例7、解下列方程(1) (2x- 3) 2 = (3x- 2) 2(4) 5m 2 - 17m + 14=0(5) (xb2 =

12、04x+14x-55- 22+x+1)(x 2 +x + 12)=422 o x+23(6) 2x2 + (3a-b)x- 2a2+3ab-例8、解关于x的方程x2+x - 2+k(x 2+2x)=0(对k要讨论)种方法首先令ax2 bx c=0,求出两根，再写成ax2 bx c = a(x x1)(x X2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应用主要内容：求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：例1、已知x2 -3x +2=0,求代数式 "3 -x+1的值。x - 1例2、如果x2+x-1=0,那么代数式x3 +2x2-7的

13、值。例3、已知a是一元二次方程x2 -3x +1=0的一根，求a -2，-511的值。a 1说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：能对已知式进行灵活的变形;能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幕化为低次幕，最后求解。例4、用两种不同的方法解方程组,"十6,x2 -5xy+6y2=0.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。 但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根与系数的关系 前提：忖于ax2+bx+c=0而言，当满足a#0、之0时，才能用韦达定理主要内容：x1

14、 +x2 =-b,x1x2 =ca a应用：惟体代入求值。典型例题：'x + y = 10, ;xy=24;2 22(2)x +y =10,x y =2.说明：一些含有x+y、x2+y2、xy的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利 用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.例3、已知关于x的方程k2x2 +(2k 1 x+1 =0有两个不相等的实数根x1,x2,(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不存在，请说 明理由。例4、当k取何值时，方程x24mx+4x+3m22m

15、 + 4k = 0的根与m均为有理数?例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为 1)时，小明因看错常数项，而 得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正 确解应该是多少？ 例 6、已知 a#b, a2 _2a_1 =0 , b22b1 = 0,求 a+b=变式：若a22a1=0, b2-2b-1=0,则刍+b的值为b a例7、已知% P是方程x2 -x-1=0的两个根，那么口4+32=.测试题目：、选择题1 .解方程：3x2+27=0 得().(A)x=±3(B)x=-3(C)无实数根 (D)方程的根有无数个2

16、.方程(2-3x) + (3x-2) 2=0 的解是().221马=-Ji = - M = 一(A)x 2=-1(B)2,3(C)x i=X2= j(D)2二,x 2=13.方程(x-1)2=4的根是().(A)3,-3(B)3,-1(C)2,-3(D)3,-24.用配方法解方程:正确的是().(A)1工=5 h A1 -21(B)3J42±73一,x =93(C)l5. 兀89,原方程无实数解(D)38 一 8原方程无实数解次方程一公+ 2 -2 = 0用求根公式求解，先求a,b,c的值，正确的是().(A)a=1,b= 一一一二 (B)a=1,b=- y1,c=2(C)a=-1,

17、b=-1 ,c=-2(D)a=-1,b= 一 y 二，c=26.用公式法解方程：3x2-5x+1=0,正确的结果是(5±7135 +后(A)(B)(C)(D)都不对、填空7.方程9x2=25的根是,另一个根是8.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为学习-好资料次方程的条件为10 .关于 x 的方程(m22.用因式分解法、配方法、分式法解方程 2x+5x-3=0.-m-2)x 2+mx+n=0H11 .方程(x+2)(x-a)=0 和方程x2+x-2=0有两个相同的解,贝U a=三、

18、用适当的方法解下列关于x和y的方程更多精品文档12. (x+2) (x-2) =1.13.(3x-4)2=(4x-3) 214.3x 2-4x-4=0.15.x2+x-1=0.16.x 2+2x-1=0.17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.18.2x2- 一 产； = 丁;丁19.x2-bx-2b 2=0.20.a 2x2+2abx+b2- 4=0(a 丰 0).21.(b-c) x2- (c-a ) x+ (a-b) =0 (aw c)(A)因式分解法(B)配方法(C)公式法23.解方程:(1) ''' ' 1'曲'威-"+川” = ogso)学习-好资料24.解关于 x 的方程：x2-2x+1-k (x2-1 ) =025.已知 |2m-3|=1 ,试解关于 x 的方程 3mx (x+1) -5 (x+1) (x-1 ) =x226、某商店经销一种销售成本为每千克 40元的