特殊平面法向量求法

1、在空间直角坐标系下求平面在空间直角坐标系下求平面的法向量的法向量在空间直角坐标系下，在空间直角坐标系下， 如何求平面的法向量？如何求平面的法向量？1.1.设平面设平面的法向量的法向量( , , )nx y z2.2.在平面在平面内找两个不共线的向量内找两个不共线的向量,a b 3.3.由由 得到关于得到关于x,y,z的三的三元一次方程组，解之可得平面的法向量元一次方程组，解之可得平面的法向量0,0n an b 1.平面平面ABCD/y轴和轴和z轴，则平面轴，则平面ABCD的的一个法向量为一个法向量为_(1,0,0)2.平面平面ABCD/x轴和轴和z轴，则平面轴，则平面ABCD的的一个法向量为一

2、个法向量为_(0,1,0)3.平面平面ABCD/x轴和轴和y轴，则平面轴，则平面ABCD的的一个法向量为一个法向量为_(0,0,1)特殊平面的法向量特殊平面的法向量xyzOABDCC1A1B1D1问题问题1：在棱长为在棱长为1的正方体的正方体AC1中，中，M为棱为棱A1B1的中点，求平面的中点，求平面BMC1的一个法向量的一个法向量.M(1,1,0)(1, ,1)解：解：111( 1,0),( 1,0,1)2MCBC 设平面设平面BMC1的一个法向量为的一个法向量为(1, 2,)nz10n BC 1z(1, 2,1)n跟向量跟向量 =(x,y,0)垂直垂直的法向量可设为的法向量可设为a1 1(

3、, )nzx y 反思反思1：12(0,1,1)10n MC 11002() xyz问题问题2：在长宽高分别为在长宽高分别为2,1,2的长方体的长方体AC1中，中，求平面求平面AC1的一个法向量的一个法向量.(1,0,0)(0,2,2)(1,0,2)解：解：1( 1,2,0),(0,0,2),ACAA 设平面设平面AC1的一个法向量为的一个法向量为1(1, 0)2n跟向量跟向量 =(x,0,0)垂直垂直的法向量可设为的法向量可设为a(0, , )ny z反思反思2：(0,2,0)xyzOABDCC1A1B1D1( , 0)nx y0n AC 20 xy 10n AA, 0020 xyz设平面设

4、平面ABCD的一个法向量的一个法向量为为( , ,0)nx y问题问题3：平面平面ABCD/z轴，在轴，在x轴、轴、y轴上的截轴上的截距分别为距分别为a、b，则平面，则平面ABCD的一个法向量为的一个法向量为_探究规律探究规律xyzOA(a,0,0)B(0,b,0)D11(,0)abC(0,b,c)解：解：(, ,0),(0,0, ),ABa bBCc 0n AB 11(,0)nab2.平面平面ABCD/x轴，在轴，在y轴、轴、z轴上的截距分别轴上的截距分别为为b、c，则平面，则平面ABCD的一个法向量的一个法向量类比迁移类比迁移3.平面平面ABCD/y轴，在轴，在x轴、轴、z轴上的截距分别轴

5、上的截距分别为为a、c，则平面，则平面ABCD的一个法向量的一个法向量1 1(0,)bc11(,0,)ac1.平面平面ABCD/z轴，在轴，在x轴、轴、y轴上的截距分别轴上的截距分别为为a、b，则平面，则平面ABCD的一个法向量的一个法向量11(,0)abu结论结论1问题问题4：平面平面AOBD，O是原点，是原点，A在在z轴上轴上点点B(a,b,0),则平面则平面AOBD的一个法向量为的一个法向量为_探究规律探究规律xyzOA(0,0,c)D(a,b,0)11(,0)abB解：解：(0,0, ),( , ,0)OAc ODa b 设平面设平面OABD的一个法向量的一个法向量为为( , ,0)n

6、x y0n OD 11(,0)nab 2.平面平面AOBD,O是原点是原点,A在在x轴上点轴上点B(0,b,c),则平面则平面AOBD的一个法向量为的一个法向量为3.平面平面AOBD,O是原点是原点,A在在y轴上点轴上点B(a,0,c),则平面则平面AOBD的一个法向量为的一个法向量为类比迁移类比迁移1 1(0,)b c11(,0,)ac1.平面平面AOBD,O是原点是原点,A在在z轴上点轴上点B(a,b,0),则平面则平面AOBD的一个法向量为的一个法向量为u结论结论211(,0)ab探究规律探究规律xyzO问题问题5：平面平面ABC在在x轴、轴、y轴、轴、z轴上的截距轴上的截距分别为分别为

7、a、b、c，则平面，则平面ABC的一个法向量为的一个法向量为_A (a,0,0)B (0,b,0)C (0,0,c)1 1 1(,)a b c探究规律探究规律平面平面ABC在在x轴轴,y轴轴,z轴上的截距分别为轴上的截距分别为a,b,c，则平面则平面ABC的一个法向量为的一个法向量为u结论结论31 1 1(,)a b c练练1：在棱长为在棱长为2的正方体的正方体AC1中中,P,Q,R分别为棱分别为棱A1D1,C1D1, AD的中点的中点,求以下平面的一个法向量求以下平面的一个法向量.xyzOABDCC1A1B1D1(1)面面RCD1;(2)面面PRCC1;R(1,0,0)P(1,2,0)1 1

8、(1,)2 2(0,2,0)(0,0,2)1(1,0)2练练1：在棱长为在棱长为2的正方体的正方体AC1中中,P,Q,R分别为棱分别为棱A1D1,C1D1, AD的中点的中点,求以下平面的一个法向量求以下平面的一个法向量.xyzOABDCC1A1B1D1(3)面面PQAC;(4)面面PRBB1;R(1,0,0)PQ1 1 1(,)2 2 4(0,2,0)(2,0,0)(2,2,0)(2,2,2)1( 1,0)2T(0,0,4)M(0,-2,0)N 通过延长线段通过延长线段找平面与坐标轴的交点找平面与坐标轴的交点反思反思3：直击高考直击高考（20102010浙江理数改编）浙江理数改编）在矩形在矩

9、形ABCD中，点中，点E、F分别分别在线段在线段AB、AD上，上，AE=EB=AF= FD=4. .沿直线沿直线EF将将AEF翻折成翻折成A1EF，使平面，使平面A1EF平面平面BEF. .求求平面平面A1FD的一个法向量的一个法向量. .BDCAFEA1xyz(0,0,22)(0, 2,0)G112(0,)2 4n O23巩固练习巩固练习练练2.已知已知ABCD是上下底边长分别为是上下底边长分别为2和和6，高为，高为 的等腰梯形，将他沿对称轴的等腰梯形，将他沿对称轴OO1折成直二面角，求折成直二面角，求平面平面OAC和和ACO1的一个法向量的一个法向量.3BACDOO1ABCDOO1xyz1

10、3(0, 1,)3n 213( ,0,)33n (0,1,3)(3,0,0)(0,0,3)巩固练习巩固练习练练3.直三棱柱直三棱柱AC1中，中，ACB=90，AC=1，CB= ,侧棱侧棱AA1=1，侧面，侧面AA1BB1的两条对角线的两条对角线交点为交点为D，求平面，求平面B1BD和和BCD的一个法向量的一个法向量.2ABCA1B1C1Dxyz(0,0,1)(0,2,0)12(0,1)2n (1,0,0)2(1,0,1)n 总结反思总结反思如何迅速正确求解平面的法向量：如何迅速正确求解平面的法向量：2.2.利用特殊平面的法向量结论：利用特殊平面的法向量结论： 1.1.设平面法向量的方法：设平面法向量的方法：跟向量跟向量 =(x,0,0)垂直的法向量垂直的法向量a(0, , )ny z1 1(, )nzx y 跟向量跟