方法案例52中学物理的极值问题

1、案例52数学方法求解物理极值问题赏析高中物理问题中常有求极值问题，常用的求极值的数学方法有：方程根的判别式法,数学式子无意义、二次三项式法、三角函数法、运用基本不等式法、几何法等等。一、运用根的判别式法例1:一列汽车车队以v=10m/s的速度匀速行驶，相邻车间距为25m,后面有一辆摩托车以20m/s的速度同向行驶，当它离车队最后一辆车相距25m时刹车，以加速度0.5m/s2做匀减速运动，摩托车在车队旁边行驶而过，设车队辆数n足够多。试问：（1）摩托车最多与几辆汽车相遇？最多与车队中汽车相遇几次？（2）摩托车从赶上车队到离开车队，共经历多少时间？解析：（1）设摩托车最多与n辆汽车相遇，所用时间为

2、t,如图1所示，刚开始摩托车12与第n辆汽车相距sn=25nm,当追上时，摩托车发生的位移为：s摩=v0t-at,汽车225m25m25m25m图1发生的位移为：s汽=vt即：s摩=$汽+sn,已知：V0=20m/s,a=-0.5m/s；v=10m/s,1_2可得：20t-0.5t=10t+25n2化简彳导:t2-40t+100n=0由只有当？=402-400n用时，方程才有实数解，则n9，即摩托车最多与四辆汽车相遇。且当n=4时，？=0,即与第四辆汽车仅相遇一次，而与第1、2、3辆汽车相遇两次，共与汽车相遇7次。1辆（即尾辆车），故经历的时（2）摩托车赶上车队时的第一辆汽车，离开时也是第间为

3、与第一辆汽车相遇两次的时间差。可取n=1代入方程得：t2-40t+100=0解得：t1=(20+10<3)s,t2=(20-10<3)s其中t1为赶上车队时刻，t2为离开车队时刻，且离开车队时，摩托车的速度为：v摩=v0at=200.5M（20+10%；3）s=（105V3）m/s>0即此时摩托车还未停下，所以摩托车从赶上车队到离开车队所需时间为：?t=（2010.3）s-（20-10、3）=20.3s=34s赏评：用根的判别式求极值，常可以避免许多较复杂的数学运算，而且物理意义清晰，不失为一个方便、有效的好方法。、数学式子无意义例2:如图2所示，重为G的木块，在力F的推动下

4、沿着水平地面匀速滑动，若地面与木块的动摩擦因数为臼F与水平方向成“角，试说明：若a角超过某一临界值时，无论推力F多大，木块都不可能发生滑动，并用值表示该临界角大小。解析：物体匀速向右运动受力情况如图3所示，由平衡状态F合=0可得：Fcoso=f,Fsino+G=N,f=削，GF=整理得：cos-'sin工当a为某一值时，恰好推不动，(设最大静摩擦力为为f),即：fm=f,物体仍平衡，仍有上述方程成立。显然,cosa-psina0,即当cosa-(jsina=0时，无论F多大，木块也不可能发生滑动。解得:1斤tan-1一赏评：运用数学式子无意义，却有物理解，同样对锻炼学生的逻辑思维能力和

5、理论联系实际能力有很大的帮助。三、二次三项式法例3.甲、乙两地相距L=200km,汽车以速度vi=40km/h从甲地向着正西方的乙地开行，同时有一摩托车以速度V2=30km/h从乙地向着正南方开行，两车何时相距最近？最近距离为多少？解析：设经时间t后两车相距为s,则由图4可知：22222.22.2z2222s=(Lv1t)(v2t)=L2Lv1tv1tv2t=(v1v2)t2Lv1tL222b2a2Lvi2(v2v2)因：v+v2>0,根据二次三项式的性质，s有极小值。即当：20040,16,，口,h=h时，两车相距最近，由160090052smin4ac一丫4a图44(v2+v2)L2

6、-4L2v；4(v2v2)4(1600900)40000-4400001600km24(1600900)所以：smin=.14400km=120kmb员评：一次函数的通式：y=ax2+bx+c,当a>0时，取x=,则y有最大2ab值，当a<0时，取x则y有最小值。物理量可写成二次函数形式的极值问题求2a解，常可利用二次三项法。在匀变速运动中位移与时间的关系、遵守动量守恒和动能守恒的弹性正碰问题，电功率的有关计算及透镜成像等问题时常会用到，此类问题同样要注意检验是否出现增根。四、运用三角函数法例4.一物体质量为m,置于倾角为“的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为若要使物体沿斜面匀速向

7、上滑动，求拉力的最小值。解析：设拉力与斜面的夹角为0,物体的受力分析，如图由物体的平衡条件可得：Fcos二-'（mgcos二一Fsini）-mgsin：=0即.F二（sin:cos：）mgcos二sin1令1/（i=tan3,则5所示。拉力的最小值：Fmin(sin:'cos：)mgcos日+Nsin0=1+N2sin(P+日)w"+N2图6赏评：三角函数知识在物理中也有广泛的应用，如力的合成分解，运动的合成和分析以及遵守动量守恒和动能守恒的弹性碰撞问题。此题构造了两角和的正弦，有效地解决了极值问题的求解，方法直观易懂。五、运用几何法例5:一条河宽L=60m,水速v水

8、=4m/s,船在静水中的开行速度v开=3m/s。（1）求小船渡河的最短时间t,这样渡河船的位移是多少？（2）小船渡河的最小位移是多少？解析：（1）小船渡河的运动可看作是小船在静水中的运动与水的运动两个运动的合成。由分运动之间互不影响，且河岸的宽度是一定的，只要小船在垂直于河岸方向的分速度越大，小船渡河的时间就越短，即当小船船头垂直于河岸方向运动时(如图6),时间最短:tmin=L/v开=60/3s=20s,s=v合tmin=5X20m=100m-(2)运动的合成与分解遵循平行四边形定则，由v开v；v.'1*S水，即小船不可能垂直到达对岸。只有当v开、v水两个速度的:上夕1反并合速度5叭

9、与河岸的夹角越大，则小船的实际位移越小。把代表v石厅屈Nk玲切5方R开的有向线段移到代表v水的有向线段端点，如图7所示，可图7见：改变船头的方向，有向线段v开的箭头端点始终在一圆弧上。随着船头方向的改变，合速度的方向也随之改变。只有当船头的朝向与合运动的方向垂直时，0有最小值。由几何知识可得：cosv开/v水=3/4,又cosyL/Smin,即Smin=80m。赏评：几何知识在力、运动合成和分解、功能关系研究、电磁场中导体和带电粒子的运动等等问题中都有极广泛的应用。灵活地掌握几何方法是在很大程度上能有助于物理问题的求解。六、运用基本不等式法例6:在一个盛水容器的侧壁上开一个小孔，试问小孔应开在

10、离水面多高处，才能使得从小孔中喷出的水射程最远？解析：从小孔中喷出的水做平抛运动，设容器中水面离桌面高H,小孔离水面为h,如图8由机械能守恒定律易得从小孔射出的水流初速度为：v=2gh从小孔喷出的水在空中运动时间为：t=2(H-h)g所以水的水平射程为：x=vt-2gh2(H-h)g=2、；h(Hh),H因h+(Hh)=H是一定值，所以当h=Hh,即：h=H时，水平射程s有极2大值，其值为：xmax=H赏评：运用基本不等式求解极值问题是常用的方法，在物理解题过程中运用相当广泛。七、综合运用三角函数和二次三项式法例7.重为G的匀质球，半径为R,已知墙和板AB表面皆光滑，板的A端由钱链连接，B用水

11、平绳索BC拉住，板长为L,板和墙的交角为a,如图9所示。板的重力不计，求绳索的拉力Ft,并问为何值时，绳的拉力为最小，最小值是多少?解析：小球及板的受力情况如图10,小球处于静止状态，即G、N、F三力平衡，由力的平行四边形定则，可得：N=G/sina。由牛顿第三定律有：N'=N,板处于静止状态，则N'、Ft两力的力矩平衡，即：NlN，=FTl%,代入各已知量有：,=FtLcosot,整理得：sin:.tan2GRFt=；：Lsin:.tancos;2当since，tan巴cosa有最大值时，Ft有最小值，化2简：ctsin2sin-tancos-2sincos-cos222-c

12、os2图102>一、=2sincos=二(1-cos.:)cos工2当且仅当(1-cosa)=cosa时，Ft有最小值，即当cosa=1/2时,FTmax詈，此时日0ao八、综合运用矢量合成和二次三项式法例8:在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h,若出手时的速度为V。，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？解析运用位移矢量图解法进行求解：铅球掷出的运动可分解为初速方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，如图11所示。由图可得：222,1.2.2Q,4.22.2x=(v°t)-(-gt-h)="t(V0gh)t-h2422 b2V02gh3 t=-=2时

13、，有极值：2agxmax=(v0COS-'t)maxV0V022gh再将t的数值代入:-h=v0sin二t；gt21，得：a=sinVo2V022gh12所九、综合利用三角函数和基本不等式求解物理极值问题示，运动员快艇的水平牵引力作用下，脚踏倾斜滑板大水上匀速滑行,若运动员与滑板的总质量为m=70kg,滑板的总面积为P=1.0x103kg/m3。理论研究表明：当滑板与水平方向的夹设滑板是光滑的，S=0.12m2,水的密度为V角为。（板前端抬起的角度）时，水对板的作用大小为快艇SZ水面二二二二仁二22Fn=PSvsin6,万向垂直于板面。式中v为快艇的牵引速度，S为滑板的滑水面积。求：为使滑板能在水面上滑行，快艇水平牵引滑板的最小速度。解析：选取滑板和运动员作为研究对象，对其受力分析如图图1213所示，滑板和运动员共受三个力的作用，即：重力运动员的拉力FoG,水对滑板的弹力Fn（方向与滑板板面垂直）及绳子对由物体的平衡条件可得：Fncos6-mg=0,又由题中所给的理论模型：Fn=©2sin2,可得：v=Jmg/PSsin26cos9由式中可知：快艇的最小速度只由。决定。1cCC令y=sin2cose,则有：y2=-sin26sin20(2cos26)2.2.2._2.2.1