第七节三角函数的化简与求值(知识梳理)

1、第七节三角函数的化简与求值餐餐方向明0复习目标学法指导1 .二倍角的正弦、余弦、 正切公式.2 .简单的二角怛等交换 (1)利用二角恒等交换研 究三角函数的性质.(2)能把一些简单实际问 题转化为二角函数问题， 通过三角变换解决.了解和、差、倍角公式的 特点，并进行变形应用.理解三角变换的基本特点 和基本功能.了解三角变换中蕴含的数 学思想和方法.1 .在理解倍角公式推理的过程中掌握公 式特征.2 .熟练掌握余弦的二倍角公式，能正用、 逆用.3 .准确把握三角变换的题型的特征，能 从“角、名、式”三个方面分析特点、 选择公式、正确转化求解.知识造条完善一诂网络构建二倍角的正弦、余弦和正切公式1

2、 .二倍角的正弦公式sin 2 % =2sin % cos % .2 .二倍角的余弦公式 cos 2 % =cos2 - -sin 2 % =2cos2 % -1=1-2sin 2 % .3 .二倍角的正切公式tan 2 ” =若£口拓展空间1 .公式理解(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中当 二(3时的特殊情况.倍角是相对的，例如,是的倍角,3 0c是3r的倍角.2 .与倍角公式有关的变形公式 升哥公式：1+cos a =2cos2 - ;1-cos 认=2sin2;1+sin % =(sin +cos -)2;1-sin% =(sin -cos -)2.2222 降

3、哥公式:sin 2 % =1 cos2 ;cos 2 % =1 cos2 ;sin % cos %=sn22(3)半角公式:sin - = ±1 cos .2;cos 产 1 cos ；tan -=±21 cos _ sin 1 cos1 cos 1 cos sin1.已知 R,sin % +2cos % =斗，贝U tan 2口等于(C )(A) ： (B) 4 (C)- 4 (D)- 3解析：法一(直接法)由已知得(sin+ +2cos %)2="/224cos2 sin4sin cos _ 52cos2化简得 3tan 2 % -8tan % -3=0,ta

4、n% =3 或 tan a =-1,代入 tan 2 % = 2tan 2 ,得 1 tantan 2 % =- 3.4310,cos解析：法二（猜想法）由给出的数据及选项的唯一性，记sin 0cz 一 1=-, 10这时sin% +2cos % =段符合要求,2此时tan % =3，代入二倍角公式得到答案 C.故选C.2 .函数y=sin 2x+2sin xcos x+3cos2x的最小正周期和最小值为 (C )(A)兀，0(B)2 兀，0(C)兀,2-或(D)2 兀,2- a解析:y=sin 2x+2sin xcos x+3cos 2x=1+sin 2x+(1+cos 2x)=2+72si

5、n(2x+ ；),最小正周期为兀,当sin(2x+ 4)=-1时,y取得最小值为2-衣.故选C.3 .(2018 嘉兴测试)cos j - cos § - cos(-等)=.解析:cos j - cos $ cos(-等)=cos 20- cos 40- cos 100 =-cos 20- cos 40- cos 80_ sin 20 cos20 cos40 cos80 -sin 20 . _"一sin 40 cos40 cos80=-2sin 20sin80 cos80=- 4 sin201 sin160=-8sin 201sin 20=-8sin 20=-1.8答案：-

6、184 .化简 sin 2( % - :)+sin 2( % + 晟)-sin 2 % 的结果是.解析：法一 原式=+-sin 2 a =1- - cos(2 %222-1)+cos(2 % +!)-sin 2 %2=1-cos 2 % - cos ；-sin %=1- cos2 - 1 cos222二1-.2法二 令 =0,则原式=-+-=-.442答案：12高西* 4更tit考点一三角函数式的化简与给角求值例 1 (1)已知 a=sin 15 cos 15 ,b=cos2- -sin 2- ,c= tan30 ,则661 tan2 30a,b,c的大小关系是()(A)a<b<c

7、 (B)a>b>c(C)c>a>b (D)a<c<b(2) yFcos8+2VTn8的化简结果为. 12sL-sin 10(福-tan 5)=解析：(1)a=sin 15cos 15=1sin 302=14b=cos2 ,-sin 2: =cos=1,c=匕n30 =1tan 60=亘,1 tan 3022由冷哼可知a<b<C.故选A. 原式=V4cos24 +2 J sin42cos4=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|,因为5兀<4<|兀,所以 cos 4<0,且 sin 4<cos 4,所以原式=-2co

8、s 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4.2(3)原式=2cos 10-sin 10(吧-4)2 2sin10 cos10' sin5 cos5 /cos102sin10-sin 102 一 2 一cos 5sin 5sin5 cos5懿-sin 10cos101 sin102=笆g-2cos 102sin10_ cos10 2sin 202sin10_ cos10 2sin 30 102sin1013cos10 2 cos10 sin10 _222sin10_ 3sin102sin10=_3. 2答案:(1)A(2)-2sin 4(3)薮反思方纳(1)三角函数式的化简要遵

9、循“三看”原则5一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角 进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式， 常见的有“切化弦”；三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向， 如“遇到分式要通分”等.(2) “给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很 难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时,要利用观 察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数 而得解.口迁移训赛1.若函数f(x)=5cos x+12sin x在x= 0时取得最小值，则cos 0等于(A)i5 - i2

10、C)1ii (D)-1213136% ),解析:f(x)=5cos x+12sin x =13(；11cos x+ 12 sin x)=13sin(x+其中 sin a =,cos a =, 1313由题意知0 +%=2k兀-；(k 6Z),得 0 =2k 兀-j- % (k 6 Z),所以 cos 0 =cos(2k 兀- % )5=cos(: =-sin故选B.2.化简:sin 2 % - sin2B+cos2%cos2 B - - cos 2 % - cos 2 B .218解：法 原式=sin2% - sin2B+cos2% cos2 (3 - 1 (2cos2 a-1) - (2co

11、s2p -1)_ _ 2=sin a sin2B +cos %cos2 B - 1 (4cos 2 a2cosB -2cos2 a -2cos2B+1)-2=sin a sin2B -cos cos2 B +cos2 a +cos2 3_ _ 2=sin a sin2B +cos %- sin 2 B.2 c+cos B-2=sinB +cos2 B -1=1- 12_1 .2法二 原式=sin 2 asin 2 B +(1-sin 2 % ) cos 2 3 - - cos 2 % 2cos 2 B=cos2 B -sin 2 a (cos2 B -sin 2 B)- 1 cos 2 a -

12、 cos 2 B=cos2 B -sin 2 a - cos 2=cos2 B -cos 2 B (sin=1 cos2 -cos 2 B sin 23 - 1 cos 2 % cos 2a +1 cos 2 % )2/2%+1(1-2sin 2 %)cos 2 B_ 1 cos2122_1.2法三原式二 os os + Ls Los-lcos 2 0c cos 2 B22222= 1(1+cos 2 cos 2 B -cos 2 a -cos 2)+ 1 (1+cos 2 a ,cos 2 B +cos 2+cos 2 B )- 3 cos 2 a - cos 2 B=1.2法四原式=(si

13、n % - sin 3 -cos % - cos 3 )2+2sin % sin B cos % cos B -1 cos 2 a - cos 2 B=cos2( %+B )+1 sin 2 a - sin 2 3- 1 cos 2 a - cos 2 B=cos2( %+B )-1 cos(2 % +2 B )=cos2( %+B )-1 2cos 2( % + B )-1_ i.2考点二三角函数的给值求值与给值求角问题例 2已知 tan _ =3，则 1cos sin =.21 cos sin解析：因为tan3, 一 ,2sin2 sin所以原式=2-2.2cos - sin22sin2

14、- 2sin -cos-=22222cos - 2sin -cos-2222tan - tan-二 221 tan- 2=tan -2=3.答案：3反思归纳已知三角函数值，求三角函数式值的一般思路(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.口迁移训练1.(2019 -台州高三模拟)在斜ABCCh1 ,sin A=-ccos Bcos C,且 tanB tan C=1-凡则角A的值为.解析：由已知 sin(B+C尸-72cos Bcos C,所以 sin Bcos C+cos Bsin C=-2 cos Bcos

15、C,所以 tan B+tan C=- 2,又 tan B - tan C=1- 口所以 tan(B+C尸 tanB tanC =-1,1 tan BtanC所以 tan A=1,又0<A<兀，所以A=；.答案：-42.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a为大于1的常数)的两根为tan % ,tanB,且,(36(- 2, )，则 tan 二 的值是.解析：因为a>1, 所以 tan % +tan B =-4a<0,tan -tan B =3a+1>0,所以tan % ,tan B是方程x2+4ax+3a+1=0的两个负根,又, B6(- 2,2),所以, (36

16、(- j,0),即丁 6(- ；,0),由 tan (4a1 3a 1tan tanOC + p )=1 tan tan可得 tan - =-2.答案:-2考点三三角恒等变换的应用例3 (2018 金华十校模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角口与钝角B的终边与单位圆分别交于点A,B,x轴正半轴与单位圆交于点 M,已知Saoa=T，点B的纵坐标是噂.(1)求 cos ( % - B )的值;(2)求2 % - (3的值.解：(1)根据题意知，OA=OB=1.由 S OA=也和%为锐角, 5得 sin % 二等,cos %=*，又点B的纵坐标是条,(3为钝角,所以 sin

17、 B = ,cos (3 =- 72.r 10r 10所以 cos( a - B 尸cos % cos (3 +sin % sin BL2)+ llx-2 1051010解：(2)因为 cos 2 %=2cos2%-1=2X(*2-1=-|,sin 2 %=2sin -cos %=2X 乎 哼且0<%< p所以2% ( ( j兀).因为B 6 (。兀)，-cos 2 a - sin所以 2% - B 6 (- p -2).sin(2 a - B )=sin 2 a - cos故 2% - B =-彳.反思史纳三角恒等变换的综合应用主要是将三角恒等变换与三角函数的性质相结合，通过变形

18、，将复杂的函数式子化为y=Asin( 3x+ )+b的形式再研究性质，在研究性质时注意利用整体思想解决相 关问题.口迁移训练已知函数 f(x)=cos 2x+sin xcos x,x R.求可)的值；6 '(2)若 sin % =3，且 6 (:,兀)，求 f( ； + A).解：(1)f(:尸cos2' +sincos q=()2+- x 史 2，22_3.3.4解：(2) 因为 f(x)=cos 2x+sin xcos x=1 cos2x + 1sin 2x 22= 1+1 (sin 2x+cos 2x)=1 +孝 sin(2x+ j),所以 f( _ + )= 1 + s

19、in(' 224'22'= 1 + y sin( %+ ：)%).= 1 + y ( 1sin %+gcos又因为sin % =3,且 65所以 cos % =-4 , 5所以 f( a+5尸 1+q(2x5-=10 2 2 4 620类型一 三角函数式的化简与给角求值1.0 00cos85 sin25 cos30ocos25等于（(A)- q (B) -1 (C) 2C )(D)1解析：原式=sin5o _3 sin25o2o-0cos25o o 3osin(30 25 ) sin25cos25olcos250=2cos25o=1.2故选C.2.cos ： - cos

20、 § 的值是(B )(A)4(B) 4 (C)2 (D),无无2无 1 . 4无sin cos - cos -sin 解析：原式=555 二 45无 4sin 5无sin 5故选B.3.若0是第二象限角,且 cos - <0,则.1 sin的值是sin cos22解析：0是第二象限角，且cos -<0,所以2k兀+5兀< <2k兀+3兀，k 乙 422- cossin cossin cos 222 2sin cos sin2一.1 sin 2222cos sin 二 22sin _ cos_ 22=-1.答案：-14.化简 sin4x1 cos4xcos2x1

21、 cos2xcosx1 cosx解析：原式二2sin 2xcos2x2cos2 2xcos2x . cosx 1 cos2x 1 cosx_ sin 2x1 cos2x2sin xcosx22cos xcosx1 cosxcosx1 cosxsinx1 cosx二tan x.2答案:tan x2类型二三角函数求值5.若。<“ <2,-2<B<°，cos( ；+%)=3,3( ；-)q,则 cos( % +-)等于(C )(A)停(B)-停(C) 593 (D)-16解析:cos( 0C +-) =cos( ：+%)-( 4-)=cos( : +%)cos( ；

22、- -)+sin( : + % )sin( :-),因为0<% <j,所以:< f+% <3f,所以 sin( - + a )=". 43又-<B <0,所以 4V4-2<2,所以 sin( /-_)=_1.故 cos( a +_)=1x 立 + 空2X26=速.'2，33339故选C.6 .已知 sin x+cos x=1,贝U 12 sin2x2 =.cos x sin x2解析:由于 122x2 =( sx)=cos x-sin x,cos x sin x (sin x cosx)(cosx sin x)因为(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=1,故 sinx。，或 cosx 0,cosx 1 sinx 1,代入解得 12 sin2x2 =cos x-sin x= ± 1. cos x sin x答案：±17 .已知 cos2 a -cos 2 B =a,那么 sin( % + B ) , sin( % - B )等于.解析:sin( %+B) sin( %-B)=(sin a cos B +cos % sin B ) (sin % cos B -cos % sin B ) =sin 2 a cos2 B -cos 2 % sin 2 B=(1-cos