空间角与距离知识点与题型归纳总结

1、空间角与距离知识点与题型归纳总结知识点精讲空间角的定义和范围（1） 两条异面直线所成角 e的范围是（0,当e =时，这两条异面直线互相垂直。 22（2） 斜线AO与它在平面a内的射影AB所成角0叫做直线与平面所成的角。平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一直线所成角中最小的角，如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角为一；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么就是直线和2平面所成的角为0.直线和平面所成的角的范围为 0,;斜线和平面所成的角的范围为 （0, ）.22（3） 从一条直线出发的两个半平面所组成的角叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱为

2、l ,两个平面分别为a , 3的二面角记做a -l - 3 ,二面角的范围是0,（4） 一个平面垂直于二面角的公共棱l ,且与两个半平面的交线分别是射线OA, OB,则/AOB叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面垂直。二、点到平面距离的定义点到平面的距离即点到它在平面内的正射影的距离。题型归纳及思路提示题型1空间角的计算思路提示求解空间角如异面直线所成角，直线与平面所成角， 二面角的平面角的大小； 常用的方法有：（1）定义法；（2）选点平移法；（3）垂线法：（4）垂面法；（5）向量法。一、异面直线所成的角方法一：通过选点平移法将异面直线所成的角转化为共

3、面相交的两直线的夹角来求解，但要注意两条异面直线所成角的范围是 （0,。2a和b的夹r rr uu1/ bu| |a|b|方法二：向量法，设异面直线 a和b的方向向量为a和b,利用夹角余弦公式可求得r r角大小a ,且 cos =| cos a,b |例8.59直三柱ABC A1B1C1中，若/ BAC=90 , AB=AC=A%,则异面直线BA与Ag所成的角等于（）A.30 B.45 C.60 D.90 分析 通过选点平移法将异面直线所成的角转化为相交直线的夹角，在三角形中利用余弦定理来求解图 8-218解析 如图8-218所示，连接ABi,设AB I AB O，过点。作OD/ A OD /

4、 ACi交BiCi于点D ,连接AD ,故AOD(或其补角)为异面直线 ABi与ACi所成的角，设2AB AC AAi a, AB AC AA a ,则 ACi . 2a ,ODi.2a ABACi ,OA 222- 2a _Ai D2i2a ,-BiCi -，故 AOD为正三角形，22AOD60，即异面直线8人与AC所成的角等于60 ,故选C.变式i如图8-2i9所示，在长方体 ABCD AB1clD1中，ABAD i,AA 2,M是棱CCi的中点，求异面直线 AM和CiDi所成的角的正切值B C图 S-219变式2如图8-220所示，在三柱ABC AB1cl中，H是正方形AABB的中心，A

5、A 2j2,CH平面AAiBiB,CiH J5，求异面直线AC与AB1所成角的余弦值图 8-220例8.60 如图8-221所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MDL平面ABCD ,且MD=NB= 1 , E 为B C的中点，求异面直线 N E与A M所成角的余弦值.分析利用向量法求解异面直线所成的角.解析解法一：如图8 2 2 2所示，以 D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz,依题意，得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E(，,1,0),2uur 所以NE因为cos1 uuuu(2,0fAMSuur uuuu

6、NE, AMULLT UUUUNEgAM -UUU UUdU- |NE|AM| 、5101010所以异面直线 NE与AM所成角的余弦值为 3。10解法二：对几何体细心观察，正三棱锥B-AN的三条侧棱两两垂直，它分明是正方体的一角，从这个视角出发，又联系到 MD，平面ABCD, ABCD又恰好是正方形（正方体的一个面），如此分析，应当想到已知形体是正方体的一部分，于是“补全”正方体是合乎情理的。如图8 2 2 3所示， 连接BQ,易知BQ/ AM,设BQANE=F,则/NFQ即为AM与NE所成的角， 在正方体 BC-QN 中，E 为 BC 中点，NQ = 1 , 由 BEF s NQF , 从而

7、cos NFQNF2 FQ2 NQ22FN FQ叵,即为所求。10变式1 如图8 2 2 4所示,已知正方体 ABCD ABGDi ,点E是正方形BCCR 的中心，点G是棱AA1的中点,设Ei,Gi分别是E, G在平面DCCiDi内的正投影。求异面直线 EG与EA所成角的正弦值。变式2如图8-225所示，在四锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PAL底面ABCD,E是PC的中点。已知AB=2,AD= 2j2,PA=2.求异面直线 BC与AE所成的角的大小二、直线与平面所成的角方法一：（垂线法）直线与平面所成的角就是直线与此直线在平面内的射影直线所成的角.过直线上一点作出平面的垂线，得到垂足，

8、而射影直线就通过斜足与垂足，因此作出平面的垂线是必要的一步.具体步骤是：先作出该角：在直角三角形中求解.方法二：（向量法）直线与平面所成的角为直线的方向向量与平面的法向量所成的锐角的余角rr如图8-226所示，设直线l的方向向量为11 ,平面”的法向量为n,直线l和平面a所成的角为0 ,则d,再求出此点与斜足间的距离1,设直线+ 8 = ，或- 0 = 一，因为0的取值范围是0, ,所以sin 222方法三：（点面距法）利用相关方法求出直线上一点到平面的距离和平面所成角的大小为 8 ,则sin d.1例8.61如图8-227所示，二面角 1的大小是60 ,线段AB , B 1,AB与1所成角为

9、30 ,则AB与平面3所成的角的正弦值是 .分析作出直线AB在平面B的射影，射影与 AB所成的角即为AB与平面所成的角，再求出其正弦值.解析 如图8-228所示，过点A作AH 于点H,过点H作GH，1于点G,连接AG ,由三垂线定理得1LAG,故/ AGH为二面角1 的平面角，得/ AGH=60 ,不妨设 AG=2,则AH = J3 ,HG=1,又AB与_2,AH 31所成角为30。，故AB 4,在RtAABH中，sin ABH ，故AB与平面B所成sin30AB 4的角的正弦值是立4变式1如图8-229所示，在棱长为2的正方体 ABCD AB1clD1中，点E是BC1的中点.求DE与平面AB

10、CD所成角的正切值图 8-229变式2如图8-230所示，在三棱锥 V-ABC中，VC，底面 ABC, AC，BC,点D是AB的中点，且AC=BC=一）.当 变化时，求直线BC与平面VAB所成角的取值范围2变式3如图8-231所示，在RtAAOB中，/ AOB=1斜边AB=4,RtAAOC可以通过RtAAOB以AO为 轴旋转得到，且二面角 B-AO-C是直二面角，动点 D在斜边AB上，求CD与平面AOB所成角正切的最大值.三、二面角的平面角求二面角的平面角的方法有：（1）根据定义，即在公共棱上取一点分别在两个半平面内作棱的垂线，两 条垂线所成的角即为二面角的平面角；（2）利用三垂线定理及其逆定

11、理；（3）当二面角由两个等腰三角形构成时，利用底边的额两条中线；（4）求正棱锥侧面夹角时利用三角形全等；（5）在直棱柱中求截面与底面夹角时，用二面角的面积射影定理 S射 S斜|cos |,其中 为二面角的大小；（6）利用空间向量求解二面ur uu角，转化为两个平面的法向量夹角，公共棱不明显的二面角常用此法来求，但应注意法向量n1 , n2的夹角与二面角 的大小是相等或互补的(需要根据具体情况判断想等或互补)。例8.62如图8-232所示，在直三棱柱 ABC AB1C1中，侧面ABC 侧面AABBi。若直线AC与平面ABC所成的角为 ，二面角A BC A的大小为 ，是判断 与 的大小关系，并予以

12、证明.分析 利用定义找出线面角与二面角的平面角，并比较其大小解析如图8-233所示，过A在平面 AABB1内作AD，AB于点D,则由平面 A1BC，侧面A1ABB1 ,且平面n 侧面 AABBi= AB ,得 AD，侧面 ABC ,连接 CD,则知 / ACD=，由 BC，AA , BC, AD, AAin AD=A, AA1, AD 平面 A1AB ,得 BC,平面 A1AB ,故 BC A1B , BCLAB.所以/ ABA1 是二面角A BC A的平面角，即ABA1=，于是在RtAADC中，sinD，于是在RtAADB中，sin-AD .ACAB不难知AB AC,因此sin sin ，又

13、0, 万，所以 变式 1 如图 8-234 所示，在四面体 OABC 中，OC，OA, OC，OB,/AOB=120 ,且 OA=OB=OC= 1,求面角O-AC-B的平面角的余弦值少3 f jfj r J / J J JT* li,I图 8-234变式2如图8-235所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SDL平面ABCD ,SD=2a,AD=72a(a 0)。点 E是 SD上的点，且 DE= a(02)。设二面角C-AE-D的大小为 ，直线BE与平面ABCD所成角为，若tan gtan1,求 值。图变式3如图8-236所示，正方形 ABCD和四边形 ACEF所在的平面互相垂直，CEXAC

14、, EF/AC,AB J2,CE EF 1,二面角 A-BE-D 的大小.图 8-236例8.63 如图8-237所示，在长方体ABCD-A1B1cl D1中，E,F分别是BC, CC1上的点，CF=AB= 2CE ,AB:AD: AA=1:2:4，求二面角 A ED F的正弦值.AB EC 1解析 如图8-238所不，连接AC,设AC ADE=N,因为 BC CD 2所以 RtADCERtACBA,从而/ CDE= / BCA,又由于/ CDE+ ZCED= 90 ,故/BCA+ ZCED= 90故 AC，DE,又 DECF, AC n CF=C , 则 DE，平面 CFN ,得 DE，FN

15、 ,同理得DEL AN,ECAC故 ANF为二面角a ED F的平面角,易知，RtACNERtACBA,所以 CNBC又AC 石，所以CN在 RtCNF 中，NFCF 2 CN2305在Rt/XAAN 中，an Jan2 aa,24 30连接 AC1, A1F ,在 RtA AC1F 中，A1FC1F2 714,-AN2 FN2 AF2所以 sin ANF = -5 3,所以求二面角Ai ED F的正弦值为在AiNF 中，cos ANF 丝一FN一工 2ANgFN图 8-237 翼 8-233变式 1 如图 8-239 所示，四棱锥 S-ABCD 中，SD，平面 ABCD,AB/DC,AD，D

16、C , AB=AD=1 , DC = SD=2 , E为棱SD上的一点，平面 EDC，平面SBC,求二面角 A-DE-C的大小。变式2如图8-240所示，已知正三棱柱 ABC AB1cl的各棱长都是4, E是BC的中点，动点F在侧棱CCi上，且不与点C重合，设二面角 C-AF-E的大小为 ，求tan的最小值。a 国 3-240变式3如图8-241所示，在三棱锥 P-ABC中，AB=AC , D为BC的中点，POL平面ABC,垂足。落 在线段 AD上.若BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角 B-AP-C的大小.R匡 8-241例8.64如图8-242所示，已知四棱锥 P-ABCD ,

17、底面ABCD是棱形，PAL平面 ABCD , PA=AB=2, / ABC=60 , E, F分别是BC, PC的中点，求二面角 E-AF-C的余弦值.分析 利用空间向量法求解二面角的平面角。解析 有AE, AD, AP两两垂直，以 A为坐标原点，建立如图8-243所示的空间直角坐标系A-xyz,又3 1E, F 分别是 BC, PC 的中点，所以 A(0,0,0), C(V3,1,0), P(0,0, 2) , E(g,0,0), F(, ,1),所以2 2uuir uur 3 i uuur _urAE (V3,0,0), AF(,-,1),AC(8,1,0)。设平面 AEF 的法向量为 m

18、 (k,必，后)，ur uur- x=0皿 mgAE 0 目口 2 x1 0则 ur uuur ，即mgAF 031cXi+-y1+ =022ur取乙 1,则y 2,所以m (02-1)。ur设平面AEC的法向量为 m (x2,y2,z2)取 X21 ,则 y273,40,所以 nLr uuur nJ3x2+y2=0mgAC 0 皿 2 2u uur ，则 J31mgAF 0 X2+1y2+Z2=022(1,73,0)。设二面角E-AF-C的大小为155ur r.ur r mgn15cos =cos m, n ur ”r .又二面角E-AF-C为锐二面角，故所求二面角的余弦值为|m|n|5变式

19、1如图8-244所示，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，/ DAB=60 , AB=2AD,PD，底面ABCD。若PD=AD ,求二面角 A-PB-C的余弦值.图 8-244变式2如图8-245所示，在四锥P-ABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD为棱形，AB=2 , BAD 600 ,当平面PBC与平面PDC垂直时，求 PA的长。图 fir-245变式3如图8-246所示，四棱锥 P-ABCD中，PA 平面ABCD , BC=CD=2,AC=4,ACD ACB 600,F 为 PC 的中点，AF PB.求PA的长；(2)求二面角B-AF-D的正弦值。图 8-Z46变式4

20、如图8-247所示，四棱柱 ABCD AiBiCiDi的底面ABCD是正方形，O为底面中心， OA 平面ABCD , AB AA1&,证明：AC 平面BB1D1D;(2)求平面OCB1与平面BB1D1 D的夹角 的大小。图题型2 点到平面距离的计算思路提示求解点到平面的距离，常用方法有：(1)定义法，作出点到免的垂线，垂线段的长度就是点到平面的距离，通常是借助某个直角 三角形来求解。(2)转化法，利用等体积法或者线面平行的位置关系，将点 A到平面 的距离转化为与其相 关的点B到平面 的距离。向量法，点P为平面 外一点，点Q为平面 上的任一点，n为平面 的法向量，点P到平面 的距离d | PQ.

21、n| 。|n|例 8.65 如图 8-248 所示，在三棱锥 P-ABC 中，AC=BC=2, ACB 900 ,AP=BP=AB,PC AC ,求点C到平面PAB的距离。图 8-248 图 S-249分析利用定义法直接作出点 C到平面PAB的距离。解析 如图8-249所示，取AB的中点D,连接CD,PD。因为AP=BP ,所以PD AB ,又因为AC=BC, 所以CD AB。又PD CD D，所以AB 平面PCD, AB 面APB ,所以平面PAB 面PCD。过C作CH PD,垂足为Ho因为平面PAB 面PCD PD，所以CH 平面APB。所以CH的长即为点 C到平面 PAB的距离。由于 A

22、B 平面 PCD , PC 面PCD ,所以 PC AB。又 PC AC, AC AB A,故PC 平面APB,又DC 面ABC.所以PC CD ,在直角三角形 PCD中，1 3PC CD 2 3CD= - AB 42, PD PB d6 .所以 PC ，PD2 CD2 2 .所以 CH -.2 2PD 3评注 这里直接作出点 C到平面APB的垂线CH （H为垂足），CH的长即为所求点面距离。变式1如图8-250所示，在四棱锥 O-ABCD中，底面 ABCD是边长为1的棱形，ABC 45,OA 底面ABCD ,OA=2,求点B到平面OCD的距离。变式2如图8-251所示，四棱锥 P-ABCD为

23、矩形，PA 底面ABCD , PAAB 庭,求直线AD与平面PBC的距离。图 8-251例8.66如图8-252所示，正三棱柱 ABC AiBiCi的所有棱长都为2, D为CCi的中点，求 点C到平面AiBD的距离。.4图 8-252分析利用等体积转化法求点 C到平面AiBD的距离。解析 在三角形AiBD中，BD=AiD= J5, AB 22,S A1BD J6,S BCD 1。在三棱柱中,Ai到平面BCCiBi的距离为J3。设点C到平面AiBD的距离为d。由VA1 bcd V c A1BD得1122S BCD *3S ABD d，斛得d ,所以点C到平面AiBD的距离为 。33 i22评注本

24、题利用了等体积法转化，该方法是求解点到面距离的重要方法。变 式 i 如 图 8-253 所 示， 在 四 棱 锥 P-ABCD 中PD 底面 ABCD,PD DC BC i,AB/CD, BCD 900，点 A 到平面 PBC 的距离.图 8-253变式2 如图8-254所示，三角形 BCD与三角形MCD都市边长为2的正三角形，平面 MCD平面BCD , AB 面BCD, AB 273 ,求点A到平面 MBC的距离。图 8-258例8.67如图8-255所示，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，底面是等腰直角三角形，且 AC=2 , ACB 900，侧棱AAi=2,D,E分别是CCi与AiB的

25、中点。求点 Ai到平面AED的距离。分析 利用向量法求解点到平面的距离。解析 以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系 C-xyz。如图8-256所示，A(2,0,0),B(0,2,0), D(0,0,1),E(1,1,1), Ai(2,0,2).所以 DA (2,0, 1),DE (1,1,0)，设平面的法向量为 n (x,y,z), 由 A DA,n DE 得 Xxyz00,取n (1, 1,2)，又DA； (2,0,1),所以点 Ai 到平面 AED 的距| DA1 n |42 6| n |. 63图 8-255图 B-256变式1 如图8-257所示，已知 ABCDA1B1C1D1是底面边

26、长为1的正四棱柱，O1为A1C14与B1D1的交点，若点C到平面AB1D1的距离为一，求正四梭枉 ABCDA1B1C1D1的局。3图 8-257变式2 如图8-258所示，四棱锥 P-ABCD中PA 底面ABCD ,四边形ABCD中，AD AB,AB+AD=4, CD 押,CDA 450 ,AB=AP。(1)若直线PB与平面PCD所成的角为30,求线段AB的长；(2)在线段AD上是否存在一个点 G,使得点G到点P,B,C,D的距离相等？说明理由。有效训练题1.正方体 ABCDAiBiCiDi中AB=AiA=2,AD= 1,E为CCi的中点，则异面直线 BCi与AE所成角的余弦值为（A i0A.i0B 30B.102.15 C.10D.U102.如图8-259所示，在正三棱柱ABCAiBiCi 中，AB=AiA,贝U ACi 与平面 BCCi Bi 所成角的正弦值为（A.二2B 15B.5C”4D.-633.已知两平面的法向量分别为m（0