liu复合函数的导数PPT学习教案

1、会计学1liu复合函数的导数复合函数的导数复习复习1. 微分定义微分定义:),(为例以yxfz zyyxfxyxfyx),(),(dz yyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要关系重要关系:)( o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续定义定义能能第1页/共32页3.多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；dddzzzxyxydddd .uuuuxyzxyz，),(yxfz ),(zyxfu 4. 判定函数可微的方法判定函数可微的方法:2200lim0()( , ),)xyyxf xx yyf x yxyfxfy 定义法定义法偏导连续偏导

2、连续是是第2页/共32页回顾：一元复合函数的求导法回顾：一元复合函数的求导法则则（链式法则）（链式法则）问题问题: :( ),( ) ( )yf uuxyfx dydy dudxdu dx则则yux),(),( xxfy )(),(),(. 1xvxuvufy 复合而成的函数复合而成的函数则则? xy即即?dd xy),(),(),(. 2yxvyxuvufz 复合而成的函数复合而成的函数),(),( yxyxfz ? ?zzxy 则则第3页/共32页第四节第四节一元复合函数一元复合函数)(),(xuufy求导法则求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则

3、一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则微分法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 第九章 第4页/共32页)(),(ttfz定理定理. 若函数若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续处偏导连续, ),(vu在点在点在点 t 可导可导, ddddddzzuzvtutvtz则复合函数则复合函数且有链式法则且有链式法则vutt则有则有I.I.复合函数的中间变量均为复合函数的中间变量均为一元函数一元函数的情形：的情形：证证: 由已知由已知 可微可微),(vu在点),(vufz dddzz

4、zuvuv又有又有 在点在点 t 处可导处可导 ( ),( )utvt ddd ,ddduvdut dvttt则有则有代入：代入：ddddddduvtzzzuvttt第5页/共32页代入：代入：ddddddduvtzzzuvtttddddddzzuvuttzvt dddddduvzzzutttv利用一元函数的一阶微分形式不变性利用一元函数的一阶微分形式不变性( )yf u 对于函数对于函数 不论不论 u 是自变量还是因变量是自变量还是因变量,d( )dyfuu 都都有有d( )dyfuu ( 全导数公式全导数公式 )tvvztuuztzddddddzvutt若定理中若定理中 说明: ),(),

5、(vuvuf在点偏导数连续偏导数连续减弱为减弱为可微可微, 则定理结论则定理结论仍成立仍成立.特点特点: :中间变量是中间变量是一元函数一元函数. .第6页/共32页,sin,342xveuuvvuzx .ddxz解解xvvzxuuzxzdddddd xuvuevuvxcos)12()32(324 .cos)sin12()sin3sin2(324xxeeexxexxxx ?dd0 xxz, 01 vu、 0ddxxz0, 0, 1324cos)12()32( xvuxxuvuevuv. 10cos100 euvxzx第7页/共32页1) 中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形. 例如例如

6、, ),(wvufz 设下面所涉及的函数都设下面所涉及的函数都可微可微 .tzddzwvutuuzddtvvzddtwwzdd)(, )(, )(twtvtuttt2) 中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.例如例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzvuyxyxxuuzxvvzyuuzyvvz口诀口诀 : :2 中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.第8页/共32页类似地还可以类似地还可以推广：推广：设设),(wvufz 具有连续偏导数具有连续偏导数,而而),(),(),(yxwyxvyxu 都具有偏导数，都具有偏导数，则

7、则复合函数复合函数),(),(),(yxyxyxfz 有对自变量有对自变量x、y的偏导数，的偏导数，且且 xuufxz yuufyz xvvf,xwwf yvvf.ywwf zvuyxyxwxy第9页/共32页如如：( , ),( , ),( )zf u v ux y vy;xuuzxz zz uzyu yv 注意：注意：1.这里这里v与与x无关，无关，且在一元函数求导时，且在一元函数求导时，将记号将记号”“ 改为改为“d”.zvuxyy2.2.注意各个符号的含义注意各个符号的含义. .3.3.弄清变量间的关系弄清变量间的关系. .d.dvy第10页/共32页( , , )zf u x y 如

8、如：),(yxu 其中其中即即,),(yxyxfz ,zuxxxffu.zuyyyffu令令,xv , yw ,zzuzvxuxvx,zzuzwyuywyzvu xyxwyzuxxyy( , ,),( , ),zf u v w ux y vx wy 第11页/共32页,zuxxxffu.zuyyyffu第12页/共32页,xfxuufxz .yfyuufyz 两者的区别两者的区别区别类似区别类似 ( , ), , ,zfx yx y ( , , ),( , )zf u x y ux y zuxxyy第13页/共32页),(, ),(yxvvxfz当它们都当它们都可微可微时时,有有xz121ff

9、yz22 ffz xyxxfxvvfyvvfv 这样一来，我们就可以对各类这样一来，我们就可以对各类多元复合函数多元复合函数求偏导数求偏导数. .只要弄清它们的复合结构，及变量之间的关系，用锁链法则和正确的符号表示即可只要弄清它们的复合结构，及变量之间的关系，用锁链法则和正确的符号表示即可. .口诀口诀 : :有几个中间变量就有几项有几个中间变量就有几项, ,有几层复合就有几层乘积有几层复合就有几层乘积. .第14页/共32页,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzve

10、ucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx第15页/共32页,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2第16页/共32页求多元复合函数的导数的步骤：求多元复合函数的导数的步骤：画出画出变量关系图；变量关系图；由关系图由关系图得出求导公式得出求导公式;求出求出所需的偏导数所需的偏导数(或导数或导数);代入公式代入公

11、式,化简即可化简即可.Fuyx例例4 设解解 xz( )xy ( )xF u )(2uFx yz,),(22yxuuFyz 求求.,yzxz ( )yy ( )yF u 12( ).yF u 恰当的利用求导的四则法则，会使计算简单恰当的利用求导的四则法则，会使计算简单. .第17页/共32页为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxff 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxy

12、f yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff第18页/共32页1()(),zf xyyxyfx具具有有2.zx y 求求x先先求求 的的偏偏导导数数比比较较复复杂杂，由题意知由题意知:混合偏导数相等，混合偏导数相等，,zy 则则先先求求1998zy 1()()(),fxyxxyyxyx()()(),fxyxyyxy 2zx y 2zy x ()()().yfxyxyyxy 二阶连续二阶连续偏导数，偏导数，第19页/共32页设函数设函数),( vufz 具有连续偏导数，具有连续偏导数，则全微分则全微分;dddvvzuuzz 当当),(),(yxvyxu 时，时，有有.dddvvz

13、uuzz 全微分形式不变性的实质：全微分形式不变性的实质：无论无论z是自变量是自变量u、v的函数或是中间变量的函数或是中间变量u、v的函数，的函数，它的全微分形式是一它的全微分形式是一 样的样的.第20页/共32页 xvvzxuuzyyzxxzzddd yvvzyuuz yyuxxuuzdd yyvxxvvzdd uuzd.dvvz ，),(),(),(yxvyxuvufz xdyd第21页/共32页 )cos( )sin(yxyxeyx例例2 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求利用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例2 解解d( d )z uveudsin)cos()s

14、in(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx d xdy)dd(yxxy第22页/共32页例例8 8,),(具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导其其中中设设fzxyzxyfu .,zuyuxudu 及及求求解解)()()(321zxdfyzdfxydfdu )()()(321zdxxdzfzdyydzfxdyydxf dzfxf ydyf zfxdxf zf y)()()(322131 31f zf y

15、xu 21f zfxyu fxf yzu 2dzzudyyudxxudu 第23页/共32页1. 复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性全微分形式不变性, ),(vufz 对不论不论 u , v 是自变量还是因变量是自变量还是因变量,d( , )d( , )duvzfu vufu vv第24页/共32页 xz.uvuxzzvx yz.uvuyzzvy ,ffuxuxxz .zfufyuyyddd.dddzzuzvtutvt zvuttzvuyxyxzvyxyx牢记求导的公牢记求

16、导的公式和方法、符式和方法、符号号求抽象的复合函数的偏导数求抽象的复合函数的偏导数-链式法则链式法则( , ),( ),( )zf u v ut vt( , ),( , ),( , )zf u v ux y vx y( , , ),( , )zf x y v vx y 有几个中间变量就有几项有几个中间变量就有几项, ,有几层复合就有几层乘积有几层复合就有几层乘积. .第25页/共32页P82 题8(2)xuy11f 11fyyu1f )(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzyzyyxfu,第26页/共32页,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 已知求.

17、),(22xyyxf解解: 由1),(2xxf两边对 x 求导, 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf第27页/共32页) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点)1 , 1(处可微 , 且设函数,3) 1 , 1 (yf解解: 由题设23)32( (2001考研考研)第28页/共32页(,)(),xyzf xygf gyx设设其其中中具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数2.zx y 求求2000zx 1221() ()yyfyfgyxx 1221yyffgyx2zx y 1221yyyffgyx 12122221111ffyfyfggyyyyxxx1212223111,ffyfyfggyyyyxx121112212222(),(),ffxxxffxffyyyy 第29页/共32页2zx y 1212223111,ffyfyfggyyyyxx121112212222(),(),ffxxxffxffyyyy 2zx y 11112221222