第10章_数字信号最佳接收

1、1第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收210.1数字信号的统计特性数字信号的统计特性l在噪声干扰中的数字信号接收在噪声干扰中的数字信号接收 统计接收统计接收，统计判决统计判决l统计模型统计模型 3l发送信号为发送信号为s(t)，有，有m种种取值取值s1 s2 .sm ,l信道噪声信道噪声n(t)为均值为为均值为0的高斯白噪声。的高斯白噪声。 若在一个码元期间内以若在一个码元期间内以2fH的速率抽样，则共得到的速率抽样，则共得到k个抽样值：个抽样值：n1, n2, , ni, , nk，一维概率密度函数：，一维概率密度函数：l噪声抽样值的噪声抽样值的k 维联合概率密度函数：维联合概率密

2、度函数： 当当k 很大时，在一个码元持续时间很大时，在一个码元持续时间Ts内接收的噪声内接收的噪声平均功率可以表示为：平均功率可以表示为： 或或11 miiP222exp21)(nininnfkiinknkkknnfnfnfnnnf122212121exp21)()()(),(kiisHkiinTfnk1212211kiisHTsnTfdttnTs120221)(14l噪声抽样值噪声抽样值的的k维联合概率密度函数为：维联合概率密度函数为：f (n)仅决定于该码元期间内噪声的能量仅决定于该码元期间内噪声的能量 。 l接收信号接收信号r(t)为为 ：r(t) = s(t) + n(t)其其k 维联

3、合概率密度函数为维联合概率密度函数为 似然函数似然函数 sTkndttnn020)(1exp21 )()()(),()(2121kkknfnfnfnnnff n n dttstrnfsTikni200)()(1exp21)( r rsTdttn02)(510.2 数字信号的最佳接收数字信号的最佳接收l“最佳最佳”的准则：的准则：错误概率最小错误概率最小n主要讨论在主要讨论在二进制数字通信系统二进制数字通信系统中如何使噪声引起的中如何使噪声引起的错误概率最小。错误概率最小。l判决规则判决规则n二进制通信系统总误码率二进制通信系统总误码率Pe Pe1 = P(0/1) ； Pe0 = P(1/0)

4、 这两个条件概率称为这两个条件概率称为错误转移概率错误转移概率。01)0()1(eeePPPPP 6接收矢量的两个联合概率密度函数接收矢量的两个联合概率密度函数f0(r)和和f1(r)的曲线的曲线u将此空间划分为将此空间划分为两个区域两个区域A0和和A1，其，其边界是边界是r0 ，u将将判决规则判决规则规定为：规定为： p若接收矢量落在区域若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是内，则判为发送码元是“0”；p若接收矢量落在区域若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是内，则判为发送码元是“1”。u总误码率总误码率A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0/()0()1

5、/()1(10APPAPPPe 7n求出使求出使Pe最小的判决分界点最小的判决分界点r0 n最佳分界点最佳分界点r0的条件：的条件：)0/()0()1/()1(10APPAPPPe 10)()0()() 1 (01AAedfPdfPPr rr rr rr r00)()0()() 1 (01rredfPdfPPr rr rr rr rA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0)()0()()1(00010 r rr rr rfPfPPe0)()0()()1(0001 r rr rfPfP8n在判决边界确定之后，按照接收矢量在判决边界确定之后，按照接收矢量r 落在区域落在区

6、域A0应判为应判为收到的是收到的是“0”的判决准则，有：的判决准则，有：u若若 则判为则判为“0” ；u若若 则判为则判为“1” 。似然比准则似然比准则n在发送在发送“0”和发送和发送“1”的的先验概率相等先验概率相等时，简化为：时，简化为： 最大似然准则最大似然准则)()()0()1(0100r rr rffPP )()()0()1(10r rr rffPP )()()0()1(10r rr rffPP A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0) 若若f0(r) f1(r)，则判为，则判为“0” 若若f0(r) f1(r)，则判为，则判为“1”0)()0()()1(00

7、01 r rr rfPfP9p推广到推广到多进制信号多进制信号的场合。的场合。p设在一个设在一个M 进制数字通信系统中，可能的发送码元是进制数字通信系统中，可能的发送码元是s1，s2，si，sM之一，它们的之一，它们的先验概率相等先验概率相等，能量相等。当发送码元是能量相等。当发送码元是si时，接收电压的时，接收电压的k 维联合概维联合概率密度函数为率密度函数为若若 则判为则判为si(t)，其中，其中， dttstrnfsTikni200)()(1exp21)( r r),()(r rr rjiff Mjij, 2, 110l确知信号确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的：指其取值

8、在任何时间都是确定的、可以预知的信号。信号。l判决准则判决准则当发送码元为当发送码元为“0”，波形为，波形为so(t)时，接收电压的概率密度时，接收电压的概率密度当发送码元为当发送码元为“1”，波形为，波形为s1(t)时，接收电压的概率密度时，接收电压的概率密度因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到：因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到： dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)( r r dttstrnfsTkn20101)()(1exp21)( r r10.3 确知数字信号的最佳接收机确知数字信号的最佳接收机11u若若则判为发送码元是则判为发送码元是s0(t)

9、；u若若 则判为发送码元是则判为发送码元是s1(t)。l分别取对数：分别取对数：n若若 则判为发送码元是则判为发送码元是s0(t)；n若若 则判为发送码元是则判为发送码元是s1(t)。 ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp)1( ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp)1( ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()()1(1ln ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()()1(1ln12假设两个码元

10、的假设两个码元的能量相同能量相同，u若若 则判为发送码元是则判为发送码元是s0(t)；u若若 则判为发送码元是则判为发送码元是s1(t)。式中式中W0和和W1可以看作是由先验概率决定的加权因子。可以看作是由先验概率决定的加权因子。 ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()()0(ln200PnW )1(ln201PnW ssTTdttsdtts021020)()( ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()(13W1r(t)S1(t)S0(t)W0t = Ts比较判决积分器积分器最佳接收机结构最佳接收机结构 ssTTodttstrWdttstrW000

11、11)()()()(14r(t)S0(t)S1(t)积分器积分器比较判决t = Ts若二进制信号的若二进制信号的先验概率相等先验概率相等，则，则W0W1简化为简化为最佳接收机的原理方框图简化成最佳接收机的原理方框图简化成 ssTTdttstrdttstr0001()()()(）15n相关接收法相关接收法n由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。 积分器r(t)SM(t)S1(t)S2(t)比较判决积分器积分器M 进制通信系统的最佳接收机结构进制通信系统的最佳接收机结构 16n总误码率总误码率10.4 确知数字信号最佳接收的误码率确知数

12、字信号最佳接收的误码率 dxePdxePPPPPPbxaxe22222221)0(21)1()0/1()0()1/0()1( sTdttstsPPna02010)()(21)1()0(ln2 STdttstsPPnb02100)()(21)0()1(ln217n先验概率对误码率的影响先验概率对误码率的影响p先验概率不等时的误码率将略小于先验概率相等先验概率不等时的误码率将略小于先验概率相等时的误码率。时的误码率。p就误码率而言，就误码率而言，先验概率相等是最坏的情况先验概率相等是最坏的情况。n当当先验概率相等先验概率相等时：时：P(0) = P(1) = 1/2，a = b。u对于给定的噪声功

13、率，对于给定的噪声功率，误码率仅和两种码元波形之误码率仅和两种码元波形之差差s0(t) s1(t)的能量有关，而与波形本身无关的能量有关，而与波形本身无关。u差别越大，差别越大，c 值越小，误码率值越小，误码率Pe也越小。也越小。 dxePcxe 22221 sTdttstsc0210)()(2118n先验概率相等先验概率相等时误码率时误码率u码元的相关系数码元的相关系数 ，其定义如下：，其定义如下： 为信号为信号码元的能量码元的能量。n当当s0(t) = s1(t)时，时， 1，为最大值；，为最大值；n当当s0(t) = -s1(t)时，时， 1，为最小值。，为最小值。所以所以 的取值范围在

14、的取值范围在-1 +1。10010021020010)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsssssTTTT sTdttsE0200)( sTdttsE0211)(19两码元的能量相等两码元的能量相等时，令时，令E0 = E1 = Eb，将将带入误码率公式：带入误码率公式：得到：得到：其中：其中：bTEdttstsS 010)()( )1()()(210210 bTEdttstscSdxedxePbExcxe )1(2222222121 002)1(212)1(121nEerfcnEerfPbbe xzdzexerf022)( 20n误码率曲线误码率曲线n它给出了理

15、论上二进它给出了理论上二进制制等能量等能量数字信号误数字信号误码率的最佳（最小可码率的最佳（最小可能）值。能）值。n实际通信系统中得到实际通信系统中得到的误码率只可能比它的误码率只可能比它差，但是绝对不可能差，但是绝对不可能超过它。超过它。dB 002)1(212)1(121nEerfcnEerfPbbe 21n误码率仅和误码率仅和Eb / n0以及相关系数以及相关系数 有关有关，与信号波形及噪，与信号波形及噪声功率无直接关系。声功率无直接关系。 n码元能量码元能量Eb与噪声功率谱密度与噪声功率谱密度n0之比，实际上相当于信之比，实际上相当于信号噪声功率比号噪声功率比Ps/Pn。 因为若系统带

16、宽因为若系统带宽B等于等于1/Ts，则有，则有按照能消除码间串扰的奈奎斯特速率传输基带信号时，按照能消除码间串扰的奈奎斯特速率传输基带信号时，所需的最小带宽为所需的最小带宽为(1/2Ts) Hz。对于已调信号，若采。对于已调信号，若采用的是用的是2PSK或或2ASK信号，则其占用带宽应当是基带信号，则其占用带宽应当是基带信号带宽的两倍，即恰好是信号带宽的两倍，即恰好是(1/Ts) Hz。所以，。所以，在工程在工程上，通常把上，通常把(Eb/n0)当作信号噪声功率比看待当作信号噪声功率比看待。nssssssbPPBnPTnPnTPnE 0000)/1(最佳接收性能特点最佳接收性能特点22两码元波

17、形两码元波形相关系数相关系数 误码率误码率Pe举例举例波形相同波形相同 = 11/2 波形相反波形相反 = -12PSK波形正交波形正交 = 02FSK/MSK两种码元中有一两种码元中有一种的能量等于零种的能量等于零2ASK 021nEerfcb 0221nEerfcb 0421nEerfcb相关系数相关系数 对误码率的影响对误码率的影响u2ASK信号的性能比信号的性能比2FSK信号的性能差信号的性能差3dB，u2FSK信号的性能又比信号的性能又比2PSK信号的性能差信号的性能差3dB。23n随相信号：随相信号：相位因信道变化而具有随机性的信号。相位因信道变化而具有随机性的信号。n假设：假设：

18、u信号信号 2FSK信号信号、码元的能量相等、先验概率相、码元的能量相等、先验概率相等、互不相关；等、互不相关；u噪声噪声 带限高斯白噪声。带限高斯白噪声。u接收信号码元相位的概率密度服从接收信号码元相位的概率密度服从均匀分布均匀分布。n信号表达式：信号表达式：n随机相位的概率密度函数：随机相位的概率密度函数：)cos(),()cos(),(11110000 tAtstAts 其他其他, 020,2/1)(00 f 其他其他, 020,2/1)(11 f10.5 随相数字信号的最佳接收随相数字信号的最佳接收 ssTTbEdttsdtts00121020),(),( 24n判决条件：判决条件：若

19、若f1(r) f0(r)，则判发送码元是，则判发送码元是“0”，若若f0(r) f1(r)，则判发送码元是，则判发送码元是“1”。其中：其中：f0(r)和和f1(r)分别可以表示为：分别可以表示为：经过复杂的计算后，可得出最终的判决条件经过复杂的计算后，可得出最终的判决条件2000000)/()()(dfffr rr r2011111)/()()(dfffr rr r10.5 随相数字信号的最佳接收随相数字信号的最佳接收25若接收矢量若接收矢量r 使使M12 M02，则判为发送码元是，则判为发送码元是“0”，若接收矢量若接收矢量r 使使M02 M12，则判为发送码元是，则判为发送码元是“1”。

20、其中：,20200YXM,21211YXMSTtdttrX000cos)(STtdttrY000sin)(STtdttrX011cos)(STtdttrY011sin)(10.5 随相数字信号的最佳接收随相数字信号的最佳接收26n最佳接收机的结构最佳接收机的结构相关器平 方cos0t相 加相关器平 方sin0t相关器平 方cos1t相 加相关器平 方sin1t比 较r(t)Y0X1Y1X010.5 随相数字信号的最佳接收随相数字信号的最佳接收27n随相信号最佳接收机的随相信号最佳接收机的误码率：误码率：n上述最佳接收机及其误码率也就是上述最佳接收机及其误码率也就是2FSK确知信号的确知信号的非

21、相干接收机非相干接收机和误码率。和误码率。n因为随相信号的相位带有由信道引入的随机变化，因为随相信号的相位带有由信道引入的随机变化，所以在接收端不可能采用相干接收方法。换句话说，所以在接收端不可能采用相干接收方法。换句话说，相干接收只适用于相位确知的信号相干接收只适用于相位确知的信号。对于随相信号。对于随相信号而言，非相干接收已经是最佳的接收方法了。而言，非相干接收已经是最佳的接收方法了。)2/exp(210nEPbe 10.5 随相数字信号的最佳接收随相数字信号的最佳接收2810.6 起伏数字信号的最佳接收起伏数字信号的最佳接收n起伏信号起伏信号 ：包络随机起伏、相位随机变化的信号：包络随机

22、起伏、相位随机变化的信号n假设：假设：u信号信号 2FSK调制、等能量、等先验概率、相位的概率密调制、等能量、等先验概率、相位的概率密度服从均匀分布；度服从均匀分布；u噪声噪声 带限高斯白噪声带限高斯白噪声n信号表示式：信号表示式： 式中，式中，A0和和A1是由于多径效应引起的随机起伏是由于多径效应引起的随机起伏振幅，它们服从同一振幅，它们服从同一瑞利分布瑞利分布： )cos(),()cos(),(111111000000 tAAtstAAts2 , 1, 0,2exp)(222 iAAAVfisisii 29式中，式中， s2为信号的功率；为信号的功率； 0和和 1的概率密度服从的概率密度服

23、从均匀分布均匀分布：由于由于Ai是余弦波的振幅，所以信号是余弦波的振幅，所以信号si(t, i, Ai)的功率的功率 s2和其振幅和其振幅Ai的均方值之间的关系为的均方值之间的关系为2 , 1, 0,2exp)(222 iAAAVfisisii 2 , 1,20,2/1)( ifii 222siAE 10.6 起伏数字信号的最佳接收起伏数字信号的最佳接收30n接收矢量接收矢量的概率密度的概率密度:u由于接收矢量不但具有随机相位，还具有随机起伏的由于接收矢量不但具有随机相位，还具有随机起伏的振幅，故此概率密度振幅，故此概率密度f0(r)和和f1(r)分别可以表示为：分别可以表示为： 200000

24、00000),/()()()(ddAAffAffrr r 20111111011),/()()()(ddAAffAffrr r10.6 起伏数字信号的最佳接收起伏数字信号的最佳接收 )(2exp)(2002022000sssssTnnMTnnKf r r )(2exp)(2002122001sssssTnnMTnnKf r r最佳接收机的结构和随最佳接收机的结构和随相信号的接收机相同。相信号的接收机相同。31n误码率：误码率： 接收码元的统计平均能量。接收码元的统计平均能量。)/(210nEPe E10.6 起伏数字信号的最佳接收起伏数字信号的最佳接收n在有衰落时，性能随误码率下在有衰落时，性

25、能随误码率下降而迅速变坏。降而迅速变坏。n当误码率等于当误码率等于10-2时，衰落使时，衰落使性能下降约性能下降约10 dB；当误码率等；当误码率等于于10-3时，下降约时，下降约20 dB。32相干相干2ASK信号信号非相干非相干2ASK信号信号相干相干2FSK信号信号非相干非相干2FSK信号信号相干相干2PSK信号信号差分相干差分相干2DPSK信号信号同步检测同步检测2DPSK信号信号10.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较实际接收机和最佳接收机的性能比较4/21rerfc04/21nEerfcb 4/exp21r 04/exp21nEb 2/21rerfc02/21nEerfcb 2/

26、exp21r 02/exp21nEb rerfc210/21nEerfcb r exp21 0/exp21nEb rerfcrerfc211 00211nEerfcnEerfcbb实际接收机的实际接收机的Pe最佳接收机的最佳接收机的Pe33n匹配滤波器匹配滤波器 用线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上用线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上输出信号噪声比最大输出信号噪声比最大的线性滤波器。的线性滤波器。10.8 数字信号的匹配滤波接收法数字信号的匹配滤波接收法r(t)n(t)H(f )h(t)s(t)y(t)()()(tntstr )()()(tntstyoo dfefSfHtsftjo

27、 2)()()(sTt 034n输出噪声功率输出噪声功率No由由输出噪声功率输出噪声功率n输出信噪比输出信噪比在抽样时刻在抽样时刻t0上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为)()()()()(*)(2fPfHfPfHfHfPRRY dffHndfnfHNo2002)(22)( dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(0 35利用施瓦兹不等式求利用施瓦兹不等式求 r0的最大值的最大值若若其中其中k为任意常数，则上式的等号成立。为任意常数，则上式的等号成立。令令则有则有式中式中 s(t)的总能量的总能量 dxxfdxxfd

28、xxfxf2221221)()()()()()(*21xkfxf 0221)()(),()(ftjefSxffHxf 0022022022)()(2)()(nEndffSdffHndffSdffHr dffSE2)(36频域结论：频域结论：当当 时，时，得到得到最大输出信噪比最大输出信噪比2E/n0。pH(f)就是最佳接收滤波器传输特性。就是最佳接收滤波器传输特性。pH(f)等于信号码元频谱的复共轭（除了常数因子外）。等于信号码元频谱的复共轭（除了常数因子外）。故称为故称为匹配滤波器匹配滤波器。 02)(*)(ftjefkSfH 37时域结论：时域结论：n匹配滤波器的匹配滤波器的冲激响应冲激响

29、应函数：函数：n匹配滤波器的匹配滤波器的冲激响应冲激响应h(t)就是就是信号信号s(t)的镜像的镜像s(-t)，在，在时间轴上（向右）平移了时间轴上（向右）平移了t0。 )()()()()()(*)()(00)(2)(2*2222000ttksdttskdsdfekdfedeskdfeefkSdfefHthttfjttfjfjftjftjftj 38000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)(c)n图解图解 39n实际的匹配滤波器实际的匹配滤波器u一个实际的匹配滤波器应该是一个实际的匹配滤波器应该是物理可实现的物理可实现的，必须有：，必须有：即即或或u

30、接收滤波器输入端的信号码元接收滤波器输入端的信号码元s(t)在抽样时刻在抽样时刻t0之后必须之后必须为零。通常选择在码元末尾抽样，即选为零。通常选择在码元末尾抽样，即选t0 = Ts。u匹配滤波器的冲激响应可以写为匹配滤波器的冲激响应可以写为0, 0)( tth当当0, 0)(0 ttts当当0, 0)(ttts 当当)()(tTksths )()(0ttksth 40p匹配滤波器的输入电压为匹配滤波器的输入电压为s(t)，则，则输出信号输出信号为：为：p匹配滤波器输出信号码元波形是输入信号码元波形的匹配滤波器输出信号码元波形是输入信号码元波形的自相关函数的自相关函数的k倍倍。k是一个任意常数

31、，通常取是一个任意常数，通常取k = 1。p匹配滤波器可作相关器。匹配滤波器可作相关器。)()()()()()()()(sssoTtkRdTtsskdTstskdhtsts )()(tTksths 41n【例【例10.1】设接收信号码元】设接收信号码元s(t)的表示式为的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。n【解【解】由由令令k = 1，可得其匹配滤波器的传输函数为，可得其匹配滤波器的传输函数为 tTttss其其他他, 00, 1)( sfTjftjefjdtetsfS 22121)()(tTss(t)102)(*)(ftjefkSf

32、H ssfTjfTjeefjfH 22121)( 42令令k = 1，得到此匹配滤波器的，得到此匹配滤波器的冲激响应冲激响应为为h(t)的形状是的形状是s(t)的波形以的波形以t = Ts / 2为轴线反转而来。为轴线反转而来。p匹配滤波器的匹配滤波器的输出信号输出信号：tTsh(t)1ssTttTsth 0),()()()(soTtkRts tTsso(t)43画出此匹配滤波器的方框图：画出此匹配滤波器的方框图：(1/j2 f)是理想积分器的传输函数，是理想积分器的传输函数，exp(-j2 fTs)是延迟时间为是延迟时间为Ts的延迟电路的传输函数。的延迟电路的传输函数。 sssfTjfTjf

33、TjefjeefjfH 222121121)( 延迟Ts理想积分器44n匹配滤波法和相关接收法完全等效，都是最佳接收方法。匹配滤波法和相关接收法完全等效，都是最佳接收方法。 积分积分s1(t)s0(t)抽样比较判决抽样t = Tst = Ts输入输出匹配滤波器1匹配滤波器2抽样比较判决抽样t = Tst = Ts输入输出45n基带总传输函数基带总传输函数H(f)： H(f ) = GT(f ) C(f ) GR(f ) n分析在分析在H(f)满足消除码间串扰的条件之后，如何设计满足消除码间串扰的条件之后，如何设计GT(f)、C(f)和和GR(f)，以使系统在加性白色高斯噪声条，以使系统在加性白色高斯噪声条件下误码率最小。件下误码率最