第四章土木工程中的几何非线性问题

1、2022-4-29非线性有限元1第四章第四章 几何非线性问题几何非线性问题2022-4-29非线性有限元2基本概念基本概念几何非线性问题：几何非线性问题：位移与应变成非线性（微分意义上）关系。位移与应变成非线性（微分意义上）关系。物理现象：物理现象：将位移（转动）和将位移（转动）和/或应变较大的问题统称为或应变较大的问题统称为大变形大变形问题问题，有时称为，有时称为有限变形问题有限变形问题。这类问题又分为。这类问题又分为大位移大位移（转动）小应变（转动）小应变问题及问题及大位移大应变大位移大应变问题两大类。问题两大类。 研究意义：研究意义：和材料非线性问题一样重要。例如，和材料非线性问题一样重

2、要。例如，平板的弯曲问题平板的弯曲问题，大挠度理论分析结果更符合实际情况；大挠度理论分析结果更符合实际情况；薄壳的屈曲薄壳的屈曲，非线性理，非线性理论的预测值更好。又例如，对于论的预测值更好。又例如，对于橡皮型材料橡皮型材料，大变形还必须考，大变形还必须考虑虑本构关系的变化本构关系的变化，这与纯粹的材料非线性又有区别。，这与纯粹的材料非线性又有区别。几何线性问题：几何线性问题：位移与应变成线性位移与应变成线性（微分）关系；（微分）关系；研究现状：研究现状：大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间的大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间的争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其

3、它问题，如争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题，如解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。2022-4-29非线性有限元31.1.物体运动的描述物体运动的描述2022-4-29非线性有限元4),(tXxxiii2022-4-29非线性有限元52022-4-29非线性有限元6jiXijixxXxj, jjijijjiiXxtXxtXXxxd,),(),d(d 2022-4-29非线性有限元7物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻，物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻， 和和 是一一对应的，是一一对应的，那

4、么在参考位形的任意点那么在参考位形的任意点JacobiJacobi行列式行列式J J不为零。也即变形梯度可逆不为零。也即变形梯度可逆 xiXi321332313322212312111,kjiijkxxxexxxxxxxxxJ JxXij0 xXxxijiXijj,2022-4-29非线性有限元8d,d,diiiXXXd,d,diiixxx3213213210dddddddddddddkjiijkXXXeXXXXXXXXXV 321321321dddddddddddddkjiijkxxxexxxxxxxxxV,iijjdxxdX2022-4-29非线性有限元90dddkjijkiXXeAN 0

5、和和 00dd VVJ1 JdddkjijkixxeAn 0d,dANJXAnlili 2022-4-29非线性有限元102.2.大变形问题的应变描述大变形问题的应变描述2022-4-29非线性有限元11 ijjkikijXxXxE 21jijkikijxxxXxXddiiiiXXxxddddjiijjkikXXXxXxdd jkikijijxXxXe 212022-4-29非线性有限元12格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义，它是lagrangelagrange坐标坐标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是Euler坐标的函数。两种应变张量同样也可以通过位移向量导出：ij

6、jijiXuXx jiijjixuxX ijijiXtXxtXu ),(),(),(),(txXxtxujiiji 2022-4-29非线性有限元13),(21jijiXkXkXiXjijuuuuE ),(21jijixkxkxixjijuuuue 2022-4-29非线性有限元14 )(jjijijjiuxxXFxXXFxFiijjiijijjXFxuXFXFxuXF )( ),(21jixixjijijijuueE ),(21jijiXkXkXiXjijuuuuE ),(21jijixkxkxixjijuuuue 2022-4-29非线性有限元15iiiiXXxxdddd0 ijjkikX

7、xXx 0jkikijxXxX0,ijijEe2022-4-29非线性有限元16 一般来说，在本构方程中一般来说，在本构方程中AlmansiAlmansi应变张量不直接出现，使用的是左应变张量不直接出现，使用的是左Cauchy-GreenCauchy-Green变形张量变形张量b bijij，又称为，又称为现时（现时（UpdatedUpdated）GreenGreen应变张量应变张量Green应变张量：应变张量：以初始构型为参考构型所定义的应变，数学以初始构型为参考构型所定义的应变，数学表示为表示为,12KLK LL KM KM Luuuu现时（现时（Updated）Green应变张量：应变张

8、量：以现时构型为参考构以现时构型为参考构型所定义的应变，数学表示为型所定义的应变，数学表示为,12klk ll km km luuuu注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。)(ijijijeb2211 最终方程中常用的两种应变张量为：最终方程中常用的两种应变张量为：2022-4-29非线性有限元17应变增量：应变增量：Green应变增量：应变增量：现时（现时（Updated）Green应变增量：应变增量：,1122IJKJK JK IKIK IK JK IK JIJIJuuuuuue 线性部分线性部分非线性部分非

9、线性部分*1122jikkijjiijijijuuuuxxxxe 线性部分线性部分非线性部分非线性部分*mnIJmnIJxxXX二者之间满足张二者之间满足张量变换关系！量变换关系！大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。2022-4-29非线性有限元18应变增量：（续）应变增量：（续）对于大变形小应变情形对于大变形小应变情形 Green应变增量退化成：应变增量退化成：现时（现时（Updated）Green应变增量退化成：应变增量退化成：,1212IJKJK JK IKIK IKKKJIJuuuuuuIJIJe 线性部分线性部分非

10、线性部分是高阶小量非线性部分是高阶小量*1212kkijjiijjiuuuxxuxx*ijije 线性部分线性部分非线性部分是高阶小量非线性部分是高阶小量*12jiIJijijjiuuXX 对于小变形情形对于小变形情形2022-4-29非线性有限元193.3.大变形问题的应力描述大变形问题的应力描述2022-4-29非线性有限元20 应力是借助于微元体来定义的应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注，但在大变形分析中，必须注意意微元体所在的构型微元体所在的构型。Euler应力：应力： 与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和

11、多种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。 从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力应力，用，用 表示。表示。Euler应力代表物体的应力代表物体的真实应力真实应力。然而，当前构型是待求的。然而，当前构型是待求的未知构型未知构型，因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。 Kirchhoff（克希霍夫）应（克希霍夫）应力：力： 通过初时构型上的微元体定义的应力称为通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchho

12、ff应力应力，用，用 表示；表示；通过现时构型的微元体定义的应力称为通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（现时（Updated）Kirchhoff 应力应力，用用 表示。表示。 S*S2022-4-29非线性有限元21nTdxTdyTdydxdldyTdxTdyy yx xx xy Ani )3 , 2 , 1( jij AnTjjiidd 2022-4-29非线性有限元22idT0itdTAnTjjiitdd000ddATtiiA0A0AA00dANdTdTjjiitijjijjjiidTxXANSTt00 dd 2022-4-29非线性有限元23Kirchhoff、现时、现时Kirchh

13、off及及Euler应力（增量）间的关系：应力（增量）间的关系：根据张量的坐标变换规则，它们之间还有以下关系根据张量的坐标变换规则，它们之间还有以下关系*ijijijSS现时现时Kirchhoff应力应力Euler应力应力现时现时Kirchhoff应力增量应力增量时刻时刻t 时刻时刻tt*1jiijklNKLxxSSXXD*11jiijijklklNklyySxxD123123,NiJx xxxDXXXX*1123123,Nijy yyyDx xxx特点：以现时构型为参考。特点：以现时构型为参考。2022-4-29非线性有限元244.4.大变形问题的本构关系大变形问题的本构关系2022-4-2

14、9非线性有限元25弹性材料弹性材料 若若Kirchhoff应力与应力与Green应变之间存在应变之间存在一一对应一一对应关系，则称这关系，则称这类材料为类材料为弹性材料弹性材料 IJKLSFIJIJKLKLSA不依赖于构型变化不依赖于构型变化弹性本构关系多用于弹性本构关系多用于大位移（转动）小应变大位移（转动）小应变的情形。的情形。 特殊情形特殊情形2022-4-29非线性有限元26 超弹性材料超弹性材料 假定材料具有假定材料具有单位质量的应变能函数单位质量的应变能函数，再根据能量原理来定义本构，再根据能量原理来定义本构关系，这类材料称为超弹性材料。关系，这类材料称为超弹性材料。KLWW(不限

15、于这种形式）不限于这种形式）总之，对于一般的大变形总之，对于一般的大变形问题，在连续介质力学中问题，在连续介质力学中常用超弹性来表征材料的常用超弹性来表征材料的本构关系。本构关系。 012IJIJKLKLWA例如例如0KLIJIJWS20MNIJKLIJKLIJKLKLWSA一阶近似一阶近似初始构型时材料初始构型时材料的密度的密度常数常数增量形式增量形式 坐标变换坐标变换现时现时Kirchhoff应力应力或增量形式或增量形式 Case-1Case-2*ijWW不能简化！不能简化！一阶近似一阶近似*klijijWS现时构型时材料的密现时构型时材料的密度度随变形变化随变形变化。相相比比较较2022

16、-4-29非线性有限元27 次弹性材料次弹性材料若若应力率应力率与与变形率变形率之间成线性变化规律，这类材料称为次弹性材料。但之间成线性变化规律，这类材料称为次弹性材料。但本构关系描述时要求本构关系描述时要求“率率”为与刚体转动无关的客观时间导数为与刚体转动无关的客观时间导数。 同乘以时间增量同乘以时间增量增量形式增量形式 Case-2IJIJKLKLSAtCase-1*JijijklklSA D可以证明，这两个率都与转动无关可以证明，这两个率都与转动无关 *JijijikkjjkkiSSSSJaumann应力率应力率 *12jiijijjivvDexx现时现时Green应变的线性部分应变的线

17、性部分 可以证明，这两个率都与转动无关可以证明，这两个率都与转动无关 *12jiijjivvxx旋转率旋转率2022-4-29非线性有限元28 三种本构关系间的关系三种本构关系间的关系对于实际的大变形问题，上述对于实际的大变形问题，上述三种本构关系并不等价三种本构关系并不等价。可以证明，。可以证明，弹性弹性材料是一种特殊的次弹性材料，超弹性材料是一种特殊的弹性材料材料是一种特殊的次弹性材料，超弹性材料是一种特殊的弹性材料。实际材料所遵守的本构关系，实际材料所遵守的本构关系，只有通过实验测试只有通过实验测试才能得以确定。才能得以确定。次次弹弹性性材材料料弹性弹性材料材料超弹性超弹性材料材料202

18、2-4-29非线性有限元295.5.大变形问题的有限元方程大变形问题的有限元方程2022-4-29非线性有限元30 与塑性力学有限元方法的异同与塑性力学有限元方法的异同区别：区别：塑性力学的塑性力学的本构关系随加载变化本构关系随加载变化，而大变形问题的，而大变形问题的构型随加载变化构型随加载变化。TL？UL?相似：相似：都采用增量方法，都不显含时间。都采用增量方法，都不显含时间。导致导致分析方法分析方法、应力应变描述应力应变描述、本构关系本构关系、控制方程控制方程的变化。的变化。 构型对应构型对应 构型相关构型相关客观性描述客观性描述 2022-4-29非线性有限元31 TL法有限元方程的建立

19、法有限元方程的建立特点：特点：始终以初始（始终以初始（0时刻）构型做为应力与应变描述的参考构型，因而，采用时刻）构型做为应力与应变描述的参考构型，因而，采用Kirchhoff应力（增量）和应力（增量）和Green应变（增量）。应变（增量）。 t 时刻时刻:TL法：法：Total Lagrangian Description （TLD）虚功方程：虚功方程：优点：优点：参考构型不发生变化，本构关系与虚功方程描述形式简单。参考构型不发生变化，本构关系与虚功方程描述形式简单。 000eTTTTttttttttVSSubdVutdSuP 时刻时刻:tt 000tttttttttttttteTTTTttV

20、SSubdVutdSuP 两式相减，两式相减，得增量型虚得增量型虚功方程：功方程： 000TTTVTTTeeSTeSSubeSubdVuttdSuPP 2022-4-29非线性有限元32 TL法有限元方程的建立（续）法有限元方程的建立（续）将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到刚度矩阵刚度矩阵形式较复杂，因问题的类型而不同。形式较复杂，因问题的类型而不同。ttIJIJK SUF S 载荷向量载荷向量TL法的求解步骤法的求解步骤:Step 1：利用有限元方程求出：利用有限元方程求出 间隔内的位移增量间隔内的位移增量

21、 ；tttIUStep 2：利用几何关系，计算：利用几何关系，计算Green应变增量应变增量 ；IJStep 3：利用本构关系，计算：利用本构关系，计算Kirchhoff应力增量应力增量 ；IJSStep 4：更新当前时刻：更新当前时刻 ；更新当前应力；更新当前应力 ；计算当前刚度矩阵和载荷向量。计算当前刚度矩阵和载荷向量。 ttt IJIJIJSSS Step 5：转到：转到Step 1，进入下一个时间间隔计算。，进入下一个时间间隔计算。 2022-4-29非线性有限元33 UL法有限元方程的建立法有限元方程的建立特点：特点：总以总以t 时刻（即现时构型）为参考构型，也就是说参考构型是变化的

22、，因时刻（即现时构型）为参考构型，也就是说参考构型是变化的，因而，采用现时而，采用现时Kirchhoff应力（增量）和现时应力（增量）和现时Green应变（增量）。应变（增量）。 UL法：法：Updated Lagrangian Description （ULD）仿照仿照TL法的推导，可得虚功方程：法的推导，可得虚功方程：优点：优点：可以处理加载方式更为复杂的问题，亦可处理边界非线性问题等。可以处理加载方式更为复杂的问题，亦可处理边界非线性问题等。 UL法的增量型虚功方程：法的增量型虚功方程： 000TTTVTTTeeSTeSSubeSubdVuttdSuPP *0TTTVTTTNNeeSTe

23、SubeubdVuttdSuPP2022-4-29非线性有限元34UL法有限元方程的建立（续）法有限元方程的建立（续）将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到;ttttKUF ttIJIJK SUF S UL法的求解步骤及与法的求解步骤及与TL法法的比较的比较:Step 1：利用有限元方程求出：利用有限元方程求出 间隔内的位移增量间隔内的位移增量 ；tttIUStep 2：利用几何关系，计算：利用几何关系，计算现时现时Green应变增量应变增量 ；Step 3：利用本构关系，计算：利用本构关系，计算现时现时Kirc

24、hhoff应力增量应力增量 ；Step 4：更新当前时刻：更新当前时刻 ；更新当前应力更新当前应力, 根据根据 计算计算 ，并，并且使得且使得 ；更新当前构型更新当前构型 ；计算当前刚度矩阵与；计算当前刚度矩阵与载荷向量。载荷向量。 ttt Step 5：转到：转到Step 1，进入下一个时间间隔计算。，进入下一个时间间隔计算。 *ij*ijS*tijklSttijijtttijijij iiixUx 2022-4-29非线性有限元35小结小结 大变形问题有限元方法与弹塑性问题有限元方法都是大变形问题有限元方法与弹塑性问题有限元方法都是在在增量意义上增量意义上通过拟线性化，进而加以求解。通过拟

25、线性化，进而加以求解。 但弹塑性问题有限元方法在确定弹塑性状态时还应当但弹塑性问题有限元方法在确定弹塑性状态时还应当进行迭代或按优化问题进行迭代或按优化问题处理，这点与接触问题类似。处理，这点与接触问题类似。 所以，从方法上说，所以，从方法上说，弹塑性问题有限元方法包含了大弹塑性问题有限元方法包含了大变形问题有限元和接触问题有限元两类问题的所有特点。变形问题有限元和接触问题有限元两类问题的所有特点。2022-4-29非线性有限元366.6.大变形问题的载荷处理大变形问题的载荷处理2022-4-29非线性有限元37 00TTTTeeVSubub dVutt dSuPP 载荷目前还没有考虑载荷目前

26、还没有考虑重要区别重要区别TL法的载荷项：法的载荷项：UL法的载荷项：法的载荷项： TTTTNNeeVSubub dVutt dSuPP 体积力体积力表面力表面力2022-4-29非线性有限元38 体积力的处理体积力的处理原则：原则：物体的重力在变形过程中保持不变。物体的重力在变形过程中保持不变。 (0)()(0)()NNbdVbdV (0)(0)()()(0)(1)NNNbbdVbbdV ()(0)()1NNbbD ()(0)(0)()()*(1)1NNNNbbbbDD 全量全量增量增量区别之处区别之处2022-4-29非线性有限元39 表面力的处理表面力的处理 表面力的处理较为复杂，不但与

27、构型变化有关，还与表面表面力的处理较为复杂，不但与构型变化有关，还与表面力的施加方式有关。以常见的集中力和均布力为例。力的施加方式有关。以常见的集中力和均布力为例。1 1）集中力）集中力 第一种情形：第一种情形：集中力的方向在整个变形过程中保持不变；集中力的方向在整个变形过程中保持不变；第二种情形：第二种情形：集中力的方向与所作用表面的夹角不变。集中力的方向与所作用表面的夹角不变。 ()(0)NPP()(0)NPP 全量全量增量增量可按表面分布力的特殊情形加以处理，详见下面的分析。可按表面分布力的特殊情形加以处理，详见下面的分析。 2022-4-29非线性有限元40 表面力的处理（续）表面力的

28、处理（续） 大变形分析中大变形分析中一般分布载荷一般分布载荷随变形的变化，是一个复杂的随变形的变化，是一个复杂的问题，问题，很难进行定量研究很难进行定量研究。这里对。这里对均匀表面分布力均匀表面分布力随大变形的随大变形的变化进行分析。变化进行分析。 2）表面分布力）表面分布力 全量全量增量增量原则：原则：不同时刻，这类载荷的合力一般保持不变。不同时刻，这类载荷的合力一般保持不变。（其它情形仿此进行）（其它情形仿此进行） 在在 t 时刻：时刻： ()(0)()(0)NNeiieJJtndStn dS在在 时刻：时刻：tt ()()(0)(0)()(0)NNNeieiieJeJJttndSttn

29、dS (0)()()NiJJiNxXn dSn dSD ()(0)()NiJeieJNxXttD()(0)()NiJeieJNxXttD近似处理后近似处理后2022-4-29非线性有限元41本章总结本章总结 由于发生了不可忽略的较大变形，大变形问题的分析更加困难，所涉及由于发生了不可忽略的较大变形，大变形问题的分析更加困难，所涉及内容更加丰富。一般来说，相对于小变形问题，大变形分析具有以下内容更加丰富。一般来说，相对于小变形问题，大变形分析具有以下特点特点：1）应变定义发生了变化。）应变定义发生了变化。大变形问题的最鲜明特征就是描述应变位大变形问题的最鲜明特征就是描述应变位移的几何关系发生了变化。在一些特殊问题中，大变形