导数常见题型与解题方法总结

1、导数题型总结1、分离变量-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)2、变更主元-已知谁的范围就把谁作为主元3、根分布4、判别式法-结合图像分析5、二次函数区间最值求法-(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f1(x)0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-(已知谁的范围就把谁作为主元)。例1:设函数yf(x)在区间D上的导数为f(x),f(x)在区间D上的导数为g(x),若在区

2、间D上，g(x)0恒成立，则称函数yf(x)在区间D上为“凸函数”，432已知实数m是常数，f(x)人吗”1262(1)若yf(x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围;(2)若对满足m2的任何一个实数m,函数f(x)在区间a,b上都为“凸函数”，求ba的最大值.43232解：由函数f(x)土更竺得f(x)上更3x1262322g(x)xmx3(1)：yf(x)在区间0,3上为“凸函数”，则g(x)x2mx30在区间0,3上怛成立g(0)0g(3)0解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x)030m293m30解法二：分离变量法:当x0时,g(x)x2mx330恒成立,当0x

3、3时，g(x)x2mx30恒成立2等价于mx-的最大值(0x3)恒成立,xx而h(x)x-(0x3)是增函数，则hmax(x)h(3)2x;当m2时f(x)在区间a,b上都为“凸函数”则等价于当m2时g(x)x2mx30恒成立变更主元法再等价于F(m)mxx230在m2恒成立(视为关于m的一次函数最值问F(2)0F(2)0_2一2xx23021x12xx301cCC例2:设函数f(x)x2ax3axb(0a1,bR)3(I)求函数f(x)的单调区间和极值；(n)若对任意的xa1,a2,不等式|f(x)a的取值范围.解：(I)f(x)x24ax3a2x3axaf(x)a»3a3a令f(

4、x)0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a)令f(x)0,得f(x)的单调递减区间为(一，a)和(3a,+)f(x)极大值=b当x=a时，f(x)极小值=3a3b；当x=3a时,4(H)由|f(x)|<a,得：对任意的xa1,a2,ax24ax3a2a恒成立则等价于g(x)这个二次函数gmax(x)ag(x)x24ax3a2的对称轴x2agmin(x)a；0a1,a1aa2a(放缩法)即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。g(x)x24ax3a2在a1,a2上是增函数.g(x)maxg(a2)2a1.g(x)ming(a1)4a4.于是，对任意x

5、a1,a2,不等式恒成立,等价于g(a2)4a4a,解得4a1.g(a1)2a1a5又0a1,/.-a1.5点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系例3:已知函数f(x)x3ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3,3t62g(x)xx(t1)x3(t0)2(I)求a,b的值；(H)当x1,4时,求f(x)的值域;(m)当x1,4时，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围解:f/(x)3x22ax3,b1a(H)由(I)知，f(x)在1,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,4上单调递减又f(1)4,f(0)0,f(2)4,f(4)16.f(x)的值

6、域是4,16(田)令h(x)f(x)g(x)-x2(t1)x3x1,42思路1:要使f(x)g(x)恒成立，只需h(x)0,即t(x22x)2x6分离变量思路2:二次函数区间最值二、参数问题1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1:转化为f'(x)0或f(x)0在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集;做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是b)"，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集1oa1o例4:已知aR,函数f(x)x3ax2(4al

7、)x.122(I)如果函数g(x)f(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；(II)如果函数f(x)M(,)上的单调函数，求a的取值范围.解：f(x)1x2(a1)x(4a1).41o(I).f(x)是偶函数，a1.此时f(x)x312,12f(x)-x3,4令f(x)0,解得：x2d3.列表如下：x(-00,一2吏)2曲(一2m,2北)2愿(2/3,+OO)f(x)+0一0+f(x)递增极大值递减极小值递增f(x)的极小值为可知：f(x)的极大值为f(2y/3)4J3,f(2.3)43.(n).函数/)是(,)上的单调函数，f(x)1x2(a1)x(4a1)0,在给定区间R上恒成立判别式

8、法4则(a1)241(4a1)a22a0,解得：0a2.4综上，a的取值范围是a0a2.U一一t八I7、比乙1Q1O例5、已知函数f(x)x(2a)x(1a)x(a0).32(I)求f(x)的单调区间；(II)若f(x)在0,1上单调递增，求a的取值范围。子集思想解：(I)f(x)x2(2a)x1a(x1)(x1a).1 、当a0时，f(x)(x1)20恒成立，当且仅当x1时取“=”号，他)在(，)单调递增。2 、当a0时，由f(x)0,得为1,x2a1,且为x2,单调增区间：(单调增区间：(,1),(a1,a1)1,(II)当"f(x)在0,1上单调递增，则0,1是上述增区间的子集

9、：I1、a0时，”*)在(,)单调递增符合题意2、0,1a1,a10a1综上，a的取值范围是0,1。2、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点，即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式(组)即可。例6、已知函数f(x)1x3(x2,g(x)1kx,且f(x)在区间(2,)上为增函323数.(1)求实数k的取值范围；(2)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的

10、交点，求实数k的取值范围.解：(1)由题意f(x)x2(k1)xf(x)在区间(2,)上为增函数，f(x)x2(k1)x0在区间(2,)上恒成立(分离变量法)即k1x恒成立，又x2,.k12,故k1：k的取值范围为k13(2)设h(x)f(x)g(x)-x2kx一，323h(x)x2(k1)xk(xk)(x1)令h(x)0得xk或x1由(1)知k1,当k1时，h(x)(x1)20,h(x)在R上递增，显然不合题意当k1时，h(x),h(x)随x的变化情况如下表:x(,k)k(k,1)1(1,)h(x)0一0h(x)/极大值dd1623极小值k12/12k20由于k10,欲使f(x)与g(x)的

11、图象有三个不同的交点，即方程h(x)0有三2个不同的实根，故需10,即(k1)(k22k2)03k2解得k13综上，所求k的取值范围为k1J3根的个数知道，部分根可求或已知例7、已知函数他)"31Me(1)若x1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值;(2)若g(x)1bx2xd,在(1)的条件下，是否存在实数b,使得函数g(x)的2图像与函数f(x)的图像恒有含x1的三个不同交点若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。解：(1)f(x)的图像过原点，则f(0)0c0f(x)3ax2x2,又x1是f(x)的极值点，则f(1)3a120a13f极大值(x)f(1

12、)一2227f(x)3x2x2(3x2)(x1)0f极小值(x)(2)设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒存在含x1的三个不同交点,等价于f(x)g(x)有含x1的三个根，即：f(1)g(1)d；(b1)x3-x22x-bx2x-(b1)整理得：2221的三个不等实根即：x31(b1)x2x1(b1)0怛有含x223121h(x)x-(b1)xx-(b1)0有含x1的根，则h(x)必可分解为(x1)(二次式)0,故用添项配凑法因式分解，x3x2x21(b1)x2x1(b1)0222121x(x1)(b1)xx(b1)022212x2(x1)(b1)x22x(b1)02十字相乘法分解：x2

13、(x1)1(b1)x(b1)x102211(x1)x(b1)x(b1)022x3l(b1)x2x1(b1)0恒有含x1的三个不等实根22等价于x21(b1)x(b1)0有两个不等于-1的不等实根。1 211(b1)24-(b1)04d/b(,1)(1,3)(3,)211(1)2/1)(b1)0题2切线的条数问题，即以切点x0为未知数的方程的根的个数例7、已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极小值-4,使其导数f1(x)0的x的取值范围为(1,3),求：(1)f(x)的解析式；(2)若过点P(1,m)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围.(1)由题意得：f'(x)3

14、ax22bxc3a(x1)(x3),(a0).在(，1)上f'(x)0;在(1,3)上f'(x)0;在(3,)±f'(x)0因止匕f(x)在X01处取得极小值4abc4，f'(1)3a2bc0，f'(3)27a6bc0(3a1由联立得：b6,f(x)x36x29xc9(2)设切点Q(t,f(t),yf(t)f，(t)(xt)y(3t212t9)(xt)(t36t29t)(3t212t9)xt(3t212t9)t(t26t9)(3t212t9)xt(2t26t)X±(1,m)232m(3t12t9)(1)2t6t32g(t)2t2t12

15、t9m0令g'(t)6t26t126(t2t2)0,求得：t1,t2,方程g(t)0有三个根。需g(1)023129m0m16而.g(2)01612249m0m11故：11m16；因此所求实数m的范围为：(11,16)题3已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、已知函数/Q)=/，-/(皿+3)，+(巾*6)*,需三式(鹏为常数).(I)当时,求函数/")的单调区间；(D)若函数，=义工)在区间(1,+8)上有两个极值点，求实数m的取值范围.解：函数的定义域为R(I)当m=4时，f(x)=1x37x2+10x,32f(x)=x2

16、7x+10,令f(x)0,解得x5,或x2.令f(x)0,解得2x5可知函数f(x)的单调递增区间为(，2)和(5,+8),单调递减区间为2,5.2(H)f(x)=x(m+3)x+m+6,要使函数y=f(x)在(1,+°°)有两个极值点，f(x)1.1(m3)m60;,解得m03(1,+oo)则fm32例9、已知函数f(x)12/2x，(aR,a0)(1)求f(x)的单调区间;(2)令g(x)=1x44+f(x)(x6R)有且仅有3个极值点，求a的取值范围.解：(1)f(x)ax2xx(ax1)当a0时，令f(x)0解得x-或x0,令f(x)0解得x0,aa所以f(x)的递

17、增区间为(，1)(0,),递减区间为(1,0).aa当a0时，同理可得f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为a1(,0)(-,).a(2)g(x)1x4ax31x2有且仅有3个极值点432g(x)x3ax2xx(x2ax1)=0有3个根，则x0或x2ax10,a2方程x2ax10有两个非零实根，所以a240,a2或a2而当a2或a2时可证函数yg(x)有且仅有3个极值点其它例题：1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在R上的函数f(x)ax32ax2b(a0)在区间2,1上的最大值是5,最小值是一11.(I)求函数f(x)的解析式；(n)若t1,1时，f(x)tx0恒成立，求实数x的

18、取值范围.解：(I)f(x)ax32ax2b,f(x)3ax24axax(3x4)令f(x)=0,得Xi0,X2一32,1因为a0,所以可得下表:x2.000.1一，f(x)+0一f(x)/极大因此f(0)必为最大值，f(0)5因此b5,；f(2)值5,f(1)a5,f(1)f(2),即f(2)16a511,a1,/.f(x)x32x25.(H);f(x)3x24x,.f(x)tx0等价于3x24xtx0,令g(t)xt3x24x,则问题就是g(t)0在t1,1上恒成立时，求实数x的取值范围，2为此只需g(°°,即3x25x°,g(1)0x2x0解得0x1,所以所

19、求实数x的取值范围是0,1.2、(根分布与线性规划例子)已知函数f(x)2x3ax2bxc3(I)若函数f(x)在x1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3xy0平行，求f(x)的解析式；(H)当f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值时，设点M(b2,a1)所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分，求直线L的方程.解：(I).由f(x)2xQ1)f(x)-x-x3x1.7分2(H)解法一：由f(x)2x22axb及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值，f(0)0b0f(1)0即2ab20令M(x,y),则f(2)0

20、4ab802axb,函数f(x)在x1时有极值，2ab20;f(0)1c1又:“*)在(0,1)处的切线与直线3xy0平行，f(0)b3故a-2x202yx20故点M所在平面区域S为如图ABC,_32),D(0,1),E(0,2),4yx60易得A(2,0),B(2,1),C(2,SABC21同时DEgABC勺中彳2线，Sdec3sM3所求一条直线L的方程为：x0另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分，设则k0,先边形DEGF164k1直线L方程为ykx,它与AC,BC分别交于F、G,由2；：20得点F的横坐标为:Xf由4yxx60得点G的横坐标为：XG二S四边形DE

21、GFSOGESOFD1361(21224k122k11即16k22k50解得：k1或k5(舍去)故这时直线方程为：yx282综上,所求直线方程为：x0或y1x.12分2(n)解法二：由f(x)2x22axb及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值,ABCf(0)0f(1)0即2ab20f(2)04ab80xb2令M(x,y),则ya1x202yx20故点M所在平面区域S为如图ABC,4yx60易得A(2,0),B(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,f)同时DE为AABC勺中彳立线,Sdec1sM彤ABEDx0所求一条直线L的方程为:另一种情况由于直线BO方程为:

22、设直线BOWAC交于H,1由y2x得直线L与AC交点为：H(2yx20SABCSDECSABHSABOSAOH所求直线方程为：x0或y：x3、(根的个数问题)(I)求c、d的值;已知函数f(x)ax3bx2(c3a2b)xd(a0)的图象如图所(H)若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3xy110,求函数f(X)的解析式;(田)若X。5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数a的取值范围解：由题知：f(x)3ax22bx+c-3a-2b(I)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3)，且f1=0得d33a2bc3a2b0(丑)依题意f2=-3且f(2)=5解得a=112a4b3a

23、2b38a4b6a4b35所以f(x)=x3-6x2+9x+3(HI)依题意f(x)=ax3+bx2-(3a+2b)x+3(a>0)fx=3ax2+2bx-3a-2b由f5=0b=-9a若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)<8a<f(1)由得-25a+3<8a<7a+31.<a<311所以当工<a<3时，方程f(x)=8a有三个不同的根。12114、(根的个数问题)已知函数f(x)1x3ax2x1(aR)(1)若函数f(x)在xx1,xx2处取得极值，且x1x22,求a的值及f(x)的单调区间；(2)若a1，讨论曲线f(x)与g(x)gx2(2a1)x|(2x1)的交点个数.解：(1)f(x)x22ax1x1x22a,x1x21x1x2J(x1x2)24x1x2V4a242a02分-2_2f(x)x2ax1x1令f(x)0得x1,或x1令f(x)0得1x1f(x)的单调递增区间为(，1),(1,),单调递减区间为(1,1)5分(2)由题f(x)g(x)得x3ax2x1-x2(2a1)x532I即1x3(a1)x22ax10326令(x)1x3(a1)x22ax-(2x1)6分3262(x)x2(2a1)x2a(x2a)(x1)令(x)0得x2a或x17分当