导数零点不可求考点与题型归纳

1、导数零点不可求考点与题型归纳导数是研究函数的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性.用导数研究函数f(x)的单调性，往往需要解方程f'(x)=0.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？考点一猜出方程f'(x)=0的根典例设f(x)=1+Jnx.x(1)若函数f(x)在(a,a+1)上有极值，求实数a的取值范围；(2)若关于x的方程f(x)=x22x+k有实数解，求实数k的取值范围.lnx,解题观摩(1)因为f(x)=-,当0vxv1时，f(x)>0;当x>1时，f(x)V0,x所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，故函数f(x

2、)的极大值点为x=1,a<1,所以即0Va<1,故所求实数a的取值范围是(0,1).a+1>1,(2)方程f(x)=x2-2x+k有实数解，即f(x)x2+2x=k有实数解.设g(x)=f(x)-x2+2x,r,，lnx则g'(x)=2(1-x)-r.x接下来，需求函数g(x)的单调区间，所以需解不等式g'(x)>0及g'(x)w0,因而需解方程g'(x)=0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解.因为g'(1)=0,且当0vxv1时，g'(x)>0,当x>1时，g'(x)<0,所以函数g(x)

3、在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.所以g(x)max=g(1)=2.当x0时，g(x)一一8；当x-十8时，g(x)一一8,所以函数g(x)的值域是(8,2,所以所求实数k的取值范围是(8,2.关键点拨当所求的导函数解析式中出现lnx时，常猜x=1;当函数解析式中出现ex时，常猜x=0.考点二隐零点代换典例设函数f(x)=e2x-alnx.(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数；一一2(2)求证：当a>0时，f(x)>2a+aln".a解题观摩(1)法一：f'(x)=2e2xa(x>0).x、'当aw。时，f'

4、(x)>0,f'(x)没有零点.a当a>0时，设u(x)=e,v(x)=-x因为u(x)=e"在(0,+8)上单调递增v(x)=a在(0,+°°)上单调递增x所以f'(x)在(0,+8)上单调递增.a1一一又因为f(a)>0,当b满足0<b<4且b<4时，f(b)<0,所以当a>0时，f'(x)存在唯一零点.a法一：f(x)=2e2x(x>0).x、令方程f'(x)=0,得a=2xe2x(x>0).因为函数g(x)=2x(x>0),h(x)=e2x(x>0)均是

5、函数值为正值的增函数，所以由增函数的定义可证得函数u(x)=2xe2x(x>0)也是增函数，其值域是(0,+8).由此可得，当a<0时，f'(x)无零点；当a>0时，f'(x)有唯一零点.(2)证明：由可设f'(x)在(0,+8)上的唯一零点为x0.当xC(0,x0)时，f'(x)<0;当xC(x0,+m)时，f，(x)>0.所以f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+8)上单调递增，当且仅当x=x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).因为262x03=0,所以f(x0)=a-+2ax0+aln_2>2a+aln

6、2(当且仅当x0=1时等号成立).x02x0aa2所以当a>0时，f(x)>2a+alnT.a关键点拨本题第(2)问的解题思路是求函数f(x)的最小值，因此需要求f'x)=0的根，但是f'x)=2e2xa=0的根无法求解.故设出f'x)=0的根为X0,通过证明f(x)在(0,X0)和(X0,+00止xa2的单倜性知f(x)min=f(x0)=2X0+2ax0+alna，进而利用基本不等式证得结论，其解法类似解析几何中的设而不求.考点三证一一证明方程f'(x)=0无根典例已知mR,函数f(x)=mxm2lnx,g(x)=若？x°e1,e,使得

7、f(x0)>g(x0)成立，求实数m的取值范围.解题观摩因为当x=1时，f(x)=0,g(x)=2e,不存在f(x0)>g(x。)，所以关于x的不2e+2xlnx等式f(x)>g(x)在1,e上有解，即关于x的不等式1vm(1vxwe)有解.x2-12e+2xlnx设u(x)=2-(1<x<e),则u'(x)=2x24ex22x2+2lnxx2-12(1<x<e),但不易求解方程u'(x)=0.可大胆猜测方程u'(x)=0无解，证明如下：由1vxwe,可得一(2x2+2)lnx<0,2x24ex2=2(x-e)2-2e2-

8、2<0,所以u'(x)<0,u(x)在(1,e上是减函数，.Je_所以函数u(x)的值域是e2_1，+°°,4e故所求实数m的取值范围是1二，+°°.关键点拨当利用导函数求函数f(x)在区间a,b,a,b)或(a,b上的最值时，可首先考虑函数f(x)在该区间上是否具有单调性，若具有单调性，则f(x)在区间的端点处取得最值(此时若求f(x)=0的根，则此方程是无解的).第五课时构造函数利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需

9、要构造辅助函数来解决.题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，如何恰当构造函数，往往成为解题的关键.考点一“比较法”构造函数证明不等式当试题中给出简单的基本初等函数，例如f(x)=x3,g(x)=lnx,进而证明在某个取值范围内不等式f(x)>g(x)成立时，可以类比作差法，构造函数h(x)=f(x)g(x)或(j)(x)=g(x)-f(x),进而证明h(x)min>0或(f(x)maxW0即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具.此外，在能够说明g(x)>0(f(x)>0)的前提下，也可以类比作商法，构造函数h(x)=f-x-(j)x

10、=gx,gxfx进而证明h(x)min>1(|)(x)maxW1).典例已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)求证：当x>0时，x2<ex.解题观摩(1)由f(x)=exax,得f(x)=ex-a.因为f(0)=1a=1,所以a=2,所以f(x)=ex2x,f'(x)=ex2,令f，(x)=0,得x=ln2,当xvIn2时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x>ln2时，f(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=ln2时，f(x)取得极小值

11、，且极小值为f(ln2)=e1n22ln2=2-2ln2,f(x)无极大值.(2)证明：令g(x)=ex-x2,则g'(x)=ex2x.由(1)得g'(x)=f(x)Rf(ln2)>0,故g(x)在R上单调递增.所以当x>0时，g(x)>g(0)=1>0,即x2vex.关键点拨“2x”x2<e在本题第(2)问中，发现x2,ex”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的构造函数，得到g(x)=ex-x2并利用(1)的结论求解.考点二“拆分法”构造函数证明不等式当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的

12、导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉.这时可以将原不等式合理拆分为f(x)Wg(x)的形式，进而证明f(x)max<g(x)min即可，此时注意配合使用导数工具.在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准.典例已知函数f(x)=elnxax(aCR).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a=e时，证明：xf(x)ex+2ex<0.e解题观摩(1)f'(x)=1a(x>0),x若a<0,则f'(x)>0,f(x)在(0,+8)上单调递增；若a>0,则当0vxve时，f'(x)>0,当

13、x>,时，f'(x)<0,aaee故f(x)在0,e上单调递增，在e,+00上单调递减.aaex(2)证明：法一：因为x>0,所以只需证f(x)<-2e,x当a=e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以f(x)max=f(1)=e.ex八，记g(x)=Y-2e(x>0),xx1ex则g'(x)=一2,x所以当0vxv1时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增，所以g(x)min=g(1)=-e.ex综上，当x>0时，f(x)&l

14、t;g(x),即f(x)<-2e,x即xf(x)ex+2ex<0.法二：要证xf(x)ex+2ex<0,即证exlnxex2ex+2ex<0,从而等价于Inx-x+2<e.ex设函数g(x)=Inx-x+2,，1则g(x)=-1.x所以当xC(0,1)时，g'(x)>0;当xC(1,+oo)时，g'(x)<0,故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,从而g(x)在(0,+8)上的最大值为g(1)=1.exexx1设函数h(x)=ex，则h'(x)=ex2.所以当xC(0,1)时，h'(x)<0,

15、当xC(1,+8)时,h'(x)>0,故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，从而h(x)在(0,+8)上的最小值为h(1)=1.综上，当x>0时,g(x)wh(x),即xf(x)ex+2ex<0.关键点拨对于第(2)问xf(x)ex+2exwo的证明直接构造函数h(x)=xelnxax2ex+2ex,求导后不易分析，故可将不等式合理拆分为f(x)W2e或lnxx+2串，再分别对不等式两边构xex造函数证明不等式.考点三“换元法”构造函数证明不等式若两个变元刈，x2之间联系“亲密”,我们可以通过计算、化简，将所证明的不等式整体转化为关于m(xi,X

16、2)的表达式(其中m(xi,X2)为xi,X2组合成的表达式),进而使用换元令m(xi,X2)=t,使所要证明的不等式转化为关于t的表达式，进而用导数法进行证明，因此，换元的本质是消元.lnx典例已知函数f(x)=k有两个不同的夺点xi,x2,求证：xix2>e2.xlnx解题观摩f(x)=-k,设xi>x2>0,x由f(xi)=f(x2)=0,可得lnxikxi=0,Inx2kx2=0,两式相加减，得Inxi+Inx2=k(xi+x2),InxiInx2=k(xix2).要证xix2>e2,即证Inxix2>2,只需证Inxi+Inx2>2,也就是证k(x

17、i+x2)>2,即证k2>.xi+x2lnxiInx2InxiInx22xi2xix2因为k=,所以只需证>,即证ln>.xix2xix2xi+x2x2xi+x2令xi=t(t>i),则只需证lnt>(t>i).x2t+i令h(t)=lnt-(t>i),t+i则h，(t)=-4-=；>0,tt+i211+i2故函数h(t)在(i,+8)上单调递增，所以h(t)>h(i)=0,即lnt>2ti.t+i所以xix2>e2.关键点拨不妨设xi>x2>0,由f(xi)=f(x2)=0,可得lnxi-kxi=0,lnx2-kx2=0,两式相加减,利用分析法将要证明的不等式转化为1n"x2>一，再利用换元法，通过求导证明上述xix2xi+x2不等式成立.考点四“转化法”构造函数在关于Xi,X2的双变元问题中，若无法将所给不等式整体转化为关于m(Xl,X2)的表达式，则考虑将不等式转化为函数的