线性代数总复习讲义

1、线性代数总复习线性代数总复习l一、行列式一、行列式l二、矩阵二、矩阵l三、向量组三、向量组l四、线性方程组的解四、线性方程组的解l五、特征值与特征向量五、特征值与特征向量第一章教学要求第一章教学要求：1了解行列式的概念，掌握行列式的性质。2会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。3理解克莱姆法则及其应用。 n阶行列式的计算方法很多，除直接按定义计算外，一般还有下列方法： 1利用行列式的性质化为三角形行列式计 算法 2. 降阶展开法 行列式的计算第二、三章教学要求第二、三章教学要求：1理解矩阵的概念。2了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。3掌握

2、矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。4理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。5掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；及求矩阵的秩的方法。6了解分块矩阵及其运算。1了解n维向量的概念。2理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论。3了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和求向量组的极大线性无关组及秩。4 了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩

3、阵秩的关系。重要结论2重要结论1第四章教学要求第四章教学要求：5理解理解齐次齐次线性方程组有线性方程组有非零解非零解的充分必要条件及的充分必要条件及非非齐次齐次线性方程组线性方程组有解有解的的充分必要条件充分必要条件。6理解理解齐次线性方程组的齐次线性方程组的基础解系基础解系、通解通解的概念及的概念及 求法。求法。3理解理解非齐次线性方程组解的非齐次线性方程组解的结构结构及及通解通解的概念。的概念。4掌握掌握用行初等变换求非齐次线性方程组用行初等变换求非齐次线性方程组通解通解的的方方法法。Ax=br(A)=r(A,b)=n有唯一解r(A) r(A,b)无解齐次方程的基础解系克拉默法则，r(A)

4、=r(A,b) 整体相关缩短不变性若向量组中向量个数 向量维数必线性相关线性无关整体无关 = 部分无关加长不变性R n 中，任一无关组向量个数 向量维数 n向量组 a1 , a2 , am 线性无关， 而添加 形成的向量组 a1 , a2 , am , 线性相关， 则 可由 a1 , a2 , am 线性表示，且表示唯一。结论1结束计算问题1）怎样求矩阵 A 的秩？- 行行、列则 秩（A） 行阶梯形矩阵中非零行的行数行阶梯形矩阵初等变换行)(A最常用2）怎样求向量组 的秩？ - 行行、列s,21 以向量组 中各向量作为列向量， 构成矩阵 A ； 求出矩阵 A 的秩，也即原向量组的秩s,213）

5、怎样判断向量组 的相(无)关性？ - 行行、列s,21 求出秩（ ） r 比较 r 与 s 的大小s,21r = s 线性无关r s 线性相关当向量个数向量维数时求D 0 线性无关D= 0 线性相关s,214）怎样求向量组 的一个极大无关组？ - 行行s,21 以向量组 中各向量作为列向量， 构成矩阵 A ； 则 B 中各首非零元所在列对应的 A 的部分向 量组就为 向量组 的极大线性无关组。s,21BA行阶梯形矩阵初等变换行)(s,215）怎样利用 4) 中求出的极大无关组表示其余向量？ - 行行 求出向量组 的极大无关组；(2)解非齐次线性方程组即可。 BA行阶梯形矩阵初等变换行)(s,2

6、1“关于矩阵的秩”怎样的情况下矩阵的秩不变？初等变换不改变矩阵的秩矩阵等价矩阵转置乘可逆矩阵矩阵的秩不变矩阵运算对秩的影响？ r ( A+（）B ) r ( A) + r (B) ; r ( AB ) min r ( A ) ，r ( B ) . 行秩列秩矩阵的秩方阵的秩与行列式的关系向量线性无关个行（列）的nAA是可逆矩阵0 AnAr)(称A是可逆，非奇异，非退化，满秩的向量线性相关个行（列）的nAA是不可逆矩阵0 AnAr)(称A是不可逆，奇异，退化，不满秩的 设A是 n 阶方阵返回返回性无关的特征向量。个线有阶方阵相似于对角矩阵nAn) 1 (2) 方阵 A 的属于不同特征值的特征向量线

7、性无关.(3) 设 是 n 阶方阵 A 的一个 k 重特征值，则 A 的属于特征值 的特征向量中，极大线性无关组包含的向量个数不多于 k 个。亦即齐次线性方程组 的基础解系包含的向量个数最多有 k 个。00)(0 xAE0的。对角矩阵阶实对称矩阵必相似于n (4) 设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，则向量个数恰有 k 个.求正交矩阵Q的步骤 (1)求出A的特征多项式 的全部不同的根 ，即为A的全部不同的特征值；AE s,21 (2)对每个特征值 ，解齐次线性方程组 求出它的一个基础解系),2, 1(sii,0)(xAEi;,21iirii (3) 将 正交化、单位化，得到一个正交单位向量组 是

8、属于特征值 的一组线性无关的量；iirii,21iirii,21i (4) 将对应于全部不同特征值 的线性 无关特征向量 作为列向量构成矩阵Q，即为所求之正交矩阵亦即使得Q-1AQ为对角矩阵，其主对角线上的元素即为A的全部特征值),2, 1(siissrssrr,21,222211121121结束重要的定理或性质转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质(1) ();TTAA (2) ();TTTABAB(3) ();TTAA (4) ().TTTABB A 重要的定理或性质一、行列式.2112221122211211aaaaaaaaD ,312213332112322311322113312312

9、332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa1、二阶三阶行列式的计、二阶三阶行列式的计算算2、n阶行列式的计算阶行列式的计算 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. . 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. . 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kk性质行列式中如果有两行（列）元素成比性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零(1) 利用行列式的性质计

10、算利用行列式的性质计算（化为三角形）（化为三角形）性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例例 计算行列式计算行列式0112012120112110 D解解21rr D0112012121102011 13rr 142rr 4130211021102011 23rr 143rr 2200420021102011 34rr 2000420021102011 4)2

11、()2()1(1 0112012121102011 D(2) 利用行列式展开计算利用行列式展开计算定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 njnjjjjjAaAaAaD 2211 nj, 2 , 1 例例3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 二、矩阵二、矩阵1、矩阵的逆的求法、

12、矩阵的逆的求法（1）公式法（伴随法）公式法（伴随法）.1nnn2n12n22121n21111的的代代数数余余子子式式中中元元素素为为行行列列式式的的伴伴随随矩矩阵阵，为为其其中中，其其中中ijijaAAAAAAAAAAAAAAAAA （2）初等变换法）初等变换法):(EA行的初等变行的初等变换换):( E1 A例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. . 343122321A解解343122321 A2 .1存在存在 A412182466 1111) 1( A34122 2112) 1( A33123 （公式法）（公式法） 343122321A3113) 1( A43222 1221)

13、1( A34326 2222) 1( A33316 3223) 1( A43212 1331) 1( A12324 2332) 1( A12315 3333) 1( A22212 332313322212312111AAAAAAAAAA得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 ,222563462 6, 6, 2, 3, 22221131211 AAAAA2, 2, 5, 4, 233323123 AAAAA（初等变换法）（初等变换法） 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 3431

14、22321A 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r . 1BA 矩矩阵阵的的方方法法，还还可可用用于于求求利利用用初初等等行行变变换换求求逆逆阵阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换2、矩阵的秩、矩阵的秩矩阵秩的求法矩阵秩的求法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的

15、秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例 4321,6063324208421221bA设设 .)(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 46063332422084211221):(BbA解解 46063332422084211221B 13600512000240011221131222rrrr 143rr 10000500000120011221 000001000001200112212322rrr 243rr 53 r34rr . 3)(, 2)( BRAR三、向量之间的关系三、向量之间的关系1、线性组合、线性组合mmb 2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量

16、和向量给定向量组给定向量组mmbA ,: 2121的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA定义定义存在矩阵存在矩阵 ， Ab 使得使得矩阵方程矩阵方程bAX 有解有解判定判定),()(bARAR b),21mA （ 线性表示线性表示能由能由),()(BARAR 能能由由（),21sbbbB ),21mA （ 线性表示线性表示存在矩阵存在矩阵 ，KAKB 使得使得矩阵方程矩阵方程BAX 有解有解例例设设,22111 a,31212 a,04113 a,1301 b证明向量证明向量 能由向量组能由向量组 线性表示，并

17、线性表示，并b321,aaa求表示式。求表示式。解解只需证矩阵只需证矩阵),(321aaaA 与矩与矩),(),(321baaabAB 阵阵有相同的秩。有相同的秩。下面把矩阵下面把矩阵 化为行最简形：化为行最简形：B法一法一),(),(321baaabAB 1032341201211111行的初等变换行的初等变换 00000000121023012)()( BRAR向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。b321,aaa由最简形知，方程组由最简形知，方程组bAx 的通解为的通解为从而从而 012123cx ccc1223 cccaaaAxb1223),(321321)12()23(

18、caacac 其中其中 为任意常数。为任意常数。c法二法二设设bakakak 332211即即也即也即 22111k 31212k 04113k 1301 13234202121321321321kkkkkkkkkkk321)12()23(caacac 其中其中 为任意常数。为任意常数。c解得其通解解得其通解为为 231 ck122 ckck 3332211akakakb 故向量故向量 可由向量组可由向量组 线性表示，且线性表示，且b321,aaa其中其中 为任意常数。为任意常数。c0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量

19、组组:,21线线性性无无关关n 定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A2、线性相关性、线性相关性02211 nn 01 n .)(; ),( , 2121mARmAmm 条条件件是是必必要要向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分秩秩小小于于向向量量个个数数的的矩矩阵阵要要条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必向向量量组组 定理定理判定判定线线性性相相关关维维向向量量个个nnn , 21nRARn ),( )(21 0|,| |21 nA 无无关关线线性性维维向向量量个个nnn , 21nRARn ),( )(21

20、 0|,| |21 nA ， 742520111321 .21321的线性相关性的线性相关性，及及，试讨论向量组试讨论向量组 已知已知例例1 751421201),(321 2325rr ， 000220201., 2),(,2),(2121321321线性无关线性无关向量组向量组线性相关；线性相关；，向量组，向量组可见可见 RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201., , 321133322211321的的相相关关性性讨讨论论线线性性无无关关已已知知向向量量组组例例2 2bbbbbb 0 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有, 0)()( 133

21、322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx解解02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 3、最大无关组及向量组的秩、最大无关组及向量组的秩，r ,21设有向量组设有向量组 ，A满足下面两个条件：满足下面两个条件：如果能在如果能在 中选出中选出 个向量个向量rArA ,:210（1）向量组）向量组 线性无关；线性无关；0A线性表

22、示。线性表示。（2）向量组）向量组 中的每一个向量都能由向量组中的每一个向量都能由向量组A则称向量组则称向量组 为向量组为向量组 的的最大无关组最大无关组。 0AA最大无关组所含向量的个数最大无关组所含向量的个数 称为称为向量组的秩向量组的秩。r向量组的秩的求法向量组的秩的求法maaa,21向量组向量组 的秩的秩),(21maaaA 的秩的秩矩阵矩阵. 最大无关组最大无关组行即是行向量组的一个行即是行向量组的一个所在的所在的最大无关组，最大无关组，列即是列向量组的一个列即是列向量组的一个所在的所在的，则，则的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式是矩阵是矩阵若若rDrDADrrr最大无关组的求

23、法最大无关组的求法 97963422644121121112 A设矩阵设矩阵 例例.用用最最大大无无关关组组线线性性表表示示属属最最大大无无关关组组的的列列向向量量无无关关组组，并并把把不不的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大求求矩矩阵阵A行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵施行初等行变换变为施行初等行变换变为对对 A解解，知知3)( ARA ， 00000310000111041211初等行变换初等行变换 .3 个向量个向量组含组含故列向量组的最大无关故列向量组的最大无关且且 列向量组的一个最大无关组为列向量组的一个最大无关组为A421,aaa 00000310003011040101 初等行变换初

24、等行变换AB 因此因此213aaa 4215334aaaa 四、线性方程组的解四、线性方程组的解定理定理 n元线性方程组元线性方程组bAx 1),()(bARAR 有唯一解有唯一解2) nbARAR ),()(无解无解3)nbARAR ),()(无穷多解无穷多解定理定理 n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 有非零解有非零解0 AxnAR )(定理定理 设设nm 矩阵矩阵 的秩的秩 ，ArAR )(则齐次线性则齐次线性 的解集的解集 的秩为的秩为线性方程组线性方程组0 Ax. rnRS S rnrnkkkx2211其中其中 为任意实数。为任意实数。rnkkk ,21非齐次线性方程组的通解非齐次线

25、性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx 的一个特解为的一个特解为* 齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax的基础解系为的基础解系为rn ,21则非齐次线性方程组则非齐次线性方程组bAx 的解解为的解解为例例 求解非齐次方程组求解非齐次方程组1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx 解：解：1511112133(,)3811119377A b 15111072440000000000 31 31 310777244017770000000000 1342341 331 3777424777xxxxxx 令令3142,xcxc则则1122

26、12314213313777424777 xccxccxcxc 12(,c c为任意常数）为任意常数）法法1：法法2： 令令, 043 xx得得 0074713 又原方程组对应的齐次方程组的通解是又原方程组对应的齐次方程组的通解是 432431747271373xxxxxx令令 10,0143xx得基础解系得基础解系 1074713,01727321 所以原方程组的通解是所以原方程组的通解是2211 kk 12(,k k为任意常数）为任意常数）五、特征值与特征向量五、特征值与特征向量（1）如何求）如何求 的特征值？的特征值？A0| EA 解特征方程解特征方程特征方程的根即为矩阵特征方程的根即为

27、矩阵 的特征值。的特征值。A（2）如何求属于特征值）如何求属于特征值 的特征向量？的特征向量？ 解齐次线性方程组解齐次线性方程组 0)( xEA 其非零解即为属于特征值其非零解即为属于特征值 的特征向量的特征向量 1、特征值与特征向量的求法、特征值与特征向量的求法例例 设设,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1321 的特征值为的特征值为得得A 由由解方程解方程时时当当. 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量

28、量为为故故对对应应于于11 ).0( 1 kpk 由由解解方方程程时时当当. 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基础解系为：得基础解系为：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk n 21 APP1使得使得 则则若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵 ，),(21nxxxP （1） 为矩阵为矩阵 的特征值的特征值i A（2） 为对应于特征值为对应于特征值 的特征向量。的特征向量。ixi 2、方阵的对角化、方阵的对角化 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A 得方程组得方程组代入代入将将0121 x