高考专题复习第四节　复数

1、第四节复数学习要求-公众号：新课标试卷:1.通过方程的解,认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.1.复数的有关概念(1)复数的定义:形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,其中 a 是实部, b 是虚部,i是虚数单位. (2)复数的分类:复数z=a+bi(a,bR)实数(b=0),虚数(b0)(其中,当a=0时为纯虚数).(3)复数相等:a+bi=c+di a=c且b=d (a,b,c,dR). (4)共轭复数:a+bi与c+di互为共轭复数 a=c且b=-d (a,b,c,dR).

2、0;(5)复数的模:向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作 |z| 或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2+b2(a,bR). 2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b)(a,bR).(2)复数z=a+bi(a,bR) 平面向量OZ.3.复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则(i)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ; (ii)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ; (iii)乘法

3、:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i ; (iv)除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)= ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i (c+di0). (2)复数加法的运算律:复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3C,有z1+z2= z2+z1 ,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) . 知识拓展1.(1±i)2=±2i,1+i1-i=i,1-i1+i=-i.2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-

4、1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(nN*).3.z·z=|z|2=|z|2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,z1z2=|z1|z2|,|zn|=|z|n.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)方程x2+x+1=0没有解.()(2)在复数z=a+bi(a,bR)中,虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教A版必修第二册P94T1(2)改编)复数3+i1+

5、i的共轭复数是()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案C3.(新教材人教A版必修第二册P95T1(3)改编)已知复数z满足(2+i)z=1-i,其中i是虚数单位,则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D4.已知i是虚数单位,若复数z=6+7i1+2i,则|z|=. 答案175.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为. 答案2复数的有关概念1.(2020课标理,2,5分)复数11-3i的虚部是() A.-310B.110C.110D.310答案D2.(2020浙江,2,4分)已知aR,若a-1+(

6、a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1B.-1C.2D.-2答案C3.(2020吉林期末)若复数z=(1-2i)22+i,则复数z的模为()A.5B.5C.310D.52答案B由题意知z=(1-2i)22+i=1-4-4i2+i=-3-4i2+i=(-3-4i)(2-i)5=-10-5i5=-2-i,所以|z|=4+1=5,故选B.4.(2020衡水中学实验学校高三一模)已知x1+i=1-yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x+yi的共轭复数为()A.2+iB.2-iC.1+2iD.1-2i答案B由x1+i=1-yi,得x(1-i)(1+i)(1-i)=1-yi,即x2x2i=

7、1-yi,x2=1,x2=y,解得x=2,y=1,x+yi=2+i,其共轭复数为2-i,故选B.复数的运算角度一复数的乘法运算典例1(1)(2018课标理,2,5分)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i(2)若a为实数,i为虚数单位,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1B.0C.1D.2答案(1)D(2)B解析(1)(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选D.(2)(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,4a=0,a2-4=-4,解得a=0.角度二复数的除法运算典例2(1)(2020新高考,2,5分)2-i1+2

8、i=()A.1B.-1C.iD.-i(2)(2020课标,2,5分)若z(1+i)=1-i,则z=()A.1-iB.1+iC.-iD.i答案(1)D(2)D解析(1)2-i1+2i=(2-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=-5i5=-i.故选D.(2)z(1+i)=1-i,z=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i,z=i,故选D.角度三复数的综合运算典例3(1)(2018课标文,2,5分)设z=1-i1+i+2i,则|z|=() A.0B.12C.1D.2(2)若z=4+3i,则z|z|=()A.1B.-1C.45+35iD.4535i答案(1)C(2)D解析

9、(1)z=1-i1+i+2i=(1-i)2(1+i)(1-i)+2i=1-2i-12+2i=i,|z|=|i|=1,故选C.(2)由z=4+3i得|z|=42+32=5,z=4-3i,则z|z|=4535i,故选D.名师点评复数代数形式的运算问题的常见类型及解题策略1.复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的乘法,可将含有虚数单位i的项看作一类同类项,不含i的项看作另一类同类项,分别合并即可.2.复数的除法:除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.3.复数的运算与复数概念的综合题:先利用复数的运算法则化简,一般化为a+bi(a,bR)的形式,再结合相关定义解答.

10、4.复数的运算与复数几何意义的综合题:先利用复数的运算法则化简,一般化为a+bi(a,bR)的形式,再结合复数的几何意义解答.5.复数的综合运算:运用复数的四则运算法则进行运算,要注意运算顺序.1.(2020课标文,2,5分)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i答案A(1-i)4=(1-i)22=(-2i)2=4i2=-4,故选A.2.(2020天津,10,5分)i是虚数单位,复数8-i2+i=. 答案3-2i解析8-i2+i=(8-i)(2-i)(2+i)(2-i)=16-10i-15=15-10i5=3-2i.3.1+i1-i6+2+3i3-2i=. 答案

11、-1+i解析原式=(1+i)226+(2+3i)(3+2i)(3)2+(2)2=i6+6+2i+3i-65=-1+i.复数的几何意义典例4(1)已知i是虚数单位,则复数2i1-i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)(多选题)2021年1月“八省(市)联考”设z1,z2,z3为复数,z10,则下列命题中正确的是()A.若|z2|=|z3|,则z2=±z3B.若z1z2=z1z3,则z2=z3C.若z2=z3,则|z1z2|=|z1z3|D.若z1z2=|z1|2,则z1=z2答案(1)B(2)BC解析(1)2i1-i=2i(1+i)2=-1+

12、i,复数2i1-i在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.(2)对于A,取z2=1+3i,z3=3+i,可知A错误;对于B,因为z1z2=z1z3,z10,所以z2=z3,即B正确;对于C,因为z2=z3,所以|z2|=|z3|,所以|z1z2|=|z1|z2|=|z1|·|z3|=|z1z3|,即C正确;对于D,取z1=1+i,z2=1-i,可知D错误.综上,选BC.名师点评复数的几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系,即z=a+bi(a,bR)Z(a,b)OZ=(a,b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与几何联系

13、在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题简单化.1.(多选题)若复数z满足z+1z=i,则下列说法错误的有()A.z为纯虚数B.z的虚部为-12iC.在复平面内,z对应的点位于第二象限D.|z|=22答案ABC复数z满足z+1z=i,即z+1=zi,设z=a+bi,a,bR,则(a+1)+bi=-b+ai,所以a+1=-b,b=a,解得a=12,b=-12,即z=-1212i,所以z不是纯虚数,故A中说法错误.复数z的虚部为-12,故B中说法错误.复数z=-1212i在复平面内对应的点为-12,-12,位于第三象限,故C中说法错误.|z|=-122+-122=22,故D中说法正确.2.已知复

14、数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限,则实数m的取值范围是()A.(-,1)B.-,23C.23,1D.-,23(1,+)答案Bz=m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,因为复数z在复平面内对应的点在第三象限,所以3m-2<0,m-1<0,解得m<23,所以m的取值范围是-,23,故选B.A组基础达标1.已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)=()A.5-5iB.7-5iC.5+5iD.7+5i答案C2.(2020课标理,1,5分)若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0B.1C.2D.2答案D3.已知复数(1+2i)i=a+bi,a

15、R,bR,则a+b=()A.-3B.-1C.1D.3答案B4.(2019自贡模拟)如图,向量OZ对应的复数为z,则复数2z的共轭复数是()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案B5.(2020课标文,2,5分)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0B.1C.2D.2答案C6.若a为实数,且1+2ia+i为实数,则a=()A.1B.12C.13D.-2答案B因为1+2ia+i=(1+2i)(a-i)(a+i)(a-i)=a+2+(2a-1)ia2+1是实数,所以2a-1=0,所以a=12.故选B.7.已知复数z1=21+i,z2=a+i(aR),若z1,z2在复平面内对应的向量分别

16、为OZ1,OZ2(O为坐标原点),且|OZ1+OZ2|=2,则a=. 答案1或-38.(2019西安模拟)若a+bii(a,bR)与(2-i)2互为共轭复数,则a-b=. 答案-7解析a+bii=(a+bi)(-i)-i2=b-ai,(2-i)2=4-4i-1=3-4i,又a+bii(a,bR)与(2-i)2互为共轭复数,b=3,a=-4,a-b=-7.9.已知复数z=bi(bR),且z-21+i是实数,i是虚数单位.(1)求复数z;(2)若复数(m+z)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.解析(1)因为z=bi(bR),所以z-21+i=bi-21+i=(

17、bi-2)(1-i)(1+i)(1-i)=(b-2)+(b+2)i2=b-22+b+22i.又因为z-21+i是实数,所以b+22=0,所以b=-2,即z=-2i.(2)因为z=-2i,mR,所以(m+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2=(m2-4)-4mi,又因为复数(m+z)2在复平面内对应的点在第一象限,所以m2-4>0,-4m>0,解得m<-2,即实数m的取值范围为(-,-2).B组能力拔高10.(多选题)(2020山东泰安高三月考)已知复数z满足i2k+1z=2+i(kZ),则复数z在复平面内对应的点可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四

18、象限答案BDi2k+1z=2+i,z=2+ii2k+1,i1=i5=i,i3=i7=-i,当k为奇数时,z=2+ii2k+1=2+i-i=(2+i)i-i×i=-1+2i,在复平面内对应的点为(-1,2),位于第二象限;当k为偶数时,z=2+ii2k+1=2+ii=(2+i)ii×i=1-2i,在复平面内对应的点为(1,-2),位于第四象限.故复数z在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限.11.(多选题)(2020山东日照期末)已知复数z=1+cos 2+isin 2-2<<2(其中i为虚数单位),则下列说法正确的是()A.复数z在复平面上对应的点可能位于第二

19、象限B.z可能为实数C.|z|=2cos D.1z的实部为12答案BCD因为-2<<2,所以-<2<,所以-1<cos 21,所以0<1+cos 22,所以A中说法错误;当=0-2,2时,sin 2=0,z是实数,故B中说法正确;|z|=(1+cos2)2+(sin2)2=2+2cos2=2cos ,故C中说法正确;1z=11+cos2+isin2=1+cos2-isin2(1+cos2+isin2)(1+cos2-isin2)=1+cos2-isin22+2cos2,所以1z的实部是1+cos22+2cos2=12,故D中说法正确.故选BCD.12.已知复

20、数z=x+yi(x,yR),且|z-2|=3,则y+1x的最大值为()A.3B.6C.2+6D.26答案C复数z=x+yi(x,yR),且|z-2|=3,(x-2)2+y2=3,(x-2)2+y2=3,它表示圆心为(2,0),半径为3的圆.y+1x表示圆上的点与点(0,-1)连线的斜率,易知当直线与圆相切时,斜率最大.设圆的切线方程为y=kx-1,则|2k-1|k2+1=3,即k2-4k-2=0,解得k=2±6.y+1x的最大值为2+6.13.(多选题)(2020江苏苏州中学月考)下面是关于复数z=2-1+i(i为虚数单位)的四个结论:|z|=2;z2=2i;z的共轭复数为1+i;若

21、|z0-z|=1,则|z0|的最大值为2+1.其中正确的是()A.B.C.D.答案BD因为z=2-1+i=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-2-2i2=-1-i,所以|z|=2,错误.z2=1+i2+2i=2i,正确.z=-1+i,错误.设z0=a+bi(a,bR),若|z0-z|=1,则(a+1)2+(b+1)2=1,即(a,b)是圆(x+1)2+(y+1)2=1上的点,|z0|=a2+b2可以看成圆(x+1)2+(y+1)2=1上的点到原点的距离,其最大值为2+1,正确.14.(2020课标理,15,5分)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z

22、2|=. 答案23解析设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则a2+b2=4,c2+d2=4,又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=3+i,a+c=3,b+d=1,则(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+b2+d2+2ac+2bd=4,8+2ac+2bd=4,即2ac+2bd=-4,|z1-z2|=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-(2ac+2bd)=8-(-4)=23.C组思维拓展15.(2020广东广州高三月考)设复数z的共轭复数是z,且|z|=1,复数z在复平面上对应的点为Z,若A(-1,0)与B(0,1)为定点,则函数f(z)=|(z+1)(z-i)|取最大值时,在复平面上以Z,A,B三点为顶点的图形是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形答案D|z|=1,可设z=cos +isin ,(z+1)(z-i)=(cos +1+isin )(cos -isin -i