集合与简易逻辑

1、集合与简易逻辑一、基础知识定义 1一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示； 集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素 x 在集合 A 中，称 x 属于 A ，记为 xA ，否则称 x 不属于 A ，记作 x A 。例如，通常用 N ，Z， Q， B，Q+ 分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法： 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如 1 ， 2，3 ；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如

2、有理数 ， x x 0 分别表示有理数集和正实数集。定义 2 子集：对于两个集合A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集，记为 AB ，例如 N Z 。规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集， B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。定义 3交集，定义 4并集，AB x xA且xB.AB x xA或xB.定义 5补集，若A I ,则C1A x x I ,且 x A称为 A在 I 中的补集。定义 6差集， AB x xA, 且xB 。定义 7集合 x

3、axb, xR, ab 记作开区间 ( a, b) ，集合 x ax b, x R, ab 记作闭区间 a,b ， R 记作 ( ,).定理 1集合的性质：对任意集合A， B ，C，有：（1） A (B C) (A B)(A C); （2） A (B C)(A B) (A C)；（3） C1 AC1 BC1 (A B);（4） C1 AC1 BC1 (AB).【证明】这里仅证（1）、（ 3），其余由读者自己完成。（1）若 xA( BC ) ，则 xA ，且 xB 或 xC ，所以 x( AB) 或 x( AC ) ，即 x( AB)( AC ) ；反之， x( AB)( AC ) ，则 x(

4、AB) 或 x( AC ) ，即 xA 且 xB 或 xC ，即 xA 且 x (BC ) ，即 x A (B C ).（3）若 xC1 AC1 B ，则 xC1 A 或 xC1 B ，所以 xA 或 xB ，所以 x( AB) ，又 xI ， 所 以 xC1(A B) ，即 C1A C1BC1(A B)，反之也有C1(A B) C1A C1B.定理 2加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有 m2种不同的方法， ，第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事一共有N m1m2mn 种不同的方法。定理 3乘法原理： 做一件事分 n 个步骤， 第一步

5、有 m1种不同的方法， 第二步有 m2 种不同的方法， ，第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事一共有Nm1m2mn 种不同的方法。二、方法与例题1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例 1 设M a a x 2y2 , x, y Z，求证：（1） 2k 1 M , (kZ ) ；（2） 4k 2 M , (kZ ) ；（3）若 p M , qM ，则 pq M . 证明 （1）因为 k, k 1Z ，且 2k1 k 2(k 1) 2，所以 2k1M .（2）假设 4k 2M ( kZ ) ，则存在 x, yZ ，使 4k2x 2y 2，由于 xy 和 xy有相同的奇偶性，所

6、以x2y2( xy)( xy) 是奇数或 4 的倍数，不可能等于4k2 ，假设不成立，所以4k2M .（3）设 p x 2y 2 ,qa 2b2 , x, y, a, b Z ，则 pq (x 2y2 )( a2b2 )a2 a 2y2 b2x 2 b2y 2a 2( xayb) 2(xb ya) 2M（因为 xa yaZ, xbyaZ ）。2利用子集的定义证明集合相等，先证AB，再证 BA，则 A=B 。例 2 设 A ， B 是两个集合，又设集合M 满足A MBMA B,ABMAB ，求集合 M（用 A，B 表示）。【解】先证 ( AB)M ，若 x( AB) ，因为 AMAB ，所以 x

7、 AM , xM ，所以 (A B)M ；再证M (AB) ， 若 xM ， 则 x AB M A B. 1 ） 若 xA ， 则x A MAB ；2）若 xB ，则 x BMAB。所以 M( AB).综上， MAB.3分类讨论思想的应用。A x x23x 20, B x x2axa10, C x x2mx20，若例 3A BA, ACC ，求 a, m.【解】依题设，A1,2 ，再由 x2axa10 解得 xa1或 x1，因为 ABA，所以 BA ，所以 a1A ，所以 a11 或 2，所以 a2或 3。因为 ACC，所以CA，若 C，则m 280 ，即2 2m2 2 ，若 C，则 1C 或

8、 2C ，解得 m3.综上所述， a2 或 a 3； m3 或 22m22 。4计数原理的应用。例 4 集合 A ， B， C 是 I=1 ， 2， 3， 4， 5，6， 7，8， 9， 0 的子集，（ 1）若 ABI ，求有序集合对（ A ， B）的个数；（ 2）求 I 的非空真子集的个数。【解】（ 1）集合 I可划分为三个不相交的子集；AB ，BA ， AB, I 中的每个元素恰属于其中一个子集， 10个元素共有310 种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310 个。（2） I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者

9、不属于，有两种；第二步，2 也有两种， ，第 10步， 0 也有两种，由乘法原理，子集共有2101024 个，非空真子集有1022 个。5配对方法。例5给定集合I1,2,3, n 的 k 个子集： A1 , A2 , Ak，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值。【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得2 n 1对，每一对不能同在这 k 个子集中，因此，k2n 1；其次，每一对中必有一个在这k 个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A 与 A，并设 AA1，则 A1C1A，从而可以在 k 个子集中再添加 C1A

10、 ，与已知矛盾，所以k 2n 1。综上， k2 n 1。6竞赛常用方法与例问题。定理 4容斥原理；用A 表示集合 A 的元素个数，则ABAB AB ,A BC ABCA BA CBCABC ，需要xy 此结论可以推广到 n 个集合的情况，即nnnAiAiAiAjAiAjAk( 1) n 1Ai .i 1i 1i j1 i j k ni 1定义 8集合的划分：若A1A2AnI，且AiA j(1 i , jn,ij )，则这些子集的全集叫I 的一个 n -划分。定理 5最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。定理 6抽屉原理：将 mn1 个元素放入 n(n1) 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于

11、m 1个元素，也必有一个抽屉放有不多于m 个元素；将无穷多个元素放入n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。例 6求 1， 2， 3， ， 100 中不能被 2， 3， 5 整除的数的个数。【 解 】记I 1,2,3, ,100, A x1x 100,且x能被 2整除（记为 2 x），B x1 x100,3 x, C x1x 100,5 x，由容斥原理，ABCABCABBCCAABC100100231001001001001007456101530，所以不能被 2，3，5 整除的数有IA BC26 个。例 7S 是集合 1 ， 2， ， 2004 的子集， S 中的任意两个数的差不等于4或7，

12、问 S中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于 S，将这11 个数按连续两个为一组，分成6 组，其中一组只有一个数，若S 含有这 11 个数中至少6 个，则必有两个数在同一组，又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有与已知矛盾， 所以 S 至多含有其中5 个数。182×5+2=912个元素，另一方面，当S r r11kt, t1,2,4,7,10, r2004, kN 时，恰有 S912 ，且 S 满足题目条件，所以最少含有912 个元素。求所有自然数n( n2) ，使得存在实数 a1 ,

13、 a2 , an 满足： aia j 1ijn1,2, n(n1).2【解】当 n2 时， a10, a21 ；当 n3时， a10, a21,a33 ；当 n4 时，a10, a2 2, a35, a41。下证当 n5 时，不存在 a1 , a2 , an 满足条件。令 0a1a2an ，则ann(n1) .2所以必存在某两个下标ijaia jan11an 1a1an 1 或，使得，所以 anan1 ana2a21ann(n 1) , an 1an1 ann(n 1)a21，即2或2，。，所以ann(n 1) , an 1an12 ，有 an2an 2 或 an2ana2 ，（）若2，考虑

14、an即 a22 ，设 an2an2 ，则 an 1an2anan1 ，导致矛盾，故只有a22.考 虑 an3 ， 有 an3an 2 或 an3 ana3 ， 即 a33 ， 设 an3an 2 ， 则an 1an22a2a0 ，推出矛盾， 设 a33，则 anan11a3a2 ，又推出矛盾，所以 an2a2 , n4 故当 n5 时，不存在满足条件的实数。ann(n1) , a21，考虑 an2 ，有 an2an1 或 an2ana3（）若2，即a32，这时a3a2a2a1，推出矛盾，故an 1an 2。考虑an3，有an3 an 2或 an3ana3 ，即 a3=3，于是 a3a2anan

15、1 ，矛盾。因此 an 2an3 ，所以an 1an21a2a1 ，这又矛盾，所以只有an2a2 ，所以 n4 。故当 n5时，不存在满足条件的实数。例 9设 A=1 ， 2， 3，4， 5， 6 ， B=7 ， 8， 9， ， n ，在 A 中取三个数， B 中取两个数组成五个元素的集合Ai ， i 1,2, ,20, AiAj2,1ij20.求 n 的最小值。【解】nmin16.设 B中每个数在所有Ai 中最多重复出现 k 次，则必有 k4 。若不然，数m 出现 k 次（ k4 ），则 3k 12.在 m 出现的所有 Ai 中，至少有一个A 中的数出现3 次，不妨设它a1 , a2 , m

16、, b11, a3 , a4 , m, b2 , 1, a5 ,a6 , m, b3 ，其中aiA,1 i6，是 1，就有集合 1 ，为满足题意的集合。 ai 必各不相同， 但只能是2，3，4，5，6 这 5 个数，这不可能， 所以 k4.20 个 Ai 中， B 中的数有40 个，因此至少是10 个不同的，所以 n16 。当 n16 时，如下20 个集合满足要求：1 ， 2，3， 7， 8 ，1 ， 2，4， 12， 14 ，1 ，2， 5， 15，16 ，1，2，6，9，10 ，1 ， 3，4， 10， 11 ， 1 ， 3， 5，13， 14 ，1 ， 3， 6，12， 15 ，1，4，

17、 5，7，9，1 ， 4，6， 13， 16 ， 1 ， 5，6， 8， 11 ，2 ， 3， 4，13， 15 ，2，3， 5，9，11，2 ， 3， 6，14， 16 ， 2 ， 4， 5，8， 10 ，2 ，4， 6，7， 11 ，2 ， 5， 6，12， 13 ，3 ， 4， 5，12， 16 ， 3 ，4， 6，8， 9 ，3 ， 5，6， 7，10 ，4 ， 5， 6，14， 15 。例 10集合 1 ，2， ，3n 可以划分成 n 个互不相交的三元集合 x, y, z ，其中 x y3z ，求满足条件的最小正整数n.n【解】 设其中第 i 个三元集为 xi , y, zi , i

18、3n4zi ,1,2, , n, 则 1+2+i 13n(3n1)n4zi8 3n ，所以 n 8 ，当 n 为奇数时， 有 8 3n1 ，2所以i 1。当 n 为偶数时， 有所以 n 5 ，当 n5时，集合 1，11，4，2， 13，5，3，15，6，9，12， 7，10 ，14， 8 满足条件，所以n 的最小值为 5。三、基础训练题1给定三元集合 1, x, x2x，则实数 x 的取值范围是 _。A x ax 22x10,a R, x Ra =_ 。2若集合中只有一个元素，则3集合 B1,2,3 的非空真子集有 _ 个。4已知集合M x x 23x2 0, N x ax 1 0M ，则由满

19、足条件的实，若 N数 a 组成的集合 P=_。5已知 A x x2, B x xa ，且 A B ，则常数 a 的取值范围是 _。6若非空集合S 满足 S1,2,3,4,5 ，且若 a S ，则 6 a S ，那么符合要求的集合 S有_ 个。7集合 X 2n 1 nZ与Y 4k1k Z 之间的关系是 _。8若集合 A x, xy, xy1 ，其中 xZ ， y Z 且 y 0，若 0 A ，则 A 中元素之和是_ 。9集合P x x2x 6 0, M x mx 10P ，则满足条件的m 值构成，且 M的集合为 _。10集合A x y 2x 1, x R , B y yx29, x R，则A B

20、_。111已知 S 是由实数构成的集合， 且满足 1）1S;2 ）若 aSS ，则 1 a。如果 S，S 中至少含有多少个元素？说明理由。A ( x, y) y a x , B( x, y) y xa, CA B12已知，又 C 为单元素集合，求实数 a 的取值范围。四、高考水平训练题1 已 知 集 合 A x, xy, xy, B 0, x , y， 且A=B ， 则 x_ ，y_。2 I1,2,3,4,5,6,7,8,9, AI,B I,AB 2, (C1A)(C1 B)1,9,(C1 A)B 4,6,8 ，则 A(C1 B)_ 。A x10 3xx20, B x m1 x2m 1A B3

21、已知集合，当时，实数 m 的取值范围是 _。aAx11 , 则 aax 2x 14若实数 a 为常数，且_。5集合M m2 , m 1,3, N m3,2m1, m21， 若 MN3，则m _。6集合A a a 5x 3, x N , B b b 7 y 2, y N B 中的最小元素，则 A是_ 。7集合 A xy, xy, xy, B x 2y 2 , x2y 2 ,0 ，且 A=B ，则 x y_。A x x 10, B x px408已知集合2 x， 且 BA ， 则 p 的 取 值 范 围 是_。9设集合A( x, y) y 2x10, B ( x, y) 4x 22x2 y50,C

22、( x, y) ykxb，问：是否存在 k,bN ，使得 (AB)C，并证明你的结论。10集合 A 和 B 各含有12 个元素， AB 含有 4 个元素，试求同时满足下列条件的集合C的个数： 1） CAB且C 中含有 3个元素； 2）CA。11判断以下命题是否正确：设A ，B 是平面上两个点集，C r( x, y) x 2y 2r 2 ，若对任何 r0 ，都有 CrACrB ，则必有 AB ，证明你的结论。五、联赛一试水平训练题A x x0, B z zm2 x12, B, 且BAmx1, x1已知集合，则实数 m 的取值范围是 _。2集合 A1,2,3,2n,2n1 的子集 B 满足：对任意

23、的x, yB, x yB ，则集合 B中元素个数的最大值是 _。3已知集合 P a, aq, aq2 , Q a, ad, a2d ，其中 a0 ，且 aR ，若 P=Q ，则实数 q_。4已知集合A( x, y) xya, a0, B( x, y) xy1xy B 是平面，若 A上正八边形的顶点所构成的集合，则a_。5集合Mu u12m8n4l, m, l , nZ，集合Nu u20 p 16q12r , p,q, rZ ，则集合 M 与 N 的关系是 _。6设集合 M1,2,3,1995 ，集合 A 满足： AM，且当 xA时， 15xA，则 A中元素最多有 _ 个。7非空集合A x 2a

24、1x3a5, B x 3x22 ， 则使 AA B 成立的所有 a 的集合是 _。8已知集合 A ，B ，aC（不必相异）的并集ABC1,2, n , 则满足条件的有序三元组（ A ， B， C）个数是 _。9已知集合A ( x, y) ax y1, B ( x, y) xay1, C( x, y) x 2y 21，问：当 a 取何值时， ( AB) C 为恰有 2 个元素的集合？说明理由，若改为3 个元素集合，结论如何？10求集合 B 和 C，使得 B C1,2, ,10 ，并且 C 的元素乘积等于B 的元素和。11 S 是 Q 的子集且满足：若r Q ，则 rS,rS,r 0 恰有一个成立，并且若a S, bS ，则 abS,a bS ，试确定集合 S。12集合 S=1 ， 2，3， 4， 5，6， 7， 8， 9， 0 的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不同