电磁场课件 配套教案 第三章 静态场及其边值问题解

1、第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波1第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波2本章内容本章内容 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法镜像法 3.6 分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场

2、和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波33.1 静电场分析静电场分析 本节内容本节内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波42. 边界条件边界条件0ED微分形式：微分形式：ED本构关系：本构关系：1. 基本方程基本方程0)()(21n21nEEDDeeS0ddlESDCSq积分形式

3、：积分形式：0)(0)(21n21nEEDDee02t1tn2n1EEDDS或或2t1tn2n1EEDD或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即 ，则，则0S第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波50E由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。1. 电位函数的定义电位函数的定义E3.1.2 电位函数电位函数第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波62. 电位的表达式电位的表达式对于连续

4、的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由同理得，面电荷的电位：同理得，面电荷的电位： 1()( )d4VrrVCR故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：( )4qrCR()1( )d4lCrrlCRd)1)(41d)1()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRR线电荷的电位：线电荷的电位：rrRCSRrrSSd)(41)(3第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波73. 电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有ldE将将d)ddd(ddyyyyxxllE上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明

5、 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示。表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。)()(ddQPlEQPQPP、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波8 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即)(CC选

6、参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。限远作电位参考点。 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4. 电位参考点电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的

7、电位差为确点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即定值，所以该点的电位也就具有确定值，即9RlqrVP 2d 41d0001d4 2 4 Pq lqrRr220 4Rxq+Rr 例例3.1.1 正电荷正电荷 均匀分布在半径为均匀分布在半径为 的细圆环上的细圆环上. 求求圆环圆环轴线上距环心为轴线上距环心为 处点处点 的电位的电位.qRxPldxPRlqlq 2dddoyzx100004 qxR，04 PqxRx，2204 PqxR讨讨 论论 Rq04xo21220)( 4Rxq第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波11 解解 选定均

8、匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的的位置矢量为位置矢量为r ，则，则000( )( )ddPPoOPOElErEr 若选择点若选择点O为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则( )0O0( )PEr 000( )coszPErer EE r 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向的方向一致，即一致，即 ，则有，则有00zEe E0E000( )()cosxzPEreE ee zE zree z 在圆柱坐标系中，取在圆柱坐标系中，取 与与x 轴方向一致，即轴方向一致，即 ，而，而 ，故，故 00 xEe E0E0ExzOPr

9、 例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波12xyzL-L( , , ) z zddlzRz 解解 采用圆柱坐标系，令线电荷与采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与标原点。由于轴对称性，电位与 无关。无关。在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它到点到点 的距离的距离 ，则则22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz 220220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3

10、 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。0l第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波132222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为时，上式可写为 LRL 当当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有一个任意常数，则

11、有L 002( )ln2lLrC并选择有限远处为电位参考点。例如，选择并选择有限远处为电位参考点。例如，选择= a 的点为电位参的点为电位参考点，则有考点，则有002ln2lLCa 00( )ln2lar第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波14在均匀介质中，有在均匀介质中，有5. 电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，0EED202标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波156. 静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为

12、别为1和和2。当两点间距离当两点间距离l0时时 导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：0dlim21021PPlElSe)(21nDDD由由 和和12媒质媒质2媒质媒质121l2P1P 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即0Snn1122常数，常数，SnSnn112221第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波16 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和和 x = a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板

13、之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位和电场。0S 解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S1( )x2( ) x第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波170110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 0

14、10020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用边界条件，有利用边界条件，有xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 处，处，最后得最后得0 x 处，处，1(0)0 x a2( )0a 处，处，所以所以0220( )( )SxbE xxea由此解得由此解得第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波18电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中： 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 在

15、电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用。路、选频等作用。 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路。电路。 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。减少电能的损失和提高电气设备的利用率。第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波19 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷储存电荷能力的物理量。能

16、力的物理量。 孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即qC 1. 电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的的 导体组成的电容器，其电容为导体组成的电容器，其电容为12qqCU 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。E02U1qq第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波20 (1) 假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和

17、q ； 计算电容的方法一计算电容的方法一：UqC (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。21dlEU (3) 由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差； (2) 计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E； 计算电容的方法二计算电容的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U ； (4) 由由 得到得到 ;nESS (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ；E (3) 由由 得到得到E ; SSSqd (5) 由由 ，求出导体的电荷，求出导体的电荷q ；UqC (6) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。第第

18、3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波21 解解：设内导体的设内导体的电荷为电荷为q ，则由高斯定理可求得内外导体间，则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab同心导体间的电压同心导体间的电压04abqCUba球形电容器的电容球形电容器的电容04Ca当当 时，时，b 例例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容abo第第3

19、 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波22 例例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，两导线，两导线的轴线距离为的轴线距离为D ，且，且D a ，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。l 解解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为lDa011( )()2lx

20、E xexDx两导线间的电位差两导线间的电位差210011d()dln2DallaDaUElxxDxa故单位长度的电容为故单位长度的电容为001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波23 例例3.1.6 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a ，外导体半径为，外导体半径为b ，内外导体，内外导体间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。( )2lEe内外导体间的电位差内外导体间的电位差1( )dd2bblaaUEell 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为

21、设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为12(F/m)ln( / )lCUb aab同轴线同轴线ln( / )2lb a第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波24 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。量就等于外加电

22、源在此电场建立过程中所做的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立电荷分布的建立(或充电或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。电荷之间的相互作用力而做功。3.1.4 静电场的能量静电场的能量 第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁

23、场与电磁波251. 静电场的能量静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为、电位为 。 充电过程中某一时刻的电荷量为充电过程中某一时刻的电荷量为q 、电位为、电位为 。(01) 当当增加为增加为(+ d)时，外电源做功为时，外电源做功为: (q d)。 对对从从0 到到 1 积分，即得到外电源所做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为101d2qq 根据能量守恒定律，此功也就是电量为根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电的带电体具有的电场能量场能量We ，即，即 对于电荷体密度为对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元的体分布电荷

24、，体积元dV中的电荷中的电荷dV具具有的电场能量为有的电场能量为qW21eVWd21de第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波26故体分布电荷的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，对于面分布电荷，电场能量为电场能量为对于多导体组成的带电系统，则有对于多导体组成的带电系统，则有iq 第第i 个导体所带的电荷个导体所带的电荷i 第第i 个导体的电位个导体的电位式中：式中： iiiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21eVVWd21eSSSWd21e第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波272. 电场能量密度电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在

25、的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。EDw21e电场能量密度：电场能量密度：e1d2VWD E V电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有2e111222wD EE EE 第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波28由于体积由于体积V 外的电荷密度外的电荷密度0，若将上，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域果仍然成立。只要电荷分布在有限

26、区域内，当闭合面内，当闭合面S 无限扩大时，则有无限扩大时，则有211 O( O()DRR)、故故 推证推证：()DDD E D R0Se11dd22VVWVDV1()d2VDDVSVSDVDdd )(VDESDVSd21d210)1O()d11O(d2RSRRSDSS第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波29 例例3.1.7 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电的电荷，试求静电场能量。荷，试求静电场能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解： 方法一方法一，利用利用

27、 计算计算 VVEDWd21e 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波30)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 计算计算 VVWd21e 先求出电位分布先求出电位分布 故故5202022021e154d4)3(221d21arrraVWaV第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波313.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 本节内容本节内容 3.2.1 恒定电场

28、的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导漏电导第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波32 由由J J E E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。的电场称为恒定电场。 恒定电场与静电场的重要区别：恒定电场与静电场

29、的重要区别： （1 1）恒定电场可以存在于导体内部。）恒定电场可以存在于导体内部。 （2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体中的恒定电要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波33EJ0d0dlESJCS00EJ1. 基本方程基本方程 恒定电场的基本方程为恒定电场的基本方程

30、为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度)(rE 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系0)(EEJ 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数0E0 EE0 J由由0)(02若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电荷没有体分布电荷第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波342. 恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件0dlEC0dSJS媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Ene0)(21nJJe0)(21nEEe 场矢量的边界条件场矢量的

31、边界条件2nn1JJ即即2t1tEE即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度n2211222111n21n)()()(JeeSJJDD第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波35 电位的边界条件电位的边界条件nn221121, 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因因 而导体表面不是等位面；而导体表面不是等位面； 说明说明：b11、a第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波36媒质媒质2 2媒质媒

32、质1 12122E1E)(12媒质媒质2 2媒质媒质1 12012Ene1E)0(1 如如2 1、且、且 290，则则 10， 即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面； 若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 10，则则 J1=0，故故J2n= 0 且且 E2n= 0，即导体，即导体 中的电流和电场与分界面平行中的电流和电场与分界面平行。第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波373.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边

33、界如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。的方法称为比拟法。D0U静电场静电场J0U恒定电场恒定电场第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波38恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 D

34、DEEn2n1t2t1 JJEE静电场（静电场（ 区域）区域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场GC0d, 0dlESDCS第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波39 例例3.2.1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 1、 1 和和 2、 2 ，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。 解解：极板是理想导体，

35、：极板是理想导体，为等位面，电流沿为等位面，电流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11, 22, zo12121 12212()ddUUUEdE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU121212,SSDJDJ上下21122 121212112()SDDJUdd 介第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波40 例例3.2.2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导，外导体半径为体半径为c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为 1 和和 2 、

36、电导率为、电导率为 1 和和 2 。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面）介质分界面上的自由电荷面密度。上的自由电荷面密度。J1212I外导体外导体内导体内导体介质介质2 2介质介质1abc11、22、0U第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波41 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ,则由则由 可得电流密度可得电流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介质中的电场介质中的电场222()2JI

37、Eebc 解解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度由求出电流密度 的表达式，然后求出的表达式，然后求出 和和 ，再由，再由 确定出电流确定出电流 I。J012ddbcabUEE1E2E第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波4212021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为故两种介

38、质中的电流密度和电场强度分别为120212ln()ln()UIb ac b 01212ddln( )ln( )22bcabIbIcUEEab由于由于于是得到于是得到第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波4312011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b nSeD （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面的电荷面密度为外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密

39、度为J2112I第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波44 在恒定电场中两个电极间充满电导率为在恒定电场中两个电极间充满电导率为的均匀导电的均匀导电媒质时，电导为：媒质时，电导为：2211SSJ d SEd SIGUEd lEd l3.2.3 电导电导第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波45(1) 假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I ； 计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度 矢量矢量J ； 由由J = E 得到得到 E ; 由由 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差； (5) 求比值求比值 ，即得，即得出出(2) 所求电导。所求电导。21dlEUUIG

40、/ 计算电导的方法一计算电导的方法一： 计算电导的方法二计算电导的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U； (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。ESISJdUIG/ 计算电导的方法三计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：CGCG第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波46 例例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设

41、内外的半径分别为a 、b，长度为长度为l ，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：直接用恒定电场的计算方法直接用恒定电场的计算方法电导电导)/ln(2ablUIG绝缘电阻绝缘电阻ablGRln211baablIlIUln2d2dlElba则则IlIJ2lIJE2设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I 。第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波47本节内容本节内容 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 3.3.3 电感电感 3.3.4 恒定

42、磁场的能量恒定磁场的能量 3.3.5 磁场力磁场力 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波480HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 边界条件边界条件本构关系：本构关系：SJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或或若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即JS0，则，则积分形式积分形式: :0)(0)(21n21nHHeBBe或或002tt1n2n1HHBB3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波49

43、 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由由AA 0BBA 即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。 磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的造成的。为了得到确定的A，可以对，可以对A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。场中通常

44、规定，并称为库仑规范。0A()AAA 1. 恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波50 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在无源区：在无源区：AB0A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表达式磁矢位的表达式3( )1( )d( )()d44VVJ rRB rVJ rVRR 1( )()d4VJ rVR ()111()()()()()()J rJ rJ rJ rRRRR 31()RRR

45、 JB第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波51 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件（可以证明满足（可以证明满足 ） 0A对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为 利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量：0A 12AAn12()SeHHJ/HAn121211()SeAAJ细线电流细线电流：CRlIrAd4)(面电流面电流：SSSRrJrAd)(4)(由此可得出由此可得出VVRrJrAd)(4)(SCSBlAddCSSlASASBddd0dSSA2t1tAA 2n1nAA第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波52 解解：先求长度为：先求长度为

46、2L 的直线电流的磁矢位。电流元的直线电流的磁矢位。电流元 到点到点 的距离的距离 。则。则22()RzzddzI le I z( , , )Pz 0221()d4()LzLIA rezzz220ln() 4LzLIezzzz 22022()()ln4()()zzLzLIezLzL 例例 求无限长线电流求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿的磁矢位，设电流沿+z 方向流动。方向流动。与计算无限长线电荷的电位一样，令与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电流可得到无限长线电流的磁矢位的磁矢位 L 01( )ln2zIA reCxyzL-L( , , ) z zddzI le I zR第

47、第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波532. 恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位 一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（电流（J0）的空间）的空间 中，则有中，则有即在无传导电流即在无传导电流（J0）的空间中，可以引入一个的空间中，可以引入一个标量位函数来标量位函数来描述磁场。描述磁场。 标量磁位的引入标量磁位的引入0HmH 标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波54 与静电位相比较，有与静电位相比较，有 标量磁位的边界条件标量磁位的边界条件0m0BHHB 、2m0在线性、各向

48、同性的均匀媒质中在线性、各向同性的均匀媒质中 标量磁位的表达式标量磁位的表达式01( )( )d4VrrVRmm0( )1( )d4VrrVRm1m212nn和和m1m2第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波55静电位静电位 磁标位磁标位 磁标位与静电位的比较磁标位与静电位的比较0,ED0,0HBE mH m1m2m1m212,nn121212,nn静电位静电位 0 PED磁标位磁标位 m 0mHB第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波561. 磁通与磁链磁通与磁链 ii3.3.3 电感电感 单匝线圈形成的回路的磁链定单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量义为穿过该回路

49、的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁多匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总链定义为所有线圈的磁通总和和 CI 细回路细回路 粗导线构成的回路，磁链分为粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量的、磁力线不穿过导体的外磁通量 o ；另一部分是磁力线穿；另一部分是磁力线穿过过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 i。 iCI o粗回路粗回路第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波57 设回路设回路 C 中的电流为中的电流为I ，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路 C

50、 交链的磁链交链的磁链为为 ，则磁链，则磁链 与回路与回路 C 中的电流中的电流 I 有正比关系，其比值有正比关系，其比值IL称为回路称为回路 C 的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。 外自感外自感ILiiILoo2. 自感自感 内自感；内自感；粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。电流无关。 自感的特点自感的特点：第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波58 解解：先求内导体的内自感。设同轴：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为线中的电流为I

51、，由安培环路定理，由安培环路定理0ii22,22IIHBaa穿过沿轴线单位长度的矩形面积元穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS = d的磁通为的磁通为0ii2ddd2IBSa (0)a 例例3.3.4 求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导，外导体厚度可忽略不计，其半径为体厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。，空气填充。得得与与di 交链的电流为交链的电流为22IIa 则与则与di 相应的磁链为相应的磁链为30ii4ddd2IIIaabadIiB2222idaIaIIlHC第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波59因此内导体中总的内磁链为因此

52、内导体中总的内磁链为300ii40dd28aIIa0ii8LI故单位长度的内自感为故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感。再求内、外导体间的外自感。00ooddln22baIIba00ioln82bLLLa02IB0ooddd2I则则o0oln2bLIa故单位长度的外自感为故单位长度的外自感为单位长度的总自感为单位长度的总自感为第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波60 例例3.3.5 计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为径为a ，两导线的间距为，两导线的间距为D ，且，且 D a 。导线及周围媒质的磁。导线及周围媒质的磁导率

53、为导率为0 。00o11d()dln2DaaIIDaBSxxDxa011( )()2yIB xexDx穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为 解解 设两导线流过的电流为设两导线流过的电流为I 。由。由于于D a ，故可近似地认为导线中的，故可近似地认为导线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点平面上任一点P 的磁感应强度为的磁感应强度为xyzxDaPII第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波61于是得到平行双线传输线单位长

54、度的外自感于是得到平行双线传输线单位长度的外自感o00olnlnDaDLIaa00ioln4DLLLa00i284L 两根导线单位长度的内自感为两根导线单位长度的内自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波62 对两个彼此邻近的闭合回路对两个彼此邻近的闭合回路C1 和回路和回路 C2 ，当回路，当回路 C1 中通过中通过电流电流 I1 时，不仅与回路时，不仅与回路 C1 交链的交链的磁链与磁链与I1 成正比，而且与回路成正比，而且与回路 C2 交链的磁链交链的磁链 12 也与也与 I1 成正比，其成正比，其比例系数

55、比例系数12121IM 称为回路称为回路 C1 对回路对回路 C2 的互感系数，简称互感。的互感系数，简称互感。21212IM 3. 互感互感同理，回路同理，回路 C2 对回路对回路 C1 的互感为的互感为C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波63 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。磁介质有关，而与电流无关。 满足互易关系，即满足互易关系，即M12 = M21 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有

56、相同的符号时，互 感系数感系数 M 为正值；反之，则互感系数为正值；反之，则互感系数 M 为负值为负值。 互感的特点：互感的特点：第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波644. 纽曼公式纽曼公式 如图所示的两个如图所示的两个回路回路 C1 和回路和回路 C2 ，回路回路 C1中的电流中的电流 I1 在回路在回路 C2 上的任一上的任一点产生的矢量磁位点产生的矢量磁位111021d4)(CRlIrA回路回路 C1中的电流中的电流 I1 产生的磁场与回路产生的磁场与回路 C2 交链的磁链为交链的磁链为C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r纽曼公式纽曼公式 2121210121dd4dCCC

57、RllIlA同理同理 2112021dd4CCRllM故得故得 1221012dd4CCRllM 122101221dd4CCRllMMM第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波6502IBe0001dd dd22dbzdbSddIIzBSz由图中可知由图中可知()tan( 3)3()zbdbd长直导线与三角形回路长直导线与三角形回路Idz60bddSz穿过三角形回路面积的磁通为穿过三角形回路面积的磁通为 解解 设长直导线中的电流为设长直导线中的电流为I ，根据根据安培环路定理，得到安培环路定理，得到 例例3.3.6 如图所示，长直导线与三角如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之

58、间的互感。形导体回路共面，求它们之间的互感。第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波66031()d2dbdIbd03()ln(1)2Ibbdbd03()ln(1)2bMbdbId因此因此故长直导线与三角形导体回路的互感为故长直导线与三角形导体回路的互感为第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波67 例例3.3.7 如图所示，两个互相平行且共轴的圆形线圈如图所示，两个互相平行且共轴的圆形线圈C1和和 C2，半径分别为半径分别为a1和和 a2 ，中心相距为，中心相距为d 。求它们之间的互感。求它们之间的互感。2221 2211212212cos()rrdaaa a于是有于是有 22012

59、21212221 200121221cos()dd42cos()a aMdaaa a 20122221 201212cos d22cos a adaaa a 解解 利用纽曼公式来计算，则有利用纽曼公式来计算，则有两个平行且共轴的线圈两个平行且共轴的线圈2Cd1a2a1C1dl2dl21xyz121式中式中=21为为 与与 之间的夹角，之间的夹角，dl1= a1d1、dl2= a1d2 ，且且1dl2dl 12122121021210ddcos4dd4CCCCrrllrrllM第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波68 若若d a1，则，则2221 2221 21 212121222222

60、cos2cos 1a adaaa adada221 2122222cos1a adada于是于是 222012012122222 3 2220222cos1cos d22a aa aa aMdadada 一般情况下，上述积分只能用椭圆积分来表示。但是若一般情况下，上述积分只能用椭圆积分来表示。但是若d a1或或 d a2 时，可进行近似计算。时，可进行近似计算。第第3 3章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波693.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量1. 磁场能量磁场能量 在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁