自发对称性破缺

1、自发对称性破缺编辑维基百科，自由的百科全书跳转至：导航、搜索墨西哥帽势能函数的电脑绘图，对于绕着帽子中心轴的旋转，帽顶具有旋转对称性，帽子谷底的任意位置不具有旋转对称性，在帽子谷底的任意位置会出现对称性破缺。自发对称性破缺(spontaneoussymmetrybreaking)是某些物理系统实现对称性破缺的模式。当物理系统所遵守的自然定律具有某种对称性，而物理系统本身并不具有这种对称性，则称此现象为自发对称性破缺。-一这是一种自发性过程(spontaneousprocess)，由于这过程，本来具有这种对称性的物理系统，最终变得不再具有这种对称性，或不再表现出这种对称性，因此这种对称性被隐藏。

2、因为自发对称性破缺，有些物理系统的运动方程或拉格朗日量遵守这种对称性，但是最低能量解答不具有这种对称性。从描述物理现象的拉格朗日量或运动方程，可以对于这现象做分析研究。对称性破缺主要分为自发对称性破缺与明显对称性破缺两种。假若在物理系统的拉格朗日量里存在着一个或多个违反某种对称性的项目，因此导致系统的物理行为不具备这种对称性，则称此为明显对称性破缺。如右图所示，假设在墨西哥帽(sombrero)的帽顶有一个圆球。这个圆球是处于旋转对称性状态，对于绕着帽子中心轴的旋转，圆球的位置不变。这圆球也处于局部最大引力势的状态，极不稳定，稍加微扰，就可以促使圆球滚落至帽子谷底的任意位置，因此降低至最小引力

3、势位置，使得旋转对称性被打破。尽管这圆球在帽子谷底的所有可能位置因旋转对称性而相互关联，圆球实际实现的帽子谷底位置不具有旋转对称性对于绕着帽子中心轴的旋转，圆球的位置会改变。3:203大多数物质的简单相态或相变，例如晶体、磁铁、一般超导体等等，可以从自发对称性破缺的观点来了解。像分数量子霍尔效应(fractionalquantumHalleffect)一类的拓扑相(topologicalphase)物质是值得注意的例外。目录隐藏?1概述?2凝聚态物理学?3粒子物理学o3.1手征对称性破缺o3.2希格斯机制?3.2.1外显的对称性案例?3.2.2自发对称性破缺案例?4实例?5诺贝尔奖?6数学范例

4、：墨西哥帽势能?7参见?8注释?9参考文献?10外部链接概述编辑量子力学的真空与一般认知的真空不同。在量子力学里，真空并不是全无一物的空间，虚粒子会持续地随机生成或湮灭于空间的任意位置，这会造成奥妙的量子效应。将这些量子效应纳入考量之后，空间的最低能量态，是在所有能量态之中，能量最低的能量态，不具有额外能量来制造粒子，又称为基态或“真空态”。最低能量态的空间才是量子力学的真空。设想某种对称群变换，只能将最低能量态变换为自己，则称最低能量态对于这种变换具有“不变性”，即最低能量态具有这种对称性。尽管一个物理系统的拉格朗日量对于某种对称群变换具有不变性，并不意味着它的最低能量态对于这种对称群变换也

5、具有不变性。假若拉格朗日量与最低能量态都具有同样的不变性，则称这物理系统对于这种变换具有“外显的对称性”；假若只有拉格朗日量具有不变性，而最低能量态不具有不变性，则称这物理系统的对称性被自发打破，或者称这物理系统的对称性被隐藏，这现象称为“自发对称性破缺”。5：116-117回想先前提到的墨西哥帽问题，在帽子谷底有无穷多个不同、简并的最低能量态，都具有同样的最低能量。对于绕着帽子中心轴的旋转，会将圆球所处的最低能量态变换至另一个不同的最低能量态，除非旋转角度为360°的整数倍数，所以，圆球的最低能量态对于旋转变换不具有不变性，即不具有旋转对称性。总结，这物理系统的拉格朗日量具有旋转对

6、称性，但最低能量态不具有旋转对称性，因此出现自发对称性破缺现象。3：203凝聚态物理学编辑大多数物质的相态可以通过自发对称性破缺的透镜来理解。例如，晶体是由原子以周期性矩阵排列形成，这排列并不是对于所有平移变换都具有不变性，而只是对于一些以晶格矢量为间隔的平移变换具有不变性。磁铁的磁北极与磁南极会指向某特定方向，打破旋转对称性。除了这两个常见例子以外，还有很多种对称性破缺的物质相态，包括液晶的向列相(nematicphase)、超流体等等。类似的希格斯机制应用于凝聚态物质会造成金属的超导体效应。在金属里，电子库柏对的凝聚态自发打破了电磁相互作用的U(1)规范对称性，造成了超导体效应。更详尽细节

7、，请参阅条目BCS!论。有些物质的相态不能够用自发对称性破缺来解释。例如，分数量子霍尔液体(fractionalquantumHallliquid)、旋液体(spinliquid)这一类物质的托普有序相态。这些相态不会打破任何对称性，是不同种类的相态，没有比较通用的理论论述来描述这些相态。粒子物理学编辑在粒子物理学里，描述基本粒子的方程可能遵守某种对称性，可是方程的解并不能满足这对称性，例如，假设某种场方程可以用来估算两种夸克A、B的质量，并且对于这两种夸克具有对称性，解析这场方程或许给出了两个解，在第一个解里，夸克A比夸克B沉重，而在第二个解里，以同样的重量差，夸克B比夸克A沉重。对于这案例

8、，场方程的对称性并没有被场方程的每一个单独解反映出来，而是被所有解共同一起反应出来。由于每一次做实际测量只能得到其中一个解，这表征了所倚赖理论的对称性被打破。对于这案例，使用术语“隐藏”可能会比术语“打破”更为恰当，因为对称性已永远嵌入在场方程里。由于物理学者并未找到任何外在因素涉及到场方程的对称性破缺，这现象称为“自发”对称性破缺。6:194-195手征对称性破缺编辑主条目：手征对称性破缺在粒子物理学里，手征对称性破缺指的是强相互作用的手征对称性被自发打破，是一种自发对称性破缺。假若夸克的质量为零(这是手征性(chirality)极限)，则手征对称性成立。但是，夸克的实际质量不为零，尽管如此

9、，跟强子的质量相比较，上夸克与下夸克的质量很小，因此可以视手征对称性为一种“近似对称性”。在量子色动力学的真空里，夸克与反夸克彼此会强烈吸引对方，并且它们的质量很微小，生成夸克-反夸克对不需要用到很多能量，因此，会出现夸克-反夸克对的夸克-反夸克凝聚态，就如同在金属超导体里电子库柏对的凝聚态一般。夸克-反夸克对的总动量与总角动量都等于零，总手征荷不等于零，所以，夸克-反夸克凝聚的真空期望值(vacuumexpectationvalue)不等于零，促使物理系统原本具有的手征对称性被自发打破，这也意味着量子色动力学的真空会将夸克的两个手征态混合，促使夸克在真空里获得有效质量。:669-672根据戈

10、德斯通定理，当连续对称性被自发打破后必会生成一种零质量玻色子，称为戈德斯通玻色子。手征对称性也具有连续性，它的戈德斯通玻色子是n介子。假若手征对称性是完全对称性，则n介子的质量为零；但由于手征对称性为近似对称性，n介子具有很小的质量，比一般强子的质量小一个数量级。这理论成为后来电弱对称性破缺的希格斯机制的初型与要素。：669-672根据宇宙学论述，在大爆炸发生10-6秒之后，开始强子时期，由于宇宙的持续冷却，当温度下降到低于临界温度KT"173MeV之时，会发生手征性相变(chiralphasetransition)，原本具有的手征对称性的物理系统不再具有这性质，手征对称性被自发性打

11、破，这时刻是手征对称性的分水岭，在这时刻之前，夸克无法形成强子束缚态，物理系统的有序参数反夸克-夸克凝聚的真空期望值等于零，物理系统遵守手征对称性；在这时刻之后，夸克能够形成强子束缚态，反夸克-夸克凝聚的真空期望值不等于零，手征对称性被自发性打破。9希格斯机制编辑设定直角坐标系的x-坐标与y-坐标分别为复值希格斯场的实部川八与虚部汇II"，z-坐标为希格斯势，则参数为希格斯场，的希格斯势，其猜想形状好似一顶墨西哥帽。主条目：希格斯机制在标准模型里，希格斯机制是一种生成质量的机制，能够使基础粒子获得质量。为什么费米子、w玻色子、z玻色子具有质量，而光子、胶子的质量为零？10:361-3

12、68希格斯机制可以解释这问题。希格斯机制应用自发对称性破缺来赋予粒子质量。在所有可以赋予规范玻色子质量，而同时又遵守规范理论的可能机制中，这是最简单的机制。1"378-381根据希格斯机制，希格斯场遍布于宇宙，有些基础粒子因为与希格斯场之间相互作用而获得质量。更仔细地解释，在规范场论里，为了满足局域规范不变性，必须设定规范玻色子的质量为零。由于希格斯场的真空期望值不等于零，注1造成自发对称性破缺，因此规范玻色子会获得质量，同时生成一种零质量玻色子，称为戈德斯通玻色子，而希格斯玻色子则是伴随着希格斯场的粒子，是希格斯场的振动。通过选择适当的规范，戈德斯通玻色子会被抵销，只存留带质量希格

13、斯玻色子与带质量规范矢注210:378-381费米子也是因为与希格斯场相互作用而获得质量，但它们获得质量的方式不同于W玻色子、Z玻色子的方式。在规范场论里，为了满足局域规范不变性，必须设定费米子的质量为零通过汤川耦合，费米子也可以因为自发对称性破缺而获得质量。7:689ff外显的对称性案例编辑假定遍布于宇宙的希格斯场是由两个实函数I、组成的复值标量场其中，忑一3D是四维坐标。假定希格斯势的形式为/沖一卅聆乍W；其中，、都是正值常数。则这物理系统只有一个最低能量态，其希格斯场为零（"）对于这自旋为零、质量为零、势能为丨|'的标量场，克莱因-戈尔登拉格朗日量匚为7：16-17注意

14、到这拉格朗日量的第一个项目是动能项目。由于拉格朗日量对于全域相位变换尬一；卩'卩具有不变性，而最低能量态对于全域相位变换也具有不变性：二一、厂-:,所以，这物理系统对于全域相位变换具有外显的对称性。自发对称性破缺案例编辑假定遍布于宇宙的希格斯场是由两个实函数I、组成的复值标量场：紳怕=盘莎：-匸細严:；其中，疔是四维坐标。假定希格斯势的形式为竹鈔汀gW：揮M；其中，、都是正值常数。对于这自旋为零、质量为零、势能为'I1的标量场,克莱因-戈尔登拉格朗日量匚为:16-17d住莎養勢J,炸手一逬疔疔。如墨西哥帽绘图所示，这势能的猜想形状好似一顶墨西哥帽。希格斯势与拉格朗日量在，、諭/

15、空间具有旋转对称性。位于z-坐标轴的帽顶为希格斯势的局域最大值，其复值希格斯场为零（X=），但这不是最低能量态；在帽子的谷底有无穷多个简并的最低能量态。从无穷多个简并的最低能量态中，物理系统只能实现出一个最低能量态，标记这最低能量态为僉:。这物理系统的拉格朗日量对于全域相位变换歌73=具有不变性，即在逻漪、儿忙空间具有旋转对称性，而最低能量态孕杯：对于全域相位变换不具有不变性：07j<jcvac=巴'©vac通常，不等于，除非角弧'是的整数倍数。所以，这物理系统对于全域相位变换的对称性被自发打破。这物理系统对于更严格的局域相位变换的对称性也应该会被自发打破。实例

16、编辑?铁磁性物质对于空间旋转的不变性与居里温度有关。这物理系统的有序参数(orderparameter)是量度磁偶极矩的磁化强度。假设温度高过居里温度，则自旋的取向是随机的，无法形成磁偶极矩，有序参数为零，基态对于空间旋转具有不变性，不存在对称性破缺。假设将系统冷却至温度低于居里温度，则自旋的取向会指向某特定方向，磁化强度不等于零，方向与自旋相互平行，基态不再具有旋转对称性，物理系统的旋转对称性被打破，产生自发对称性破缺现象，只剩下对于磁化强度所指方向的圆柱对称性12:283-284?描述固体的定律在整个欧几里德群(Euclideangroup)之下具有不变性，但是固体自己将这欧几里德群打破为

17、空间群(spacegroup)。位移与取向是有序参数。?广义相对论具有洛伦兹对称性，但是在弗里德曼-罗伯逊-沃尔克模型里，将星系速度(在宇宙学尺寸，星系可以视为气体粒子)做平均而得到的平均四维速度场，变成打破这对称性的有序参数。关于宇宙微波背景也可以做类似论述。?在弱电相互作用模型里，希格斯场的真空期望值(vacuumexpectionvalue)是将电弱规范对称性打破成为电磁规范对称性的有序参数。如同铁磁性物质实例，这里也存在有电弱临界温度，在这临界温度会发生相变。?设想一根圆柱形细棒的两端被施加轴向应力，在发生屈曲(buckling)之前的状态S0，整个系统对于以细棒为旋转轴的二维旋转变换

18、具有对称性，因此可以观察到这系统的旋转对称性，可是这状态不是最低能量态，因为有应力能量储存于细棒的微观结构内，这状态极不稳定，稍有微扰就可以促使发生屈曲，释出应力能量，跃迁至最低能量态。注意到细棒有无穷多个最低能量态做选择，这些最低能量态之间因旋转对称性关联在一起，细棒可以选择跃迁至其中任意一个最低能量态，在发生屈曲之后的状态，完全改观为非对称性。尽管如此，仍旧存了旋转对称性的一些特征：假若忽略阻力，则不需施加任何作用力就可以自由地将细棒旋转，变换到另外一个最低能量态，这旋转模态实际就是不可避免的戈德斯通玻色子。12:282-283?设想在无限宽长的水平平板上，有一层均匀厚度的液体。这物理系统

19、具有欧几里德平面的所有对称性。现在从底部将平板均匀加热，使得液体的底部温度大于顶部温度很多。当温度梯度变得足够大的时候，会出现对流胞(convectioncell)，打破欧几里德对称性。诺贝尔奖编辑2008年10月7日，瑞典皇家科学院颁发诺贝尔物理学奖给三位日裔物理学者，赞赏他们在亚原子物理领域对于对称性破缺的研究成果。这三位物理学者分别为芝加哥大学的南部阳一郎、高能加速器研究机构的小林诚、京都大学基础物理学研究所的益川敏英。由于发现在强相互作用里自发对称性破缺的机制，特别是手征对称性破缺，南部阳一郎获得一半奖金，小林诚与益川敏英分享另外一半奖金，嘉勉他们在弱相互作用里CP对称被明显打破的原由

20、。问这原由最终是倚赖希格斯机制，但至今为止，被认知为只是希格斯耦合的一个特色，而不是一个自发对称性破缺现象。数学范例：墨西哥帽势能编辑在最简单的理想相对论性模型里，自发对称性破缺可以由标量场理论(scalarfieldtheory)来概述。理论而言，自发对称破缺一般是从拉格朗日量来探讨。拉格朗日量可拆作动能部分和势能部分。二=护逍忙浙。对称性破缺来自于其势能部分。如墨西哥帽绘图所示,这个势能有无限多个可能的势能最低点(真空态)：匚皆1:'"；其中，值介于|到_!之间。拉格朗日量编辑维基百科，自由的百科全书跳转至：导航、搜索约瑟夫拉格朗日在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日量（

21、英语：Lagrangian），又称为拉格朗日函数，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对于一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能门，以方程表示为:=:；其中，匚为拉格朗日量，为动能，为势能。在分析力学里，假设已知一个系统的拉格朗日量，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加运算，即可求得此系统的运动方程。拉格朗日量是因子学物理学家约瑟夫拉格朗日而命名。目录隐藏?1概念o1.1拉格朗日量与作用量的关系o1.2能量守恒定律?2拉格朗日表述o2.1重要性o2.2优点o2.3可略坐标和守恒定律?3经典力学实例o3.1直角坐标系o3.2球坐标系?4检验粒子的拉格朗日量o4.1狭义相对论里的拉格朗日

22、量o4.2电动力学里的相对论性拉格朗日量o4.3协变的拉格朗日量o4.4电动力学里的相对论性拉格朗日量的协变表述?5参见?6参考文献概念编辑拉格朗日量是动能与势能.的差值:通常，动能的参数为广义速度1.-.J'（符号上方的点号表示对于时间的全导数），而势能的参数为广义坐标/；-'，所以，拉格朗日量的参数为v.*yI1：八-c。解析一个问题，最先要选择一个合适的广义坐标。然后，计算出其拉格朗日量。假定这些参数（广义坐标、广义速度）都互相独立，就可以用拉格朗日方程来求得系统的运动方程。假设一个物理系统的拉格朗日量为匚，则此物理系统的运动，以拉格朗日方程d£dQi其中，是时

23、间，.是广义坐标，是广义速度拉格朗日量与作用量的关系编辑一个物理系统的作用量是一种泛函，以数学方程定义为L（q,q,tdt7其中，U是系统的拉格朗日量，广义坐标厂=dV：”心是时间的函数，和分别为初始时间和终结时间假若，作用量的一次变分打T厂,作用量卜为平稳值，则q正确地描述这物理系统的真实演化。从这变分运算，可以推导出拉格朗日方程详尽相关导引，请参阅拉格朗日方程能量守恒定律编辑思考拉格朗日量对于时间的全导数:将拉格朗日方程代入，可以得到ded(dcde不=芬丑(西丿旳十占西生+莎定义能量函数''''-为淳工討£则能量函数与拉格朗日量有以下含时关系式:

24、0假若拉格朗日量显性地与时间无关，则能量函数是个常数：上-.称这常数二为这物理系统的能量。因此，这物理系统的能量守恒2。拉格朗日表述编辑重要性编辑拉格朗日表述是经典力学的一种重新表述。拉格朗日表述的重要性，不只是因为它可以广泛应用在经典力学；而更是因为它能够帮助物理学家更深刻地了解一个物理系统的物理行为。虽然拉格朗日只是在寻找一种表述经典力学的方法，他用来推导拉格朗日方程的平稳作用量原理，现在已被学术界公认为在量子力学也极具功用。优点编辑?拉格朗日表述不会被任何坐标系统捆绑住。拉格朗日表述使用广义坐标来描述系统的空间参数。它所涉及的物理量是动能与势能，这些物理量的值不会随广义坐标的选择而改变。

25、因此，对于系统的种种约束，可以选择一组最合适的广义坐标，来计算问题的解答。?拉格朗日表述能够简易地延伸至其他学术领域。电路学、量子力学、粒子物理学、等等，都可以用拉格朗日表述来分析。?如果用同样的表述可以分析不同学术领域的物理系统，这些系统必定有结构上的类推。在一个学术领域的新发现，意味着很可能在另一个学术领域会有类似的现象。可略坐标和守恒定律编辑拉格朗日量有一个优良的性质，那就是守恒定律可以很容易地从它的表达式读出来。例如，假设拉格朗日量匚跟某广义速度丄有关，而跟广义坐标丄无关,则对应的广义动量是一个守恒量。这种坐标称为“可略坐标”，或“循环坐标”。更详细地说，拉格朗日量的形式为口乞，他g右

26、；乩屜也，；上）直接检视，就可以发觉跟，无关，因此可以推断，是一个守恒量以此类推，假设，时间不在二的表达式里面，则哈密顿量守恒，即能量守恒。这种物理行为是诺特定理的一个特别案例。关于能量守恒问题，稍后会有更详细解说。经典力学实例编辑假设，在三维空间里，一个运动中的粒子的动能为甘列用f灯'欄十噫养势能为，则拉格朗日量是£(r,r)=mr2V(r)-；其中，是粒子质量，匸是位置矢量，'是粒子的速度。直角坐标系编辑采用直角坐标系。那么，拉格朗日方程就是d_fd£dt驴=0,i=1,2其中，是位置矢量L的第个直角坐标分量。那么,dv_dxi现。这物理系统的运动方程为

27、IV"0由于势能对于位置的负导数是作用力：J一y7，所以，'1-0这方程与牛顿第二定律方程完全相同。由此可以观察出，拉格朗日表述与牛顿表述的功能相等。能量函数为=E-£=mE-£=+V(r)=T+V=EiU由于拉格朗日量显性地与时间无关，能量函数是个常数二。球坐标系编辑假设选择球坐标系，则拉格朗日量是口匚典也行代0)=葺(F+厂哪+r2sin20=V(r)其中，是径向距离，i是天顶角，是方位角。稍加运算，得到运动方程为d_dtId£L乔d£)_丽dtdJ郎dtdV=mrmr&2+sin202)+=0=nir2sin&co

28、s0(2=0dt=-(nr2sin2B0)=0。特别注意，匚跟无关。所以，是可略坐标，角动量的Z-分量5沆护茁于遊是常数。检验粒子的拉格朗日量编辑假定检验粒子的质量和电荷超小，其对于外在系统的影响可以忽略。检验粒子时常可以想像为简单的质点粒子，只拥有质量和电荷性质。像电子或上夸克一类的真实粒子具有更复杂的性质，它们的拉格朗日量含有更多项目。狭义相对论里的拉格朗日量编辑在狭义相对论的四维空间里，一个移动中的粒子的相对论性拉格朗日量可以写为2其中，化.是粒子的静质量，是光速，是粒子的速度其拉格朗日方程为dfdLde、抄注其中,71/1v/<?是洛伦兹因子注意到动量dV。将这些公式代入拉格朗日方程，就可复制牛顿第二定律的方程:dpdt因此，这拉格朗日量被认定为正确无误这粒子的广义动量，定义为?假设这物理系统的势能为零，这粒子是自由粒子，则此系统的