单位化正交向量问题

1、5.1 向量的内积、正交化方法 5.1.1向量的内积定义定义1 设有 维向量n1122, nnababab1 122,nna ba ba b 称为向量 与 的内积 向量的内积具有下列性质 ,0kkk 0 令 5.1.2向量的长度定义定义2 设 12naaa 令 22212,naaa 称为向量 的长度（或范数）. 向量的长度具有下列性质 性质性质1 非负性:当 0时, 0 ;当 0 时, 0. 性质性质2 齐次性: kk （k为实数）. 性质性质3 三角不等式 则 . 当 , 00时, ,1 ( 0 当时） 可以证明,arccos n 称为维向量与的夹角. 当 ,0 时,称向量 与显然,零向量与

2、任何向量都正交. 正交.5.3.3正交向量组 定义定义3 一组两两正交的非零向量组,称为正交向量组. 两两正交的单位向量组,称为单位正交向量组, 记作12,me ee正交向量组有下列性质： 性质性质1 若 12,m 是正交向量组,则 12,m 无关. 性质性质2 设 12,me ee为单位正交向量组, 为同维数的任一若存在数12,mk kk,使 1 12 2m mk ek ek e 则 , (1,2,) iikeim线性向量,.例例1 已知两个3维向量 12111 , 211 正交,求一个非零向量 3, 使 123, 两两正交. 解解: 记 T1T2111121A ,则 3 应满足齐次线性方程

3、组 A 0 x即 12312101110 xxx 因为 121101111010A所以同解方程组为 132330 xxxxx ,通解为 1213101xxcx一基础解系为 101,取 3101即可. ,5.1.4正交化方法(施密特（Schimidt）正交化过程 ) 设 12,m 为一线性无关向量组 （1）正交化 取 11 2122111, 313233121122, 依次类推,一般的,有121121112211,jjjjjjjjj (1,2,)jm可以证明, 12,m 两两正交,且与 12,m 等价. （2）单位化 令 jjje(1,2,)jm则 12,me ee为单位正交向量组,且 12,m

4、 等价. 例例2 已知 1111 ,求一组非零向量 23, ,使123, 两两正交. 解：解： 23, 应该满足 , 10 x即 1230 xxx其同解方程组为1232233 xxxxxxx 它的通解为 12123111001xxccx一基础解系为 12111,001 ，2111,022321111112,1000,21112 把基础解系正交化，即为所求取于是得 231121,0012 即为所求.阶矩阵5.1.5 正交矩阵定义定义4 如果nA满足TA AE,那么称A为正交矩阵，简称正交阵 例如： 1001cossinsincos1001102211022都是正交矩阵为正交阵，那么 正交矩阵有下

5、列性质：性质性质1 若 AA是可逆阵,且 1T,1AAA或;为正交阵，那么 性质性质2 若 ATA 是正交阵； 为正交阵性质性质3 A1TAA性质性质4 若 ,A B为同阶正交矩阵,则 ,AB BA也是正交矩阵 ；的特征值，非零列向量 称为方阵5.2.1 方阵的特征值与特征向量 定义定义5 设()i jAa是一个 阶方阵,如果存在数 及 nn维非零列向量 12nxxxx使得 A xx,那么,这样的数 称为方阵AA对应于(或属于) 特征值的特征向量x的是方阵 的特征值, 是对应的特征向量AxA xx()AE 0 x0AE(此为 个未知数 个方程的齐次线性方程组) nn1112121222120n

6、nnnnnaaaaaaaaa是方阵 的特征值Ax是对应于 的特征向量x是齐次线性方程组()AE 0 x的非零解.(右式称为 的特征多项式,记为 , A( )f( )0f称为特征方程).，(设 )A( )fAE12,n i()iAE 0 x12,n r ()iR AEr1 12212( ,n rn rn rcccc cc为对应于 的全部特征向量.i不全为零)则第二步：求出特征方程的所有根（重根按重数计算）； 第三步：对每个特征值 ,求出相应的齐次线性方程组的一个基础解系 ，例例3 求矩阵2112A的特征值与特征向量. 解：解： 2221(2)143(1)(3)12AE所以A的特征值为121,3

7、对于特征值11,解方程()AE 0 x,由11111100AE得同解方程组1222 xxxx11121 ()1xccRx ，通解为一基础解系为111 .，所以对应于11的全部特征向量为1 11(0)cc . 对于特征值23,解方程(3 )AE 0 x,由得同解方程组1222 xxxx 12221 ()1xccRx，通解为一基础解系为211 所以对应于11的全部特征向量为：222(0)cc 111131100AE.例例4 求矩阵110430102A 的特征值与特征向量解：解： 211011430(2)(2)(1)43102AE 所以A有2重特征值121，有单特征值32 对于特征值121，解方程(

8、)AE 0 x210101420012101000AE 得同解方程组132333 2 xxxxxx 故得通解1211312 ()1xxccRx所以对应于特征值121T1 111122(0)ccc ，由的全部特征向量为：T1 111122(0)ccc 对于特征值32，解方程(2 )AE 0 x3101002410010100000AE 得同解方程组123300 xxxx，故得通解1222300 ()1xxccRx 对应于特征值的全部特征向量为22200 (0)1cc 32重特征值算作阶方阵是可逆方阵性质性质1 若n()i jAa的全部特征值为12,n （kk个特征值）则：121122(1),nn

9、naaa12(2);nA性质性质2 设A的一个特征值， x为对应的特征01是1A的一个特征值， x为对应向量, 且则向量;特征是方阵性质性质3 设A的一个特征值， x为对应的特征.n是nA的一个特征值， x为对应特征向量; 向量, 则n是一个正整数, 是方阵性质性质4 设A的一个特征值， x为对应的特征是01( )nnaaa 的一个特征值， x为对应特征向量.向量, 若则01( )nnAa Ea Aa A ( )A ,的特征值都不为零，知可逆，故例例5 设3阶矩阵 的特征值为 ,求 A1, 1,2*32AAE解解: 因为AA*1AA A.而1231 ( 1) 22A 所以*132232AAEA

10、AE 把上式记作( )A ，则2( )32 故( )A 的特征值为： (1)1, ( 1)3, (2)3 于是*321 ( 3) 39AAE A0322EAEAEAEA3223, 2, 1A3A11,1AAAAAA得，AAxAxAAxA是即,12233,2323, 313A2734, 633, 336126)7()6(332EA例6：设是三阶方阵，且求 .解，由题知是的特征值，于是由于故的特征值，故的特征值分别为：所以，由于：的互不相同的特征值，是方阵性质性质1 设A的一个特征值， x为对应的特征向量,若又有数,A xx ，则;性质性质2 设12,m 是方阵Aix是对应于i的特征向量(1,2,

11、)im,则向量组12,mx xx即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关线性无关的相似矩阵，或称方阵定义定义6 设,A B都是n阶方阵，若有可逆矩阵P,使1P APB,则称B是AA与B相似，记作342041,520751ABP，有1P APB，从而即 如5.3.1 相似矩阵的概念ABAB25437002的对应于与的某个特征值,若是5.3.2 相似矩阵的性质性质性质1 （因为 ;1)AE AE性质性质2 若,则性质性质3 若,则性质性质4 相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征 值都相同； 性质性质5 设1,P APB是ABx是A的特征向量，则1PxB的对的特征向量AB;AB,AAABBC,

12、AC;应于xyA31224321B., yx. 254321)(),3122()22(3122)(22EBfyxxxyEAfBA)()(BAff. 25)3122()22(22yxx.12,17, 23122, 522yxyxx所以，例7 若矩阵与相似，求解：由于，所以比较上式两端的同次幂系数，得： （3）可以证明，对应于 的每一个 重特征值 若正好有 个线性无关的特征向量,即 则 必有 个线性无关的特征向量，从而一定可以 对角化 定理定理1 阶方阵 与对角矩阵相似（即 能对角化）的充 分必要条件是 有 个线性无关的特征向量AAAnn推论推论 （ 能对角化的充分条件）如果 阶方阵的 个特征值互

13、不相等，则 与对角矩阵相似AnnA注意注意 （1）推论的逆命题未必成立（2）当 有重特征值时，就不一定有线性无关的特征向量，从而 不一定能对角化AAAikiik()iiR AEnkAn5.3.3 矩阵的相似对角化 的特征多项式为例例8 判断下列矩阵是否可以对角化？若可以对角化,求可逆矩阵使之对角化10010(1),(2)252 .23241AB 解解: （1） 10( )(1)(3)23fAE 的特征值为1，3，是两个不同的特征值，所以 可以对角化AAA对1，解方程()AE 0 x,由于00112200AE同解方程组为 1222 xxxx 通解为 11211xcx一基础解系为 111p对3，解

14、方程(3 )AE 0 x,由于201032000AE同解方程组为 1220 xxx通解为 12201xcx 一基础解系为 201 p令 1210,11Pp p，则11003P AP 因此, 的特征值为1，1，3的特征多项式为（2）B2100( )252(1) (3)241gBE 对1，解方程()BE 0 x,由于000121242000242000BE 同解方程组为 12322332 xxxxxxx通解为 12123211001xxccx ,一基础解系为12211 ,001 ppB对3，解方程(3 )BE 0 x ,由于2001003222011244000BE 同解方程组为 123330 x

15、xxxx通解为： 1233011xxcx 一基础解系为 3011 p 有三个线性无关的特征向量，所以 可以对角化BB令 123210,101011Pp pp则1100010003P BP 是5.4.1实对称矩阵的性质性质性质1 实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量为实 向量；性质性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互 正交；性质性质3 设 An阶实对称矩阵, 是A的k则齐次线性方程组 重特征根,()AE 0 x的系数矩阵的()R AEnr,从而 A的对应于特征值 性无关的特征向量恰有 的线r个. 秩个特征值.是定理定理2 设 An阶实对称矩阵,则存在正交矩阵 ,P使1P AP ,其中

16、 为对角矩阵,且 元素是矩阵 对角线上的A的5.4.2 实对称矩阵的相似对角形 根据上述定理，任何一个实对称矩阵都与对角阵正交相似 n寻找正交矩阵 P,使 1P AP成为对角阵的步骤如下： 1根据特征方程 ,求出矩阵 0AEA的特征值 的所有不同12,s 及它们的重数 12,sk kk2对每一个特征值 (1,2, )iis,解齐次线性方程组 ()iAE0 x,求得它的一个基础解系： 12,(1,2, );iiiikis 3利用施密特正交化方法，把向量组 12,iiiik 正交单位化得单位正交向量组 12,iiiikppp(1,2, )is从而得到 n个两两正交的单位特征向量组: 1211121

17、2122212,skkssskppppppppp；的个4令 12111212122212(,)P skkssskppppppppp则 P为正交矩阵,且1,P AP 为对角矩阵，且 对角线上的元素含 iki(1,2, )is恰好是矩阵 An个特征值.其中 的主对角元素 (1,2, )isi的重数为 ik顺序与 ,并且排列P排列顺序相对应 中正交向量组的例例9 设 011101110A ,求一个正交矩阵 P,使 1P AP 为对角矩阵 解：解：由 21111(1) (2)11AE 得A的特征值为 1232,1 对应于 12 ,解方程 (2 )AE 0 x,由 2111012121011112000

18、AE 得同解方程组 132333 xxxxxx ，通解为 1213111xxcx一基础解系为 1111 ,单位化得 1131313 p对应于 231,解方程 ()AE 0 x由 111111111000111000AE 得同解方程组 1232233 xxxxxxx 通解为 12233111001xxccx 一基础解系为： 23111,001 取2322332221111,111,011 ,220102 单位化,得： 23116211,26206pp,令123111326111(,)32612036Pp pp则有： 1T211P APP AP 注意：注意： 上例中若令 123111,110 ,1

19、11QQ 可逆,则1211Q AQ.例例10 设 1111A,求 10.A解：解： AA为实对称矩阵所以 可以对角化,即存在可逆矩阵 Q,使 1Q AQ 为对角矩阵.于是 1,AQ Q从而 1.nnAQQ由 11(2)11AE 得 A的特征值为： 120,2于是 101000,22 对于 10, 111101100AE得 111 由, 对于 22,由 111121100AE得 211 令 1211,11Q ,再求出 1111112Q,于是 1101010101010111100211111122222AQQ一般地， 1021(222nnnnnAQQn为正整数). , . 合同5.5.1合同矩阵

20、定义定义7 设有两个n阶矩阵,A B,如果存在一个可逆矩阵C使得TBC ACBA,则称矩阵与 合同关系是矩阵之间的又一重要关系，它是研究二 次型的主要工具合同关系具有以下性质：性质性质1 A与自身合同 A性质性质2 若合同,则BA与合同.BA与性质性质3 若 合同,B与合同,则BC与合同.A与C个变量的二次齐次函数5.5.2二次型及其矩阵表示定义定义8 含有n2221211 1222121213 131,1( ,) 222nnnnnnnnf x xxa xa xa xa x xa x xaxx称为二次型 jiijaa取2ijijijijjijia x xa x xa x x则实二次型可以写成：

21、 1112112111221212,nnnnnnnnaaaxaaaxx xxaaax21211 1121211221212222221122( ,) nnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x111212111212nnnnnnaaaaaaAaaa12nxxxx则二次型可记作： 记：TfA xx. 任给一个二次型，就惟一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可惟一确定一个二次型这样，实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应关系因此，我们把对称矩阵 叫做二次型 的矩阵，也把 叫做对称矩阵 的二次型对称矩阵 的秩就叫做二次型

22、 的秩AffAAf22112233243fxx xx xx 例如：112323110,102023xfx xxxx可表示为： 可逆变换,正交变换.经可逆变换 二次型的矩阵 变为与 合同的矩阵 且二次型的秩不变11111221221122221122,nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc y 研究矩阵的合同与实二次型理论的关系在将实二次型变化的过程中，我们常常需要作变换，这种变换可以用如下关系描述：称为由变量 到变量 线性变换12,ny yy12,nx xxCxy矩阵形式为：111212122212nnnnnnccccccCccc12nxxxx12nyyy

23、yACxyATBC AC定义定义9 如果二次型 通过可逆T12(,)nf x xxAxxCxyTByyT2221122nnfBk yk yk yyy标准形所对应的矩阵为对角矩阵，12TnkkBC ACk5.6.1二次型的标准形的定义 线性变换化成二次型 且仅含平方式为二次型的标准形一般的，二次型的标准形不惟一项.即则称上即其中 是矩阵的特征值，正交矩阵 的 个列向量 是对应于 的特征向量定理定理3 任给一个二次型 总存在正 交变换 使 化为标准形：T12( ,)nf x xxAxxPxyf222T1122nnfyyyyy12,n Pn12,np pp12,n 5.6.2用正交变换法化二次型为标

24、准形,PA用正交变换化二次型为标准型的关键试找到一个正使二次型的矩阵化成对角矩阵,具体步骤如下： 1. 写出二次型的矩阵 .A 3. 对重特征值(如果有的话)对应的线性无关特征向量正A的特征值与线性无关的特征向量；12,np pp4. 构造正交矩阵 12(,)nPp pp令 Pxy,则 2221122nnfyyy交矩阵2. 求出矩阵交化,再将所有的线性无关的特征向量单位化,设为例例11 求一个正交变换 化二次型 为标准形Pxy222123123121323( ,)4484f x xxxxxx xx xx x解：解： 二次型的矩阵124242421A 2124242(5) (4)421AE 所以

25、， 的特征值为： .A1234,5 对于 解方程14 (4 )AE 0 x5241014282021425000AE 132333 12 xxxxxx1212 1231323p单位化得：一基础解系为：同解方程组由于对于 解方程由于同解方程组一基础解系为：(5 )AE 0 x11142425212000424000AE 12322331 2 xxxxxxx 23523112 ,001 单位化得：将 正交化，得：23, 22120 32332224511,1202,55101 231453 522,53 553 50 pp123214353 5122,353 525033 5Pp pp令22212

26、3455fyyy 则作正交变换 二次型可化为标准形Pxy5.6.3用配方法化二次型为标准形 用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点如果不限于正交变换，那么还可以有多个可逆的线性变换把二次型化成标准形其中最常用的方法是拉格朗日配方法 例例12 用配方法化二次型化为标准形，并求所用的变换矩阵22222123112323232233( ,)22()()()285f x xxxx xxxxxxxx xx222221231123232322332221232233( ,)22()()()285 ()64f x xxxx xxxxxxxx xxxxxxx xx解:先将含有 的项配方 1x再

27、将后三项中含有2x的项配方，222212312322333222123233(,)()695 ()(3)5f x xxxxxxx xxxxxxxxx112322333 3 yxxxyxxyx令112233111,013001yxyyxxByxByx1Bxy则2221235fyyy经过可逆变换1Bxy可将二次型化为标准形 定理定理4 任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形（证明略） 定理定理5 (惯性定理)设二次型 它的秩为 ,有两个可逆线性变换TfA xxr,CPxy xz2221122 (0)rrifk yk yk yk2221 122 (0)rrifzzzk,使则 中正数的个数 中

28、正数个数相等.12,rk kk12,r 5.6.4 惯性定理与二次型的规范形 另外，我们还有如下结论： （1）标准形所含项数 等于二次型对应的矩阵的非零r特征值的个数（重特征值按重数计算）； （2）标准形中正系数个数等于正特征值的个数（重特征 值按重数计算）；（3）标准形中负系数个数等于负特征值的个数（重特征值按重数计算），也等于项数 减去正特征值的个数 r 二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数 定义定义10 如果二次型 通过 可逆线性变换可以化为：T12(,)nfx xxAxx222211()pprfyyyyprn则称之为该二次型的规范形 定理定理6 任给一个二次型总存在可