SPSS 统计软件教程—正态总体均值的假设检验

1、 正态总体均值的假设检验一、一、单单个正态总体个正态总体N(N( , , 2 2) )均值均值 的的检验检验(I) H(I) H0 0:= := 0 0 H H1 1: 0 0 设X X1 1,X,X2 2, , , ,X Xn n为来自总体为来自总体N(N( , , 2 2) )的样本的样本. .求求: :对以上假设的显著性水平对以上假设的显著性水平= = 的假设检验的假设检验. 方差方差 2 2已知的情况已知的情况 根据第一节例根据第一节例1,1,当原假设当原假设 H H0 0:=:=0 0 成立时成立时, ,有有: : 0(0,1)/XNn 于是当原假设于是当原假设 H H0 0:=:=

2、0 0 成立时成立时, ,有有: : 0/ 2/XPZn0/ 20/ 2(/)(/)PXZnXZn即拒 绝 域 为 方差2未知的况 根据定理根据定理6.4.1,6.4.1,1/nXtSn01/nXtSn 以上检验法叫以上检验法叫 检验法检验法. . n=10, n=10, =0.05, =0.05, 0 0=10=10 t t10-110-1( ( /2)=t/2)=t9 9(0.025)=2.2622(0.025)=2.2622 nXPtS /n0 01 12 2 nnSPXtnSXtn0 01 10 01 1即即2 2拒拒 绝绝 域域 为为2 2 以上检验法叫以上检验法叫t t检验法检验法

3、. .例例 1 1 ( (用例用例8.1.18.1.1数据数据, ,但但 未知未知) ) 上一段上一段 H H0 0:= := 0 0 H H1 1: 0 0 中中H H1 1:0 0叫叫双边对立假设双边对立假设, ,上一段我们学习的上一段我们学习的叫叫双边检验双边检验. .X.,S.,S.SX.,.SX.2 21 10 0 0 05 50 0 0 05 50 0 2 22 24 41 10 00 0 0 05 52 2 2 26 62 20 0 1 16 60 01 10 0即即未未落落入入拒拒绝绝域域为为1 10 02 2 2 26 62 21 10 0 接受原假设接受原假设 H H0 0

4、:=10. :=10. (II)(II)单边检验单边检验 H H0 0:=:=0 0 H H1 1: 0 0问题的来源问题的来源: 而而 H H0 0:= := 0 0 H H1 1: 0 0 中中我们要处理的假设检验叫我们要处理的假设检验叫右边检验右边检验. . 类似类似, , H H0 0:= := 0 0 H H1 1: 0 0 即新技术或新配方确实有效即新技术或新配方确实有效, ,提高了产品质量提高了产品质量. .解决问题的思路解决问题的思路:如果如果=0 0, ,即原假设成立时即原假设成立时, ,那么那么: : 就不应该太大就不应该太大. .反之反之, ,如果它过于大如果它过于大,

5、,那么想那么想必是原假设不成立必是原假设不成立. .0X 方差方差 2 2 已知的情况已知的情况求解求解:根据定理根据定理6.4.1,6.4.1, XN(, )/n0 01 1 当原假设当原假设 H H0 0:=:=0 0 成立时成立时, ,有有: : 0( 0 , 1 )/XNn0/XPZn这 时00(/)(/)PXZnXZn即拒绝域为 于是当原假设于是当原假设 H H0 0:=:=0 0 成立时成立时, ,有有: : 方差方差 2 2未知的情况未知的情况 根据定理根据定理6.4.1,6.4.1,1/nXtSn01/nXtSn 01/nXPtSn有 0101nnSPXtnSXtn即拒绝域为

6、某厂生产一种工业用绳某厂生产一种工业用绳, ,其质量指标是其质量指标是绳子所承受的最大拉力绳子所承受的最大拉力. .假定该指标服从正态假定该指标服从正态分布分布. . 原来该厂生产的这种绳子平均最大拉力原来该厂生产的这种绳子平均最大拉力0 0 =15 =15公斤公斤. .现在采用了一种新的原材料现在采用了一种新的原材料, ,厂厂方称这种原材料提高了绳子的质量方称这种原材料提高了绳子的质量, ,也就是说也就是说绳子所承受的最大拉力绳子所承受的最大拉力比比1515公斤大了公斤大了. . 为了检验该厂的结论是否真实为了检验该厂的结论是否真实, ,从其新产从其新产品中随机抽取品中随机抽取5050件件,

7、 ,测得它们承受的最大拉力测得它们承受的最大拉力的平均值为的平均值为15.815.8公斤公斤, ,样本标准差样本标准差S=0.5S=0.5公斤公斤. .取显著性水平取显著性水平 =0.01. =0.01.例例 2 2 问从这些样本看问从这些样本看, ,我们能否接受厂方的结论我们能否接受厂方的结论, ,即新原材料是否确实提高了绳子的质量即新原材料是否确实提高了绳子的质量? ? 问题归结为检验如下假设问题归结为检验如下假设 H H0 0:=15 :=15 H H1 1: 15 (15 (方差方差 2 2未知未知) ) 此处此处n=50, n=50, =0.01, =0.01,标准差标准差S=0.5

8、.S=0.5.解解: 01490.5150.0150nSXtnXt拒绝域就是 我们拒绝原假设我们拒绝原假设, ,认为新的原材料确实提高认为新的原材料确实提高了绳子所能承受的最大拉力了绳子所能承受的最大拉力. . 查查不到不到t t4949(0.01),(0.01),利用性质利用性质: : 给定给定 , ,t tn n( ( ) )关于自由度关于自由度n n是单调下降的是单调下降的. . 我们查我们查t t4545(0.01)=2.41,(0.01)=2.41, 则则 t t4949(0.01) t(0.01) t4545(0.01)=2.41(0.01)=2.41 45490.51515.81

9、50.82.41500.50.50.010.015050Xtt 二、二、两两个正态总体个正态总体N(N( 1 1 , , 1 12 2) )和和 N(N( 2 2 , , 2 22 2) )均值的均值的比较比较 在应用上,我们经常会遇到两个正态总体N(1,12)和N(2,22)均值的比较问题.譬如:u 欲比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量欲比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量. . 我们把两厂生产的产品的质量指标分别我们把两厂生产的产品的质量指标分别看成两个正态总体看成两个正态总体N(N( 1 1, , 1 12 2) )和和N(N( 2 2, , 2 22 2) ). .比较比较它们的产品质量

10、指标的问题它们的产品质量指标的问题, ,就变为比较这两就变为比较这两个正态总体的均值个正态总体的均值 1 1和和 2 2的问题的问题. . u 欲考察一项新技术对提高产品质量是否有欲考察一项新技术对提高产品质量是否有效效. . 我们把新技术实施前后生产的产品质量我们把新技术实施前后生产的产品质量指标分别看成一个正态总体指标分别看成一个正态总体N(N( 1 1, , 1 12 2) )和和N(N( 2 2, , 2 22 2) ). .这时这时, ,我们所考察的问题我们所考察的问题, ,就归结为就归结为检验这两个正态总体的均值检验这两个正态总体的均值 1 1和和 2 2是否相等的是否相等的问题问

11、题. . 设设X X1 1,X,X2 2 , , , ,X Xm m . . Y Y1 1,Y,Y2 2 , , , ,Y Yn n分别为分别为来自正态总体来自正态总体N(N( 1 1, , 1 12 2) )和和N(N( 2 2, , 2 22 2) )的样本的样本. .考考虑检验假设虑检验假设: :根据定理7.5.1(I) H(I) H0 0: : 1= = 2 H H1 1: : 12 （1 1）方差方差 1 12 2和和 2 22 2已知的情况已知的情况 122212(0,1)XYNmn 当当H H0 0: : 1 1= = 2 2为真时为真时 2212(0 ,1)XYNmn / 22

12、212XYPZmn 当当H H0 0: : 1 1= = 2 2为真时为真时 拒绝拒绝域域为为 / 22212XYZmn （2 2）方差方差 1 12 2= = 2 22 2 = = 2 2 但但 2 2未知的情况未知的情况根据定理根据定理5.1当当H H0 0: : 1 1= = 2 2 为真时为真时 12211mnXYtSmn 211mnXYtSmn 2211mnXYPtSmn从 而 2211mnXYtSmn 2212(1)(1)2mSnSSm n 拒绝拒绝域域为为 其中: 上面上面, ,我们假定我们假定 1 12 2= = 2 22 2. .当然当然, ,这是个不这是个不得已加上去的条件

13、得已加上去的条件. .但如果不加此条件但如果不加此条件, ,就无法就无法使用简单易行的使用简单易行的t t检验了检验了. . 在实用中在实用中, ,只要我们有理由认为只要我们有理由认为 1 12 2和和 2 22 2相相差不是太大差不是太大就可以使用上面方法就可以使用上面方法. .通常是如果方通常是如果方差比检验未被拒绝差比检验未被拒绝( (见下节见下节),),就认为就认为 1 12 2和和 2 22 2相相差不是太大差不是太大. .J 说明说明 假设有假设有A,BA,B两种药两种药, ,欲比较它们在欲比较它们在 服用服用2 2小时后血液中的含量是否一样小时后血液中的含量是否一样. . 对药品

14、对药品A,A,随机抽取随机抽取8 8个病人个病人, ,他们服药他们服药2 2小小时后时后, ,测得血液中药的浓度测得血液中药的浓度( (用适当的单位用适当的单位) )为为: : 1.23,1.42,1.41,1.62,1.55,1.51, 1.23,1.42,1.41,1.62,1.55,1.51,1.60,1.76.1.60,1.76. 对药品对药品B,B,随机抽取随机抽取6 6个病人个病人, ,他们服药他们服药2 2小小时后时后, ,测得血液中药的浓度为测得血液中药的浓度为: : 1.76,1.41,1.87,1.49,1.67,1.81. 1.76,1.41,1.87,1.49,1.67,1.81. 假定这两组观测值抽自于具有共同方差假定这两组观测值抽自于具有共同方差的两个正态总体的两个正态总体. .在显著性水在显著性水 =0.10=0.10下下, , 试检验病人血液中这两种药的浓度是否试检验病人血液中这两种药的浓度是否有显著不同有显著不同? ?例例3 3 接受原假设接受原假设. .即认为病人血液中这两种药即认为病人血液中这两种药浓度无显著差异浓度无显著差异. .解解: 问题就是从总体问题就是从总体 X XN(N(