第2章2.5具有非齐次边界条件的问题

1、答疑安排答疑安排应用数学系办公室应用数学系办公室( (科技楼科技楼602)602)答疑时间答疑时间: : 第六周至第十周第六周至第十周答疑地点：答疑地点：每星期五，下午每星期五，下午2:30-5:002:30-5:002几种常见的几种常见的固有函数系固有函数系的形式的形式; 0),(, 0), 0(tlutu(1)(1);, 2, 1(sin nlxn; 0),(, 0), 0(tlutux(2)(2);, 2, 1(2) 12(sin nlxn; 0),(, 0), 0(tlutux(3)(3);, 2, 1(2) 12(cos nlxn; 0),(, 0), 0(tlutuxx(4)(4)

2、;, 2, 1, 0(cos nlxn以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和矩形域矩形域上的泊松方程是适用的。上的泊松方程是适用的。圆域圆域上的泊松方程对应的上的泊松方程对应的固有函数固有函数系为系为,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nn(5)(5)小结小结3固有函数法固有函数法的解题步骤：的解题步骤：小结小结1.1.将所考虑的定解问题的解按将所考虑的定解问题的解按固有函数系固有函数系展开展开2.2.将非齐次方程中的自由项也按将非齐次方程中的自由项也按固有函数系固有函数系展开展开如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接如果自

3、由项已经含有固有函数的形式，可直接进入下一步。进入下一步。3.3.将将步骤步骤1 1、2 2中的形式代入非齐次方程中化简，中的形式代入非齐次方程中化简，并比较待定系数得到一个常微分方程并比较待定系数得到一个常微分方程4.4.将利用将利用初值条件初值条件得到得到步骤步骤3 3中常微分方程的附中常微分方程的附加条件。加条件。然后求解常微分方程的初值问题。然后求解常微分方程的初值问题。注意注意：若是若是泊松方程泊松方程则需借助则需借助有界性有界性和和边界条件边界条件42.5 2.5 具有非齐次边界条件的问题具有非齐次边界条件的问题),(txw),(),(),(txwtxvtxu本节我们讨论带有非齐次

4、边界条件的定解问题本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题的求解方法。的求解方法。处理这类问题的处理这类问题的基本原则基本原则是：是：无论方程是无论方程是齐次的还是非齐次的齐次的还是非齐次的，选取一个，选取一个辅辅助函数助函数的方法。（也可称为的方法。（也可称为辅助函数法辅助函数法）我们以下面的问题为例，说明选取我们以下面的问题为例，说明选取函数代换函数代换),(txv通过通过函数代换函数代换使得对于新的未知函数使得对于新的未知函数而言，而言，边界条件是边界条件是齐次的齐次的。5考察定解问题：考察定解问题： ),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt ),(),(),(), 0(21tut

5、lututu ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut(80)(80)(81)(81)(79)(79),(),(),(txwtxvtxu, 0), 0(tv. 0),(tlv ),(),(),(), 0(21tutlwtutw),(txw),(txv通过作一通过作一函数变换函数变换将将边界条件化为齐次边界条件化为齐次的，的，为此令为此令(82)(82)并选取并选取辅助函数辅助函数使新的未知函数使新的未知函数满足满足齐次边界条件齐次边界条件，即，即(83)(83)由由(80)(82)(80)(82)容易看出，容易看出， 要使要使(83)(83)成立，只要成立，只要(84)(84)6),(t

6、xw),(txwx),()(),(tBxtAtxw)(),(tBtA ),()(1)(12tutultA),()(1tutB ),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt ),(),(),(), 0(21tutlututu ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut(80)(80)(81)(81)(79)(79),(),(),(txwtxvtxu(82)(82) ),(),(),(), 0(21tutlwtutw(84)(84)其实满足其实满足(84)(84)中两个条件的函数中两个条件的函数是很多的，是很多的，为了以后计算方便起见，通常取为了以后计算方便起见，通常取为为的一次的一次式，式

7、， 即设即设由条件由条件(84)(84)确定确定得得7),(txv).()()(),(112tututulxxtw).()()(),(),(112tututulxtxvtxu ),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt ),(),(),(), 0(21tutlututu ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut(80)(80)(81)(81)(79)(79),(),(),(txwtxvtxu(82)(82)于是可得于是可得因此，令因此，令(85)(85)则问题则问题(79)-(81)(79)-(81)可化成可化成的定解问题的定解问题8 ),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt

8、),(),(),(), 0(21tutlututu ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut(80)(80)(81)(81)(79)(79) ),0,0(),(12tlxtxfvavxxtt , 0),(), 0(tlvtv ).()0 ,(),()0 ,(11xxvxxvt(86)(86),()()(),(),(1121tututulxtxftxf ),0()0()0()()(1121uuulxxx其中其中 ).0()0()0()()(1121uuulxxx).()()(),(),(112tututulxtxvtxu(85)(85)9 ),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt )

9、,(),(),(), 0(21tutlututu ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut(80)(80)(81)(81)(79)(79) ),0,0(),(12tlxtxfvavxxtt , 0),(), 0(tlvtv ).()0 ,(),()0 ,(11xxvxxvt(86)(86).()()(),(),(112tututulxtxvtxu(85)(85)将问题将问题(86)(86)的解代入的解代入即得原定解问题问题即得原定解问题问题(79)-(81)(79)-(81)的解。的解。10 ),0,0(),(2tlxtxfuauxxtt(79)(79); )(),(),(), 0(21

10、tutlututu);(),(),(), 0(21tutlututux );(),(),(), 0(21tutlututux (4)(4)(3)(3)(2)(2)(1)(1) );(),(),(), 0(21tutlututuxx).()(),(12tuxtutxw).()()(),(121tlutuxtutxw.)(2)()(),(1212xtuxltututxw).()()(),(112tututulxxtw若边界条件不全是第一类的，也可采用类似方法若边界条件不全是第一类的，也可采用类似方法把把非齐次边界条件化成齐次非齐次边界条件化成齐次的。的。我们就下列几种我们就下列几种非齐次边界条件的

11、情况，分别给出相应非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数辅助函数),(txw的表达式：的表达式：以上以上4 4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。).()(),(12tuxtutxw11求解下列问题：求解下列问题： ),0,0(2tlxuauxxt , 0),(,), 0(tluttu ,.0)0 ,(xu(87)(87)例例1 1.),(txlttxw,),(),(txlttxvtxu -),0,0(12tlxlxvavxxt , 0),(, 0), 0(tlvtv . 0)0 ,(xv(88)(88)解解选取选取辅助函数辅助函数令令则问题则问题(

12、87)(87)化成化成12,sin)(),(1nnxlntvtxv(89)(89),)()(0)()(2ttlannndeftv -),0,0(12tlxlxvavxxt , 0),(, 0), 0(tlvtv . 0)0 ,(xv(88)(88)应用应用固有函数法固有函数法求问题求问题(88)(88)的解。的解。 为此，设为此，设利用利用2.4.22.4.2节中推得公式节中推得公式(64)(64)可知可知再利用再利用2.4.22.4.2节中推得公式节中推得公式(62)(62)可知可知dxlxnlxll0sin12.2ndxlxntxfltfln0sin),(2)(13ntfn2)(.sin1

13、)(2),(1)(2322ntlanlxneanltxv,)()(0)()(2ttlannndeftvttlanndentv0)()(22)(,1)(22)(232tlaneanl,sin)(),(1nnxlntvtxv.sin1)(21),(1)(2322ntlanlxneanllxttxu再将再将代入代入(90)(90)即得即得把把(90)(90)代入代入(89)(89)可得可得因此，原问题因此，原问题(87)(87)的解为的解为14f21,uu t),(xw),(),(),(xwtxvtxu特别值得注意的是特别值得注意的是，对于给定的定解问题，对于给定的定解问题， 例如：例如： ),0,

14、0(),(2tlxtxfuauxxtt ),(),(),(), 0(21tutlututu ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut如果方程中的如果方程中的自由项自由项和和边界条件边界条件中的中的都都与自变量与自变量 无关无关，在这种情形下，我们可以选在这种情形下，我们可以选取取辅助函数辅助函数通过通过函数代换函数代换使使方程与边界条件同时化成齐次方程与边界条件同时化成齐次的。的。15求解下列问题：求解下列问题： ),0,0(2cos2sin2tlxxlxluauxxtt , 6),(, 3), 0(tlutu .4sin)0 ,(,13)0 ,(xlxulxxut(91)(91)例例2

15、 2),(),(),(xwtxvtxu ,2cos2sin)(2xlxlxwvavxxtt 解解设问题的解为设问题的解为(92)(92)(xw. 02cos2sin2 xlxlwa将将(92)(92)代入问题代入问题(91)(91)中的方程，即得中的方程，即得为了将此为了将此方程化成齐次方程化成齐次的，自然选取的，自然选取满足满足16)(xw),(txv , 3), 0(tw. 6),(tlw, 3)0(), 0( wtv, 6)(),(lwtlv,13)()0 ,(lxxwxv.4sin)0 ,(xlxvt求解下列问题：求解下列问题： ),0,0(2cos2sin2tlxxlxluauxxt

16、t , 6),(, 3), 0(tlutu .4sin)0 ,(,13)0 ,(xlxulxxut(91)(91)例例2 2),(),(),(xwtxvtxu解解(92)(92)再把再把(92)(92)代入问题代入问题(91)(91)中的定解条件，得中的定解条件，得为了将为了将的的边界条件也化成齐次边界条件也化成齐次， 则则满足满足17. 02cos2sin2 xlxlwa , 3), 0(tw. 6),(tlw ),0,0(2tlxuavxxtt , 0),(, 0), 0(tlvtv ),(13)0 ,(xwlxxv(94)(94)(93)(93) ),0,0(2cos2sin2tlxxl

17、xluauxxtt , 6),(, 3), 0(tlutu .4sin)0 ,(,13)0 ,(xlxulxxut(91)(91),(),(),(xwtxvtxu(92)(92)这样由代换这样由代换问题问题(91)(91)化为下面两个问题：化为下面两个问题：和和 .4sin)0 ,(xlxvt18.134sin32)(222lxxlalxw)(xw. 02cos2sin2 xlxlwa , 3), 0(tw. 6),(tlw(93)(93)问题问题(93)(93)是一个常微分方程的边值问题，其解为是一个常微分方程的边值问题，其解为 ),0,0(2tlxuavxxtt , 0),(, 0), 0

18、(tlvtv ,4sin32)0 ,(222xlalxv .4sin)0 ,(xlxvt将求得的将求得的代入问题代入问题(94)(94)( (* *) )19 ),0,0(2tlxuavxxtt , 0),(, 0), 0(tlvtv ,4sin32)0 ,(222xlalxv .4sin)0 ,(xlxvt( (* *) ) )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(14),sin)(20dxlxnxlaln,sin)(20dxlxnxanbln(15)(15)利用公式利用公式nnba ,其中系数其中系数满足满足20 )1sinsincos(),(nnnl

19、xnlatnblatnatxv, 4nxdxlnxlallalnsin4sin3220222dxlxnlxanbln0sin4sin2,32222al, 0. 4n那么那么nnba ,其中系数其中系数计算可得计算可得, 4n,4 al, 0. 4n21.4sin4sin44cos32),(222xltlaaltlaaltxvxltlaaltlaaltxu4sin4sin44cos32),(222.134sin32222lxxlal ),0,0(2tlxuavxxtt , 0),(, 0), 0(tlvtv ),(13)0 ,(xwlxxv(94)(94) .4sin)0 ,(xlxvt于是，问

20、题于是，问题(94)(94)的解为的解为因此，原问题因此，原问题(91)(91)的解为的解为22求解下列问题：求解下列问题： ),0,0(2cos2sin2tlxxlxluauxxtt , 6),(, 3), 0(tlutu .4sin)0 ,(,13)0 ,(xlxulxxut(91)(91)例例2 2另解另解选取选取辅助函数辅助函数),1 (3),(lxtxw)1 (3),(),(lxtxvtxu,2cos2sin2 xlxlvavxxtt , 0),(), 0(tlvtv .4sin)0 ,(, 0)0 ,(xlxvxvt令令代入问题代入问题(91)(91)得得( (* *) )23,2

21、cos2sin2 xlxlvavxxtt , 0),(), 0(tlvtv .4sin)0 ,(, 0)0 ,(xlxvxvt由由2.4.12.4.1节的分析可设节的分析可设),(),(),(txwtxvtxv),(txv),(txw,2xxttwaw , 0),(), 0(tlwtw .4sin)0 ,(, 0)0 ,(xlxwxwt,2cos2sin2 xlxlvavxxtt , 0),(), 0(tlvtv . 0)0 ,(, 0)0 ,(xvxvt而且而且和和分别满足如下定解问题分别满足如下定解问题(I)(I)(II)(II)( (* *) )24,2xxttwaw , 0),(),

22、0(tlwtw .4sin)0 ,(, 0)0 ,(xlxwxwt(II)(II) )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxw, 0sin)(20 xdxlnxlalndxlxnlxanbln0sin4sin2利用利用2.12.1节中的公式节中的公式(14)(15)(14)(15)可算得可算得nnba ,其中系数其中系数为为, 4n,4 al, 0. 4n则问题则问题(II)(II)的解为的解为.4sin4sin4),(xltlaaltxw25,2cos2sin2 xlxlvavxxtt , 0),(), 0(tlvtv . 0)0 ,(, 0)0 ,(xvxvt(I

23、)(I)应用应用固有函数法固有函数法求问题求问题(I)(I)的解。的解。 为此，令为此，令,sin)(),(1nnxlntvtxv,)(sin)()(0tnndtlanfanltv利用利用2.4.12.4.1节中推得公式节中推得公式(53)(53)可知可知再利用再利用2.4.12.4.1节中推得公式节中推得公式(51)(51)可知可知dxlxnlxll0sin4sin1dxlxntxfltfln0sin),(2)(, 4n,21, 0. 4n26,2cos2sin2 xlxlvavxxtt , 0),(), 0(tlvtv . 0)0 ,(, 0)0 ,(xvxvt(I)(I),sin)(),

24、(1nnxlntvtxv,)(sin)()(0tnndtlanfanltv; 0)(tvntndtlanaltv0)(sin8)(4n4n.4cos132222tlaal当当时，时，当当时，时，27.4sin4cos132),(222xltlaaltxv)1 ( 3),(),(lxtxvtxu,2cos2sin2 xlxlvavxxtt , 0),(), 0(tlvtv . 0)0 ,(, 0)0 ,(xvxvt(I)(I)则得问题则得问题(I)(I)的解为的解为)1 (3),(),(lxtxwtxvxltlaaltxw4sin4sin4),(将问题将问题(II)(II)的解的解和和辅助函数辅

25、助函数),1 (3),(lxtxw以及问题以及问题(I)(I)的解加在一起，则得的解加在一起，则得原问题原问题(91)(91)的解：的解：28内容小结内容小结1.1.对对一维波动方程一维波动方程和和热传导方程热传导方程的定解问题而言：的定解问题而言：当当方程和边界条件均为齐次方程和边界条件均为齐次时，时，不管初值条件不管初值条件如何，可直接应用如何，可直接应用分离变量法分离变量法求解；求解；当当边界条件为齐次边界条件为齐次、方程与初始条件为非齐次方程与初始条件为非齐次时，原定解问题分解成两个，时，原定解问题分解成两个，其一是其一是方程为齐次方程为齐次的并具有的并具有原初始条件原初始条件的定解的

26、定解问题，这个问题应用问题，这个问题应用分离变量法分离变量法求解；求解；其二是其二是方程为非齐次方程为非齐次的并具有的并具有齐次初始条件齐次初始条件的的定解问题，该问题应用定解问题，该问题应用固有函数法固有函数法求解；求解；29内容小结内容小结1.1.对对一维波动方程一维波动方程和和热传导方程热传导方程的定解问题而言：的定解问题而言：当当边界条件为非齐次边界条件为非齐次时，时，则必须则必须引进辅助函数引进辅助函数把把边界条件化为齐次边界条件化为齐次的，的， 然后再按照以前的方法然后再按照以前的方法求解。求解。分离变量法、分离变量法、固有函数法、固有函数法、作辅助函数法作辅助函数法方程和边界方程和边界条件齐次条件齐次方程非齐次，方程非齐次，定解条件齐定解条件齐次次边界条件非齐次边界条件非齐次302.2.对于对于二维拉普拉斯方程二维拉普拉斯方程的边值问题而言：的边值问题而言：应根据求解区域的形状应根据求解区域的形状适当的选取坐标系