第三章动量守恒和能量守恒定律001

1、第三章第三章 动量守恒定律和动量守恒定律和能量守恒定律能量守恒定律牛顿第二定律力与运动的牛顿第二定律力与运动的 力作用于物体，维持一定的时间、空力作用于物体，维持一定的时间、空间，物体运动情况如何？间，物体运动情况如何？引言引言力与物体运动的过程关系牛顿第二定律的积分形式瞬时关系式：amF微分形式：22dtrdmdtdmF一、动量定律，动量守恒定律一、动量定律，动量守恒定律1 1、质点的动量定律、质点的动量定律牛顿第二定律的积分形式由dtmddtdmamF)(设mp 2121ppttpddtFpppdtFtt1221mp 动量：（方向： ）冲量是力对时间的积累作用力对时间的冲量质点动量定律质点

2、动量定律: :讨论：（1 1）牛顿第二定律的一种积分形式）牛顿第二定律的一种积分形式（方向： ）21ttdtFIp 质点在 至 时间内，外力作用在质点上的冲量等于质点在同一时间内动量的增量。1t2t（3 3）冲力，平均冲力）冲力，平均冲力（2 2）直角坐标系中，定理分量式）直角坐标系中，定理分量式量值大，变化快，作用时间短的变力冲力冲力: :1221xxttxxppdtFI1221yyttyyppdtFI1221zzttzzppdtFI平均冲力：1221ttFdtFtt2 2、质点系动量定理、质点系动量定理质点系，外力，内力质点系，外力，内力设 n 个质点组成的质点系，其中第 个质点受外力为

3、，内力为 ，由第二定律得外iF内iFiFFo1t2ttimiv外iF内iF几个概念几个概念对所有质点求和niniiiniiidtmdFF111内外因内力成对出现，则niiF10内dtpdFFiii内外iiimpniiiniiiniittmmdtF101121外；等式两边积分niiiniiittimmdtF10121合可写成0PPI质点系动量定律：作用于系统的合外质点系动量定律：作用于系统的合外力的冲量等于系统总动量的增量。力的冲量等于系统总动量的增量。讨论：(1)系统的内力不能改变系统的总动量。定理中不出现系统的内力，因此研究某些力学问题甚为方便。（2）质点系动量定律可写成 即作用于质点系的合

4、外力（微分形式）等于质点系的总动量随时间的变化率。或pddtFi合dtpdFi合3 3、质点系动量守恒定律：、质点系动量守恒定律：若0合iF则niiimP1恒矢量（1）合外力为零或不受外力作用系统总动量保持不变。动量守恒定律：动量守恒定律： 当系统合外力为零时，系统的总动量当系统合外力为零时，系统的总动量保持不变。保持不变。讨论：（2）合外力不为零，但合力在某方向分量为零，则系统在该方向上的动量守恒。（3）系统的内力远大于外力，可忽略外力，系统动量可视为守恒。取图示坐标系，则例题例题1 1、质量为 ，速率为 的钢球，以与钢板法线呈 角的方向撞击钢板，并以相同的速率和角度弹回。设球与钢板碰撞时间

5、为 ，求钢板受到的平均冲力。mvtxyovv解：由质点动量定律，得钢球1221mmdtFIttcos212mmmIxxx012yyymmIimIcos2钢球平均冲力为itmtdtFFttcos221钢板受平均冲力为itmFFcos2本例题可以用矢量方法直接求得，图示矢量三角形，得)(12mmIyovvximmmIcos212例题2、在光滑平面上一质量为 速度为 的物体，突然炸裂成质量为 和 两块物体。设 且 ，求 的速度 。0m0v0131mm 0232mm 01vv012vv2m2vyox2vm1vm2vm12vmvm同样可用矢量方法直接求出（图示）解：分析：合外力为零，动量守恒。取oxy坐

6、标系，得分量式221100vmvmvmcos322000vmvmsin02211vmvm解得028 . 1 vv 1433,320tg0m1m2moxy2v1v0v11vm22vm00vm1022vmvmvm例题3、质量为 的人手中拿着一质量为 的物体。此人用与水平面成 角的速率 向前跳去，当他到达最高点时，他将物体以相对于人为 的水平速率向后抛出，问由于抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？Mm0vu解：分析在最高位置时，系统水平方向的动量守恒以地面为参考系，取图示坐标0vuxyo0vcosv0uxyoxxmuMvvMmcos0设人向后抛出物体后水平速率为 ，则（哪一式是正确的？）（哪一式是正确

7、的？）vuvmMvvMm00cosuvmMvvMmcos0umMmvvcos0umMmvtvxugmMmvgvvsinsin00则四、功在直角坐标系中1、功 复习： sFWcos质点在变力作用下，沿曲线路径BArdFrdFdWcosdrFrdFdWWBABABAcoskFjFiFFzyxkdzjdyidxrddzFdyFdxFrdFWzyxBAFrdABsFF（3）功是过程量：功总是和质点的某个运动过程相联系功的性质功的性质（1）功是力对空间的积累作用，是标量（2）合力的功等于各分力的功的代数和rdFrdFrdFW21合21WWWrcosFo1r2rdr重力作功，只与运动物体起点、终点的位置有

8、关，与路径无关2 2、重力、引力、弹性力的功、重力、引力、弹性力的功（1）重力作功（2）万有引力作功物体 沿路径 过程中重力的功mBA21yyBABAmgdyrdgmdWW12mgymgyWyxo2y1ydydrgmABdrFrdFdWWcos图示物体 在另一物体 固定不动）的引力作用下，沿路径 过程中引力的功mmBArdermmGrdFWrBABA2式中（请注意（请注意 ！）！）drcosrderderrdrrddrrmmGdrrmmGWBArrBA22ABrmmGrmmGWmBABrArrrdrrdmrdrrrdrd万有引力做功只与物体起点、终点位置有关，而与经历的路径无关（3 3）弹性力

9、作功）弹性力作功 设弹簧原长为坐标原点 ，物体由 运动到 的过程中弹性力作功oAB21xxBAkxdxrdFW21222121kxkxWo1x2xABx 力作功的大小只与物体始末位置有关，而与所经历的路径无关，这类力称为保守力弹性力作功也是与物体起点、终点位置有关，而与经历的路径无关3 3、保守力、保守力如：重力，弹性力，万有引力，静电力.因此，保守力有0rdFW4 4、势能、势能（1）势能引入 保守力的功可以用两项之差的形式表示，每项都是与相互作用物体的位置有关，因此引入一个与物体位置有关的能量。引力势能rMmGEp重力势能mghEp弹性势能221kxEp势能值的相对性与势能差的绝对值。势能

10、是属于存在保守内力的系统的，具有保守力才能引入势能的概念。势能是状态的函数。（2）势能的讨论因此可以得到保守力的功与势能的关系式pppEEEW12 由势能曲线或势能函数可以研究分析物体间的保守力和物体的运动情况（3）势能曲线：势能随物体间相对位置变化的曲线mghEppEoh221kxEppEoxrMmGEppEorpEWpdEdWrdFdWF由此可分析 的大小和方向五、功能关系五、功能关系 合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量。1 1、质点动能定理、质点动能定理由牛顿第二定律rdcosFrdFdWABF1v2vrddtdmmaFtcosmvdvrddtdvmdW122121222121kk

11、vvEEmvmvmvdvdWW（2）动能定理反映了过程量与状态量动能的关系讨论：（1）动能定理是牛顿第二定律的另一种积分形式2 2、质点系动能定理、质点系动能定理 系统内有 个质点，作用于各质点的力作功分别为 ，各质点初动能 改变为 nnWW,W212010kkE,E21kkE,E 作用在质点系的力所作的功，等于质点系的动能增量1011kkEEW2022kkEEWniknikniiiiEEW1110作用于系统的力由内力和外力，则niknikniiiiEEWWW1110内外 作用于质点系的外力和非保守内力所作的功，等于系统的机械能的增量。3 3、质点系的功能原理、质点系的功能原理 系统的内力有保

12、守内力和非保守内力，则内非内保内WWW前面讨论知nipnipEEWi110内保将质点动能定理写成nipniknipnikiiiiEEEEWW111100内非外0EEWW内非外4 4、机械能守恒定律、机械能守恒定律0内非外WW若则0EE 5 5、能量守恒定律、能量守恒定律 一半径为 的四分之一圆弧垂直固定与地面上，质量为 的小物体从最高点 由静止下滑至 点处的速度为 ，求摩擦力所作的功例题1、BmDDvRBDmR解：方法一： 应用牛顿第二定律，由功的定义求解gmteneNFrFBDmRDvC 在 点处物体受力如图，取自然坐标系得切向分量式CdtdvmmaFmgtrcosdtdvmcosmgFrr

13、dcosmgrddtdvmrdFdWrrRdcosmgmvdv所以DBrdWW2000dcosmgRmvdvvmgRmvD2210212DrpmvWWmgRWpmgRmvWDr221方法二：应用质点动能定理求解支持力 不作功，则NFgmteneNFrFBDmRDvC方法三：应用功能原理求解系统：物体圆轨道，地球0外WrWW内非取 点处为重力势能零点，由功能原理得DmgRmvWDr221讨论：试比较上述三种方法讨论：试比较上述三种方法BDmR 第一宇宙速度：由地面处第一宇宙速度：由地面处发射使物体环绕地球运动，所发射使物体环绕地球运动，所需的最小速度。需的最小速度。例题2、宇宙速度的计算 设于地

14、球表面处 发射速度为 的物体，到达距地面高度为 处，以速度 绕地球作匀速圆周运动，系统机械能守恒（为什么？）（为什么？）ER1vhvhmEmERhRREE设地球质量为EmhRmmGmvRmmGmvEEEE2212121又由第二定律，得22hRmGmhRvmEEE解得hRGmRGmvEEEE212EERmGmmg hRRgRvEEE21则 物体脱离地球引力时，引力势能为零，所以由机械能守恒得当 (或 ） hRE0h1311097sm.gRvE 第二宇宙速度(逃逸速度)：使物体脱离地球引力范围所需的最小速度02122EEkpRmmGmvEE132102 .1122smgRRGmvEEEmEm2v

15、则任何物体都不可能从该星球中逃逸出来。黑洞的讨论黑洞的讨论 对任一星球，若要脱离其引力范围的最小速度。若 （光速）Cv 为该星球质量为星球半径rGMv2Mr例题例题3 3、完全弹性碰撞，完全非弹性碰撞取ox轴，沿x轴方向动量守恒解：机械能守恒定律有2211202101vmvmvmvm2222112202210121212121vmvmvmvm 设质量为 ，速度为 和 的弹性小球，沿直线运动，求两球完全弹性碰撞后的速度 和21m,m10v20v1v2v10v20v1v2v1m2m1m2m讨论解得21202102112mmvmvmmv21101201222mmvmvmmv（1）且 ，则 020v1

16、2mm 0,2101vvv10v020v（2）且 ，则 020v12mm 1021012vv ,vv（3）12mm 102201vv ,vv020v10v10v解：本题可分为三个运动过程，每一过程运用相应的规律。油质球，圆盘，弹簧和地球为系统本题选择：例题4、一轻质弹簧 挂一质量 为 的圆盘时，伸长 ，一个 质量为 的油质球从离盘 高 处由静止下落到盘上，然后与 盘一起向下运动，求向下运动的最大距离 。kM1lmhMmmM1l2lhAB明确各个过程：与 共同向下运动Mm自由下落m与 碰撞Mmghmv 221ghv2（1） 自由下落有m（2） 与 相碰撞，系统动量守恒（为什么？）（为什么？）mMVMmmvMmmM1l2lhAB选重力势能零点：最底点选重力势能零点：最底点( (B)B)选弹性势能零点