1.2021年河北省石家庄市高考数学教学质量检测试卷（一）新课标试卷

1、2021年河北省石家庄市高考数学教学质量检测试卷（一）一、选择题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷：本题共8小题，每题5分，共40分-公众号：新课标试卷在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）若集合，满足：，则ABCD2（5分）设向量，且，则实数ABCD3（5分）甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为A红、黄、蓝B黄、红、蓝C蓝、红、黄D蓝、黄、红4（5分）是的A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也

2、不必要条件5（5分）2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有A630种B600种C540种D480种6（5分）已知菱形边长为2，对角线折叠成三棱锥，使得二面角为，设为的中点，为三棱锥表面上动点，且总满足，则点轨迹的长度为ABCD7（5分）已知数列的通项公式为，则ABCD8（5分）若图象上存在两点，关于原点对称，则点对，称为函数的“友情点对”（点对，与，视为同一个“友情点对” 若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是A，BCD二、选择题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷：本小

3、题共4小题，每小题5分，共20分-公众号：新课标试卷在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分-公众号：新课标试卷9（5分）关于，则ABCD10（5分）设为复数，则下列命题中正确的是ABC若，则的最大值为2D若，则11（5分）函数，的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论正确的是AB函数的最小正周期为C函数在区间，上单调递增D函数关于点，中心对称12（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长为4，点，在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是A离心率的取值范围为B当离心率为时，的最大值为C存在点使得D的最

4、小值为1三、填空题-高考群：605697969-公众号：新课标试卷：本大题共4小题，每小题5分，共20分-公众号：新课标试卷13（5分）已知随机变量服从正态分布，若，则14（5分）已知抛物线的焦点为，过且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程，此时该弦中点到轴的距离为15（5分）如图所示，一个圆锥的侧面展开图为以为圆心，半径长为2的半圆，点、在上，且的长度为，的长度为，则在该圆锥中，点到平面的距离为 16（5分）已知定义在上的函数，其导函数为，满足，（2），则不等式的解集为四、解答题：本题共6小题，共70分-公众号：新课标试卷，解答应写出文字说明、证明过程或演

5、算步骤。17（10分-公众号：新课标试卷）已知公差不为0的等差数列满足，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和18（12分）在中，角，所对的边分别为，满足（）求角的大小；（）若，求的取值范围19（12分）2022年北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等

6、空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积、体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如九章算术中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖暅父子在缀术提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等（）利用祖暅原理推导半径为的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体，几何体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面内设与平面平行且距离为的

7、平面截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（）现将椭圆所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球，（如图，类比（）中的方法，探究椭球的体积公式，并写出椭球，的体积之比20（12分）“钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“模式”在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“”模式，“”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局24分钟计时后开始的所有小局

8、均采用“”模式某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立（）求4局比赛决出胜负的概率；（）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望21（12分）已知坐标原点为，双曲线的焦点到其渐近线的距离为，离心率为（）求双曲线的方程；（）设过双曲线上动点，的直线分别交双曲线的两条渐近线于，两点，求的外心的轨迹方程22（12分）已知函数，且方

9、程在，上有解（）求实数的取值范围；（）设函数，的最大值为（a），求函数（a）的最小值2021年河北省石家庄市高考数学教学质量检测试卷（一）参考答案与试题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷解析一、选择题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷：本题共8小题，每题5分，共40分-公众号：新课标试卷在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）若集合，满足：，则ABCD【分析】由真子集的关系，作出韦恩图，数形结合能求出结果【解答】解：集合，满足：，如图，故选：【点评】本题考查集合的运算，考查补集、并集的定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题2（

10、5分）设向量，且，则实数ABCD【分析】可求出，然后根据即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出的值【解答】解：，且，解得故选：【点评】本题考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题3（5分）甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为A红、黄、蓝B黄、红、蓝C蓝、红、黄D蓝、黄、红【分析】通过题干中的条件逐一分析判断即可【解答】解：丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的年龄

11、小；乙比戴蓝帽的人年龄大，故戴蓝帽的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的年龄大或乙比丙的年龄大，但由上述分析可知，只能是乙比丙的年龄大，即带蓝帽子的人是丙综上所述，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝故选：【点评】本题考查了推理论证能力、应用意识以及创新意识，考查逻辑推理的核心素养，逻辑推理题通常借助表格或图形进行求解，把数学对象之间的逻辑关系表示出来进行判断，属于中档题4（5分）是的A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件【分析】化简不等式，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由，解得或，故由可推出，由不能推出，故是的充分不必要条件，故选：【点评】本题

12、主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题5（5分）2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有A630种B600种C540种D480种【分析】把6名工作人员分别分为，1，2，2，三种情况讨论，然后分别计算即可求解【解答】解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：种，把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：种，把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：种，综上，不同的安排方式共有种，故选：【点评】本题考

13、查了排列组合的简单计数问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷，考查了分类讨论思想以及学生的运算能力，属于基础题6（5分）已知菱形边长为2，对角线折叠成三棱锥，使得二面角为，设为的中点，为三棱锥表面上动点，且总满足，则点轨迹的长度为ABCD【分析】在侧面上，点的轨迹是，在侧面上，点的轨迹是，在底面上，点的轨迹是，求的周长即可【解答】解：连接、，交于点，连接，为菱形，所以，、均为正三角形，所以为二面角的平面角，于是，又因为，所以为正三角形，所以，取中点，取中点，连接、，所以、，所以、，所以平面，所以在三棱锥表面上，满足的点轨迹的，因为，所以的周长为，所以点轨迹的长度为故选：【点评】

14、本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的平面角问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷，属于中档题7（5分）已知数列的通项公式为，则ABCD【分析】观察得到的周期为，再求出的表达式，进而求解结论【解答】解：数列的通项公式为，且的周期为，故，又因为，故选：【点评】本题考查了数列递推式，考查了特殊角的三角函数值，关键是对数列规律的发现，是中档题8（5分）若图象上存在两点，关于原点对称，则点对，称为函数的“友情点对”（点对，与，视为同一个“友情点对” 若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是A，BCD【分析】由题意可知，与在上有2解，结合导数研究单调性，结合函数的图象可求【解答

15、】解：若使有两个友情点对，则，且与在时有两个交点，则，即与在时有两个交点，因为，所以当时，单调递增，当时，单调递减，又，的大致图象为：要使与在时有两个交点，则，即，故选：【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数图象的交点问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷，解题的关键是导数的应用二、选择题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷：本小题共4小题，每小题5分，共20分-公众号：新课标试卷在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分-公众号：新课标试卷9（5分）关于，则ABCD【分析】对于选项，分别令，代入已知关系式求解即可

16、，选项，求出展开式中含项的系数即可判断【解答】解：令，则，故正确，令，则所以，故错误，令，则可得：可得：所以可得：，所以，故正确，展开式中含的项的系数为，故错误，故选：【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法求解系数问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷，考查了学生的运算能力，属于中档题10（5分）设为复数，则下列命题中正确的是ABC若，则的最大值为2D若，则【分析】利用复数模的计算方法以及复数模的几何意义对四个选项进行逐一的判断即可【解答】解：设，对于，故选项正确；对于，故选项错误；对于，表示对应的点在单位圆上，表示点对应的点与的距离，故的最大值为2，故选项正确；对于

17、，表示对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，表示对应的点与原点的距离，故，故选项正确故选：【点评】本题考查了复数模的理解和应用，主要考查了复数模的几何意义的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题11（5分）函数，的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论正确的是AB函数的最小正周期为C函数在区间，上单调递增D函数关于点，中心对称【分析】由周期求出的范围，根据最高点求得的值，可得的解析式，结合函数的图象变换规律，可得的解析式，再利用正弦函数的性质，可得结论【解答】解：根据函数，的图象，可得，且，把代入，可得，或再把根据图象经过最高点，可得，当时，求

18、得，不满足条件，故，故错误此时，由，求得，令，可得，满足条件，故把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，故的最小正周期为，故正确当，故单调递增，故正确令，求得，故的图象不关于点，中心对称，故错误，故选：【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出的值，由最高点的坐标求出，函数的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题12（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长为4，点，在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是A离心率的取值范围为B当离心率为时，的最大值为C存在点使得D的最小值为1【分析】由题意可得，由点，在椭圆内部，解得对于，即可推出是否正确；对于，当点，

19、共线且在轴下方时，取最大值，即可判断是否正确；对于：若，则，但是，推出，即可判断是否正确；对于：由基本不等式可得，又，即可判断是否正确【解答】解：因为长轴长为4，所以，即，因为点，在椭圆内部，所以，即，对于，所以，故不正确；对于，当点，共线且在轴下方时，取最大值，由，即，解得，所以，所以，所以的最大值为，故正确；对于：若，则，由选项知，所以，所以不存在使得，故不正确；对于：由基本不等式可得，又，所以，故正确故选：【点评】本题考查椭圆的方程，向量的数量积，解题中需要理清思路，属于中档题三、填空题-高考群：605697969-公众号：新课标试卷：本大题共4小题，每小题5分，共20分-公众号：新课标

20、试卷13（5分）已知随机变量服从正态分布，若，则0.77【分析】随机变量服从正态分布，可得，进而得出【解答】解：随机变量服从正态分布，故答案为：0.77【点评】本题考查了正态分布的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（5分）已知抛物线的焦点为，过且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程，此时该弦中点到轴的距离为【分析】由题意可设直线方程，与抛物线方程联立，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合弦长公式即可求得满足条件的一个抛物线方程，并求出弦中点到轴的距离【解答】解：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，代入，得设，弦长为

21、2，由抛物线定义知，则，即，令，得，抛物线满足条件；设弦的中点为，即此时该弦中点到轴的距离为故答案为：；【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，是中档题15（5分）如图所示，一个圆锥的侧面展开图为以为圆心，半径长为2的半圆，点、在上，且的长度为，的长度为，则在该圆锥中，点到平面的距离为 【分析】由题意画出图形，求出圆锥的高，再由等体积法求点到平面的距离【解答】解：由侧面展开图可得圆锥如图，由题意可得，则，设点到平面的距离为，由，得，解得故答案为：【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题16（5分）已

22、知定义在上的函数，其导函数为，满足，（2），则不等式的解集为，【分析】时，时，令，令，根据函数的单调性求出不等式的解集即可，【解答】解：，时，令，则，令，则，递增，而（2）（2），故（2），故即，解得：，时，不等式显然无解，时，令，则，令，则，递增，而（2）（2），故（2），故即，解得：，故，故不等式的解集为，故答案为：，【点评】本题考查了函数的单调性问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷，考查导数的应用以及不等式问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷，考查分类讨论思想，是中档题四、解答题：本题共6小题，共70分-公众号：新课标试卷，解答应写出文字说明、证明过程

23、或演算步骤。17（10分-公众号：新课标试卷）已知公差不为0的等差数列满足，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和【分析】（）由题设求得数列的公差，即可求得其通项公式；（）先由（）求得，再利用错位相减法求得其前项和即可【解答】解：（）设数列的公差为，由题设可得：，即，解得：，；（）由（）可得：，又，两式相减得：，整理得：【点评】本题主要考查等差数列基本量的计算及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题18（12分）在中，角，所对的边分别为，满足（）求角的大小；（）若，求的取值范围【分析】（）利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求出的

24、值，从而得解；（）由余弦定理可推出，再利用基本不等式可得，然后结合，得解【解答】解：（）由正弦定理知，又，（）由余弦定理知，即，而，当且仅当时，等号成立，解得，又，故的取值范围为，【点评】本题主要考查解三角形，还涉及基本不等式，熟练掌握正弦定理、余弦定理与两角和的正弦公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题19（12分）2022年北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会其中“冰丝带”呈现出圆

25、形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积、体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如九章算术中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖暅父子在缀术提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等（）利用祖暅原理推导半径为的

26、球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体，几何体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面内设与平面平行且距离为的平面截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（）现将椭圆所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球，（如图，类比（）中的方法，探究椭球的体积公式，并写出椭球，的体积之比【分析】（）由题意直接画出阴影即可，然后分别求出图中圆的面积及图中圆环的面积即可证明；（）类比（）可知，椭圆的长半轴为，短半轴为，构造一个底面半径为，高为的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，以圆柱上底面为底面

27、的圆锥，即挖去的圆锥的底面半径为，高为，证明截面面积相等，由祖暅原理求出椭球的体积，同理求出椭球的体积，作比得答案【解答】解：（）由图可知，图几何体是半径为的半球，图几何体是底面半径与高都为的圆柱挖掉了一个圆锥，与图截面面积相等的图形是一个圆环，如阴影部分证明如下：在图中，设截面圆的圆心为，则圆的面积为，在图中，截面截圆锥得到的小圆的半径为，则圆环的面积为，截得的截面面积相等；（）类比（）可知，椭圆的长半轴为，短半轴为，构造一个底面半径为，高为的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，以圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥的底面半径为，高为，椭球轴截面椭圆

28、的方程为，取，可得，则半椭球截面圆的面积为，在圆柱内，圆环的面积为，根据祖暅原理得出椭球的体积为同理，椭球的体积为则椭球，的体积之比为【点评】本题考查了新定义问题高考群：6056-97969-公众号：新课标-试卷，解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等20（12分）“钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“模式”在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“”模式，“”模式为5分制的小局比赛，率先

29、拿满5分的选手赢得该局24分钟计时后开始的所有小局均采用“”模式某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立（）求4局比赛决出胜负的概率；（）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望【分析】（）分两种情况：若24分钟内打满2局，最后可能甲乙获胜；若24分钟内打满3局，最后可能甲乙获胜，分别求解即可；（）确定的可能取值，列出分布列，由数学期望的求解公式计算即可【解答】解：（）若24分钟内打满2局，最后可能甲乙获胜，则；若24分钟内打满3局，最后可能甲乙获胜，则，因此4局比赛决出胜负的概率为；（）由题意可知，的可能取值为4，5，6，7，所以，所以的分布列为：4567所以的数学期望为【点评】本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变