第三章动量守恒定律

1、物理学物理学第五版第五版1动量守恒定律和能量守恒定律第 三 章 授课教师：张授课教师：张 伟伟Email: 西南科技大学理学院西南科技大学理学院物理学物理学第五版第五版前前 言言我们往往只关心过程中力的效果我们往往只关心过程中力的效果力对时间和空间的积累效应。力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累效应：力在时间上的积累效应：平动平动冲量冲量动量的改变动量的改变转动转动冲量矩冲量矩角动量的改变角动量的改变力在空间上的积累效应力在空间上的积累效应功功改变能量改变能量 牛顿定律是瞬时的规律。牛顿定律是瞬时的规律。在有些问题中，在有些问题中， 如：碰撞（宏观）、如：碰撞（宏观）、（微观）（微观）散

2、射散射物理学物理学第五版第五版3-73-7 完全弹性碰撞完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞3-83-8 能量守恒定律能量守恒定律3-93-9 质心质心 质心运动定律质心运动定律本章目录本章目录3-63-6 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律3-13-1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理3-23-2动量守恒定律动量守恒定律3-43-4动能定理动能定理3-53-5保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能物理学物理学第五版第五版3-0 3-0 基本教学要求基本教学要求 一一理解理解动量、冲量概念，动量、冲量概念，掌握掌握动量定动量定理和动量守恒定律理和动量守恒定律 二

3、二掌握掌握功的概念功的概念, , 能计算变力的功，能计算变力的功，理解理解保守力作功的特点及势能的概念，会计保守力作功的特点及势能的概念，会计算万有引力、重力和弹性力的势能算万有引力、重力和弹性力的势能物理学物理学第五版第五版 三三掌握掌握动能定理、功能原理和机械动能定理、功能原理和机械能守恒定律，能守恒定律，掌握掌握运用动量和能量守恒定运用动量和能量守恒定律分析力学问题的思想和方法律分析力学问题的思想和方法 四四了解了解完全弹性碰撞和完全非弹性完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的特点，并能处理较简单的碰撞的特点，并能处理较简单的完全弹性完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的问题碰撞和完全非弹性碰撞的问题3

4、-0 3-0 基本教学要求基本教学要求物理学物理学第五版第五版力力的的累积累积效应效应对时间积累对时间积累对空间积累对空间积累动量、冲量动量、冲量 、动量定理、动量守恒、动量定理、动量守恒动能、功、动能定理、机械能守恒动能、功、动能定理、机械能守恒3-13-1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理pI ，EW，物理学物理学第五版第五版一一冲量冲量质点的动量定理质点的动量定理 动量动量vmp )( dddvmptFtmtpFd(ddd)v121221dvvmmpptFtt 冲量冲量（矢量矢量）21dtttFI物理学物理学第五版第五版 动量定理动量定理在给定的时间间隔内，外力在给定的时间间隔

5、内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量动量的增量ptFIddd （微分形式）（微分形式）12d21pptFItt （积分形式）（积分形式）物理学物理学第五版第五版某方向受到冲量，该方向上动量就改变某方向受到冲量，该方向上动量就改变说明说明 分量表示分量表示yyttyymmtFI1221dvvzzttzzmmtFI1221dvvxxttxxmmtFI1221dvv物理学物理学第五版第五版质点系质点系二二 质点系的动量定理质点系的动量定理1m2m12F21F1F2F20222212d)(21vvmmtFFtt10111121d)(21vvmm

6、tFFtt 对两质点分别应用对两质点分别应用质点动量定理：质点动量定理：物理学物理学第五版第五版)()(d)(20210122112121vvvvmmmmtFFtt因内力因内力 ，02112 FF故将两式相加后得：故将两式相加后得：20222212d)(21vvmmtFFtt10111121d)(21vvmmtFFttniiiiniittmmtF101ex21dvv物理学物理学第五版第五版 作用于系统的合外力的冲量等于系统作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量动量的增量质点系动量定理质点系动量定理N21exFFFF0101ex21dppmmtFniiiiniittvv0ppI物理学物理学第

7、五版第五版区分区分外力外力和和内力内力内力仅能改变系统内某些物体的内力仅能改变系统内某些物体的动量，但不能改变系统的总动量动量，但不能改变系统的总动量.注意注意物理学物理学第五版第五版1 1. 冲量是矢量，其方向为合外力的方向。冲量是矢量，其方向为合外力的方向。3 3. 冲量的单位：牛顿冲量的单位：牛顿 秒，秒，Ns5. 计算物体所受计算物体所受合外力的冲量合外力的冲量时，无须确定各个外力，时，无须确定各个外力，只须知道质点始末两态的动量的变化即可。只须知道质点始末两态的动量的变化即可。2. 合外力的方向与动量增量的方向一致。合外力的方向与动量增量的方向一致。121221dvvmmppItFt

8、t4. 为合外力，不是某一个外力。为合外力，不是某一个外力。F物理学物理学第五版第五版.动量是状态量；动量是状态量； 冲量是过程量，冲量是过程量，.动量方向为物体运动速度方向；动量方向为物体运动速度方向；冲量方向为合外力方向，即加速度方向或冲量方向为合外力方向，即加速度方向或速度变化方向。速度变化方向。物理学物理学第五版第五版（1） F 为恒力为恒力tFI（2） F 为变力为变力)(d1221ttFtFItt讨论讨论Ftt1t2OFt1t2tFO物理学物理学第五版第五版1vm2vmvm12121221dttmmtttFFttvv动量定理常应用于碰撞问题动量定理常应用于碰撞问题F注意注意 越小，

9、则越小，则 越大越大tF在在 一定时一定时p物理学物理学第五版第五版车辆超载容易车辆超载容易引发交通事故引发交通事故车辆超速容易车辆超速容易引发交通事故引发交通事故物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版 运动员在投掷标运动员在投掷标枪时，伸直手臂，尽枪时，伸直手臂，尽可能的延长手对标枪可能的延长手对标枪的作用时间，以提高的作用时间，以提高标枪出手时的速度。标枪出手时的速度。 物理学物理学第五版第五版物理学物理学第五版第五版1vm2vmxy 例例1一质量为一质量为0.05 kg、速率为速率为10 ms- -1的刚球，以与的刚球，以与钢板法线呈钢板法线呈45角的方向撞击角的方向撞击在钢板

10、上，并以相同的速率在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来设碰撞时间和角度弹回来设碰撞时间为为0.05 s求在此时间内钢板求在此时间内钢板所受到的平均冲力所受到的平均冲力O物理学物理学第五版第五版 解解由动量定理得：由动量定理得：0sinsinvvmmN1 .14cos2tmFFxv方向与方向与 轴正向相同轴正向相同OxxxxmmtF12vvcos2 vm)cos(cosvvmmyyymmtF12vv1vm2vmxyFFO物理学物理学第五版第五版O 例例2质量质量m = 1kg的质点从的质点从O点开始沿半径点开始沿半径R = 2m的的圆周运动。以圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动点为自

11、然坐标原点。已知质点的运动方程为方程为 。试求从。试求从 s到到 s这段这段时间内质点所受合外力的冲量。时间内质点所受合外力的冲量。25 . 0ts21t22t解：解：22121s211Rs222122s22Rsttsddv11sm2v12sm2v1vmmv物理学物理学第五版第五版11smkg2vm12smkg2vm)(12vvvmmmI1222221smkg642vvvmmm1smkg69. 76I22tan12vvmm44541vm2vm)( vm 物理学物理学第五版第五版 例例 3 一柔软链条长为一柔软链条长为l,单位长度的质量为单位长度的质量为 .链条放链条放在桌上在桌上,桌上有一小孔

12、桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下链条一端由小孔稍伸下,其余部分其余部分堆在小孔周围堆在小孔周围.由于某种扰动由于某种扰动,链条因自身重量开始落下链条因自身重量开始落下 .求链条下落速度与落下距离之间的关系求链条下落速度与落下距离之间的关系 . 设链与各处的设链与各处的摩擦均略去不计摩擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开且认为链条软得可以自由伸开 . 解：解： 以竖直悬挂的链条以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统和桌面上的链条为一系统,受力受力分析分析，建立如图坐标，建立如图坐标由质点系动量定理得由质点系动量定理得ptFddexm1m2OyyyggmF1ex则则物理学物理学第五版第五版则

13、则tddvyyg m1m2Oyydtdp 外外Fdydy dtyvdyg)( dyyvdv)( )( yvvdygdy )(2yvyvddygy 两端同乘以两端同乘以 y ： yvyyvyvddyyg002)(两端积分：两端积分：232131）（得：yvgy 2/ 132）（ gyv物理学物理学第五版第五版 例例 4：一质量均匀分布的柔软细绳铅直一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压

14、力，等于已落到意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。桌面上的绳重量的三倍。ox证明：证明：取如图坐标，设取如图坐标，设t时刻已有时刻已有x长的柔绳落至桌面，长的柔绳落至桌面，随后的随后的dt时间内将有质量为时间内将有质量为 dx（Mdx/L)的柔绳以的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：dtdpdtdtdxdx 物理学物理学第五版第五版根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：dtdtdxdxdtdpF柔绳对桌面的冲力柔绳对桌面的冲力FF即：即： 22vLMvF而已落到桌面上的柔绳的重量为而

15、已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以所以F总总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mgx/L2vLMgxF/2 2 2gxv 而物理学物理学第五版第五版 例例4一长为一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为 ，将其卷成一，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住链条的一端，以加速度堆放在地面上，如图所示。若用手握住链条的一端，以加速度a从静止匀从静止匀加速上提。当链条端点离地面的高度为加速上提。当链条端点离地面的高度为x时，求手提力的大小。时，求手提力的大小。va解：解：以链条为系统，向上为以链条为系统，向上为X X正向，地面为

16、原点建立坐标系。正向，地面为原点建立坐标系。t时刻，系统总动量时刻，系统总动量xvP)( xvddPdttvxdttxvdddddtaxv)(2OxXdtaxaxdP)2(axdt3dtdt时间，系统受合外力冲量时间，系统受合外力冲量dtxgF系统动量的改变为：系统动量的改变为：悬赏题悬赏题物理学物理学第五版第五版Fg)(xldPdtxgFaOxXgxN根据动量定理，得到根据动量定理，得到axdt3xaxgF3 物理学物理学第五版第五版 iiiittiipptFI0ex0d质点系动量定理质点系动量定理 若质点系所受的若质点系所受的合外力合外力 0exexiiFFCpFtpF,0,ddexex动

17、量守恒定律动量守恒定律则系统的总动量不变则系统的总动量不变3-23-2动量守恒定律动量守恒定律物理学物理学第五版第五版 ( (1) ) 系统的系统的总动量不变，但系统内任一总动量不变，但系统内任一质点的动量是可变的质点的动量是可变的 ( (2) ) 守恒条件：守恒条件：合外力为零合外力为零 0exexiiFF 当当 时，可近似地认为时，可近似地认为 系统总动量守恒系统总动量守恒inexFF讨论讨论物理学物理学第五版第五版( (3) ) 若若 ，但满足，但满足0exexiiFF0 exxFxiixCmpixv有有xixiixxCmpFv,0ex( (4) ) 动量守恒定律是物理学动量守恒定律是物

18、理学最普遍、最基最普遍、最基本的定律之一本的定律之一yiyiiyyCmpFv,0exziziizzCmpFv,0ex物理学物理学第五版第五版xzyo x zys s ovv1m2m 例例1一枚返回式火箭以一枚返回式火箭以 2.5 103 ms- -1 的的速率相对惯性系速率相对惯性系S沿水平方向飞行空气阻沿水平方向飞行空气阻力不计现使火箭分离为两部分力不计现使火箭分离为两部分, 前方的仪前方的仪器舱质量为器舱质量为100 kg，后方的火箭容器质量为，后方的火箭容器质量为200 kg，仪器舱相对火箭容器的水平速率为，仪器舱相对火箭容器的水平速率为1.0 103 ms- -1求仪器舱和火求仪器舱和

19、火箭容器相对惯箭容器相对惯性系的速度性系的速度物理学物理学第五版第五版已知已知13sm1052 .v13sm1001 .v求求 ,1v2vkg2002mkg1001mxzyo x zys s ovv1m2m物理学物理学第五版第五版解解 vvv21221121)(vvvmmmm131sm10173 .v13sm10172.mmmvvv2112xzyo x zys s ovv1m2m物理学物理学第五版第五版38 例例2. 宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为尘埃密度为 。如果质量为如果质量为mo的飞船以初速的飞船以初速vo穿过尘埃穿过尘埃，由于尘埃粘由于尘埃粘在飞船上，致使

20、飞船速度发生变化。求飞船的速度与在飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积为积为S的圆柱体）的圆柱体）某时刻飞船速度：某时刻飞船速度：v，质量：，质量：m动量守恒：动量守恒：vvmm00质量增量：质量增量：tSmddvvv00mm tSmmddd200vvvvmv物理学物理学第五版第五版39ttmSo0003ddvvvvvtmS00202)11(21vvv00002vvvmtSmtmSdd003vvv物理学物理学第五版第五版40火箭飞行原理火箭飞行原理 变质量问题变质量问题神舟六号待命飞天神舟六号

21、待命飞天物理学物理学第五版第五版41神舟六号点火升空神舟六号点火升空注：照片摘自新华网注：照片摘自新华网物理学物理学第五版第五版42神舟六号发射成功神舟六号发射成功http:/ t 时刻火箭的质量为时刻火箭的质量为M， 速度为速度为v；t +dt 时刻时刻： 火箭的质量为火箭的质量为M- m 速度为速度为v + v 喷出气体的质量为喷出气体的质量为 m 相对于火箭的速度为相对于火箭的速度为ur物理学物理学第五版第五版44设：初始设：初始00v火箭总质量火箭总质量 M0 ，壳体本身的质量为壳体本身的质量为M1 ，燃料耗尽时火箭的速度为，燃料耗尽时火箭的速度为 v10ddMMrMMuvv0muvM

22、tPttPPuvvmvvmMttPMvtPrr)()()()()()(dtdmudtdvMdtdpr动量随时间的变化率为：动量随时间的变化率为：dtdmdtdMdtdMudtdvMdtdpr物理学物理学第五版第五版4510lnMMurv10MM为质量比为质量比提高火箭速度的途径有二：提高火箭速度的途径有二：第一条是提高火箭喷气速度第一条是提高火箭喷气速度u第二条是加大火箭质量比第二条是加大火箭质量比M0/M对应的措施对应的措施选优质燃料选优质燃料 采取多级火箭采取多级火箭物理学物理学第五版第五版46多级火箭：多级火箭：一级火箭速率：一级火箭速率：1lnNur1v设各级火箭的质量比分别为设各级火

23、箭的质量比分别为N1、N2、N3 、二级火箭速率：二级火箭速率：212lnNur vv323ln Nur vv三级火箭速率：三级火箭速率：物理学物理学第五版第五版47三级火箭所能达到的速率为：三级火箭所能达到的速率为：)ln()lnln(ln3213213NNNuNNNurrv设，设，N1 = N2 = N3 = 313sm105 . 2ru得得13133sm102 . 83ln3sm105 . 2v这个速率已这个速率已超过了第一宇宙速度超过了第一宇宙速度。 物理学物理学第五版第五版一功一功 1恒力作用下的功恒力作用下的功cosrFWrFWF 对空间的积累对空间的积累，动能定理动能定理3-43

24、-4动能定理动能定理rF物理学物理学第五版第五版rFWddFrdiF1drirdB*i1A1F2变力的功变力的功cosF drBABAsFrFWdcosdsrddsFWdcosd物理学物理学第五版第五版0d900ooW，0d18090ooW，0dd90oWrF( (1) ) 功的正、负功的正、负讨论讨论( (2) ) 作作功的图示功的图示cosF1s2ssdsosFWssdcos21物理学物理学第五版第五版（3）功是一个过程量，与路径有关功是一个过程量，与路径有关（4）合力的功，等于各分力的功的代数和合力的功，等于各分力的功的代数和）（zddddzyBAxBAFyFxFrFWxFWBAxxxx

25、dzWWWWyxkFjFiFFzyxkj yi xrzddddyFWBAyyyydzzzdBAzzFW物理学物理学第五版第五版 功的单位功的单位（焦耳）焦耳）tWP 平均功率平均功率 瞬时功率瞬时功率tWtWPtddlim0cosvFP 功率的单位功率的单位 （瓦特）瓦特）W10kW131sJ1W1mN1J1trFddv F物理学物理学第五版第五版例例 作用在质点上的力为作用在质点上的力为)(42Nji yF 在下列情况下求质点从在下列情况下求质点从)(21mx 处运动到处运动到)(32mx 处该力作的功：处该力作的功：1. 质点的运动轨道为抛物线质点的运动轨道为抛物线yx42 2. 质点的运

26、动轨道为直线质点的运动轨道为直线64 xyXYO23125. 2yx42 64 xy物理学物理学第五版第五版做做功功与与路路径径有有关关2211124xyxyWydxdy XYO23125. 2yx42 64 xy bxyzaWF dxF dyF dz 2211224xyxyWydxdy )(42Nji yF39 42212410 8(/ ).xdxdyJ 39 42162421 25()/.xdxdyJ 物理学物理学第五版第五版xF0hlxdcosdtWFsFxctglxh 22dcscdsind/xhhcoscosddsinFhWFx 2121211(-)Fhsinsin课堂练习课堂练习物

27、理学物理学第五版第五版 例例 1一质量为一质量为 m 的小球的小球竖直落入水中，竖直落入水中， 刚接触水面时刚接触水面时其速率为其速率为 设此球在水中所设此球在水中所受的浮力与重力相等，水的阻受的浮力与重力相等，水的阻力为力为 , b 为一常量为一常量. 求阻力对球作的功与时间的函求阻力对球作的功与时间的函数关系数关系0v vbFr0vxo物理学物理学第五版第五版解解建立如右图所示的坐标系建立如右图所示的坐标系dWFr又由又由 前面例题知：前面例题知：tmbe0vvtbWttmb020de2v) 1(e21220tmbWmv0vxodddxbtt vdbxv2dbt v物理学物理学第五版第五版

28、rFWdtmaF t而而21222121vvmm二二 质点的动能定理质点的动能定理21dWmdsdtvvvsFrFddtt1vAB2vFrd21dmvvv vcosdrFtmddv物理学物理学第五版第五版 功是过程量，动能是状态量；功是过程量，动能是状态量；注意注意 合合外力对外力对质点质点所作的功，等于质点动所作的功，等于质点动能的能的增量增量 质点的动能定理质点的动能定理1k2k21222121EEmmWvv 功和动能依赖于惯性系的选取，功和动能依赖于惯性系的选取，但对不同惯性系动能定理形式相同但对不同惯性系动能定理形式相同物理学物理学第五版第五版 例例 2 一质量为一质量为1.0 kg

29、的小的小球系在长为球系在长为1.0 m 细绳下端，绳细绳下端，绳的上端固定在天花板上起初的上端固定在天花板上起初把绳子放在与竖直线成把绳子放在与竖直线成 角角处，然后放手使小球沿圆弧下处，然后放手使小球沿圆弧下落试求绳与竖直线成落试求绳与竖直线成 角角时小球的速率时小球的速率o30o10vdl0PTFsd物理学物理学第五版第五版TddddWFrFr Pr 解解 )cos(cos0 mgldPrdsinmgl0dsinmglWvPdl0TFsd=ddrsddcosPrmgl d cosPrdl 物理学物理学第五版第五版)cos(cos0 mglW由动能定理由动能定理2022121vvmmW得得)

30、cos(cos20glv1sm53. 1kg0 .1mm0 . 1lo030o10vdl0PTFsd物理学物理学第五版第五版rermmGF2( (1) ) 万有引力作功万有引力作功一一 万有引力和弹性力作功的特点万有引力和弹性力作功的特点 对对 的万有引力为的万有引力为mmm移动移动 时，时， 作元功为作元功为 FrdrFWddrermmGrd2rrrdrdmmABArBrrerd3-53-5保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能物理学物理学第五版第五版BArrrrmmGWd2cosddrererr)11(ABrrmmGWBArrermmGrFWdd2m从从A到到B的过程中的过程中 作功：

31、作功： FrrrdrdmmABArBrrerddr物理学物理学第五版第五版xFxo( (2) ) 弹性力作功弹性力作功2121ddxxxxxkxxFW)2121(2122kxkx FPxkxWddikxF弹性力弹性力物理学物理学第五版第五版2121ddxxxxxkxxFW)2121(2122kxkx xFdxdWx2x1O物理学物理学第五版第五版 保守力保守力所作的功与路径无关所作的功与路径无关，仅决定，仅决定于于始、末始、末位置位置二保守力与非保守力二保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式保守力作功的数学表达式)2121(22ABkxkxW弹力的功弹力的功)()(ABrmmGrmmGW引力

32、的功引力的功物理学物理学第五版第五版ADBACBrFrFd d ABCD 质点沿任意质点沿任意闭合闭合路径运动一周时，路径运动一周时，保守力保守力对对它所作的功为零它所作的功为零0d lrFWBDAACBlrFrFrFd d d非保守力：非保守力：力所作的功与路径有关力所作的功与路径有关 （例如（例如摩擦摩擦力）力）conservative force nonconservative force 物理学物理学第五版第五版三势能三势能与质点位置有关的能量与质点位置有关的能量弹性弹性势能势能2p21kxE引力引力势能势能rmmGEp)2121(22ABkxkxW弹力弹力的功的功)()(ABrmmG

33、rmmGW引力引力的功的功物理学物理学第五版第五版P1p2p)(EEEW保守力的功保守力的功保守力作正功，势能减少保守力作正功，势能减少 势能具有势能具有相对性，相对性，势能势能大小大小与势能与势能零零 点点的选取的选取有关有关),(ppzyxEE 势能是势能是状态的状态的函数函数 势能是属于势能是属于系统的系统的讨论讨论 势能差与势能零点选取无关势能差与势能零点选取无关物理学物理学第五版第五版pEzOzmgE p 四势能曲线四势能曲线弹性弹性势能曲线势能曲线0, 0pEx重力重力势能曲线势能曲线0, 0pEz引力引力势能曲线势能曲线0,pErxOpE2p21kxExOpErmmGEp地面（地

34、面（Z = 0= 0）为势能零点为势能零点弹簧自由端弹簧自由端为势能零点为势能零点无限远处无限远处为势能零点为势能零点物理学物理学第五版第五版保守力功与势能的积分关系：保守力功与势能的积分关系：pEW保守力功与势能的微分关系：保守力功与势能的微分关系：pddEWxyzWFrFxFyF zE pdddddddEp),(ppzyxEE EEExyzxyzpppddd物理学物理学第五版第五版所以：所以：xEFxpyEFypzEFzpkzEjyEixEFppp保守力的矢量式：保守力的矢量式： 保守力沿各坐标方向的分量，等于系统的势能保守力沿各坐标方向的分量，等于系统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，

35、其方向指向势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向指向势能降低的方向。降低的方向。 结论：结论：即即 势能曲线上任意一点的斜率势能曲线上任意一点的斜率 的负值，的负值，表示质点在该处所受的保守力表示质点在该处所受的保守力 dldEP物理学物理学第五版第五版外力功外力功 内力功内力功一质点系的动能定理一质点系的动能定理 质点系质点系动能定理动能定理 0kkinexEEWW1m2mimexiFiniF内力可以改变质点系的动能内力可以改变质点系的动能注意注意0kk0kkinexEEEEWWiiiiiiii 对质点系，有对质点系，有0kkinexiiiiEEWW 对第对第 个质点，有个质点，有i3-6

36、3-6 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律物理学物理学第五版第五版)()(0p0kpkinncexEEEEWW0kkinexEEWW非保守非保守力的功力的功inncincininWWWWiiincpp 0pp0()()iiiiWEEEE 二质点系的功能原理二质点系的功能原理incinncexinexWWWWW物理学物理学第五版第五版机械能机械能pkEEE0inncexEEWW 质点系的机械能的增量等于外力与质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作功之和非保守内力作功之和质点系的功质点系的功能原理能原理)()(0p0kpkinncexEEEEWW物理学物理学第五版第五版三机械能守恒

37、定律三机械能守恒定律当当0inncexWW0EE 时，时，有有 只有保守内力作功的情况下，质点只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变系的机械能保持不变pkEE)(0pp0kkEEEEp0k0pkEEEEE守恒定律的意义守恒定律的意义说明说明0inncexEEWW物理学物理学第五版第五版 例例 2 一轻弹簧一轻弹簧, 其一其一端系在铅直放置的圆环的端系在铅直放置的圆环的顶点顶点P，另一端系一质量为，另一端系一质量为m 的小球的小球, 小球穿过圆环并小球穿过圆环并在环上运动在环上运动( (=0)0)开始开始球静止于点球静止于点 A, 弹簧处于自弹簧处于自然状态，其长为环半径然状态，其长为

38、环半径R; 30oPBRA当球运动到环的底端点当球运动到环的底端点B时，球对环没有压时，球对环没有压力求弹簧的劲度系数力求弹簧的劲度系数物理学物理学第五版第五版 解解 以弹簧、小球和以弹簧、小球和地球为一系统地球为一系统BA只有保守内力做功只有保守内力做功系统系统ABEE 即即)30sin2(2121o22mgRkRmBvRmmgkRB2v又又Rmgk2所以所以取点取点B为重力势能零点为重力势能零点0pE30oPBRA物理学物理学第五版第五版3-73-7 完全弹性碰撞完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞（五个小球质量全同）（五个小球质量全同）物理学物理学第五版第五版CpFFiiinex一

39、般情况碰撞一般情况碰撞1完全弹性碰撞完全弹性碰撞 系统内动量和机械能均系统内动量和机械能均守恒守恒2非弹性碰撞非弹性碰撞 系统内动量系统内动量守恒守恒，机械能，机械能不守恒不守恒3完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 系统内动量系统内动量守恒守恒，机械能，机械能不守恒不守恒物理学物理学第五版第五版 例例 1设有两个质量分设有两个质量分别为别为 和和 ，速度分别为，速度分别为 和和 的弹性小球作对心的弹性小球作对心碰撞，两球的速度方向相碰撞，两球的速度方向相同若碰撞是完全弹性的，同若碰撞是完全弹性的，求碰撞后的速度求碰撞后的速度 和和 20v2m1m10v1v2v1v2vA1m2m10v20vBAB碰前

40、碰前碰后碰后物理学物理学第五版第五版 解解 取速度方向为正向取速度方向为正向, 由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得2222112202210121212121vvvvmmmm)()(220222212101vvvvmm2211202101vvvvmmmm由动量守恒定律得由动量守恒定律得1v2vA1m2m10v20vBAB碰前碰前碰后碰后( (2) )()(20221101vvvvmm( (1) )物理学物理学第五版第五版21202102112)(mmmmmvvv21101201222)(mmmmmvvv由由 、 可解得：可解得：202110vvvv122010vvvv( (3) )( (2)

41、 )( (1) )由由 、 可解得：可解得：( (3) )( (1) )1v2vA1m2m10v20vBAB碰前碰前碰后碰后物理学物理学第五版第五版（1）若若21mm 则则102201 vvvv，则则0 2101vvv，讨论讨论12mm （3）若若,且且0 20v1021012 vvvv，则则（2）若若0 20v12mm ,且且1v2vA1m2m10v20vBAB碰前碰前碰后碰后21202102112)(mmmmmvvv21101201222)(mmmmmvvv物理学物理学第五版第五版 德国物理学家和生理德国物理学家和生理学家于学家于1874年发表了年发表了论力论力( (现称能量现称能量) )

42、守恒守恒的演讲，首先系统地以数的演讲，首先系统地以数学方式阐述了自然界各种学方式阐述了自然界各种运动形式之间都遵守能量运动形式之间都遵守能量守恒这条规律是能量守守恒这条规律是能量守恒定律的创立者之一恒定律的创立者之一亥姆霍兹亥姆霍兹 ( (18211894) )3-83-8 能量守恒定律能量守恒定律物理学物理学第五版第五版 能量守恒定律：能量守恒定律：对一个与自然界对一个与自然界无无任何任何联系的系统来说联系的系统来说, 系统内各种形式的能量系统内各种形式的能量可可以以相互转换，但是不论如何转换，能量既相互转换，但是不论如何转换，能量既不不能产生能产生，也不能消灭，也不能消灭（1）生产实践和科

43、学实验的经验总结；生产实践和科学实验的经验总结；（2）能量是系统能量是系统状态状态的函数；的函数；（3）系统能量不变，但各种能量形式可系统能量不变，但各种能量形式可以互相以互相转化转化；（4）能量的变化常用功来量度能量的变化常用功来量度一一 质心质心1质心的概念质心的概念 板上点板上点C的运动的运动轨迹是抛物线轨迹是抛物线 其余点的运动其余点的运动=随点随点C的的平动平动+绕点绕点C的的转动转动ccccccc3-93-9 质心质心 质心运动定律质心运动定律物理学物理学第五版第五版mrmmmmrmrmrmriniiiiiC12122112质心的位置质心的位置 由由n个质点组成个质点组成的质点系，

44、其质心的质点系，其质心的位置：的位置：1r2rxzyocrm1mim2cir物理学物理学第五版第五版mxmxiniiC1mymyiniiC1mm iniiCzz1，mxmd1Cx，mymd1CymmCd1zz对质量连续分布的物体：对质量连续分布的物体：对质量离散分布的物系：对质量离散分布的物系： 对密度均匀、形状对称的物体，质对密度均匀、形状对称的物体，质心在其几何中心心在其几何中心说明说明物理学物理学第五版第五版 例例1 水分子水分子H2O的结构如图每个氢原的结构如图每个氢原子和氧原子中心间距离均为子和氧原子中心间距离均为d=1.010- -10 m，氢原子和氧原子两条连线间的夹角为氢原子和氧原子两条连线间的夹角为=104.6o求水分子的质心求水分子的质心OHHoxyCdd52.3o52.3o物理学物理学第五版第五版 解解HOHoHOoH13