第一章 恒定电场下的电介质极化

1、12r，真空介电常数米牛库米法无量纲数（相对介电常数），电荷所在介质的介电常一、库仑定理：静电场基本定理电介质极化第一章、恒定电场下的mN/C,/1085. 8FFrr4qqF. 112222120211220211任何一电荷系统的周围均有库伦力的作用，电荷库仑力能影响的区域称为电场。iiii20EEFFrr4qE/qFE叠加原理：库仑力和电场强度满足即：库仑牛顿量纲二、电场和电场强度二、电场和电场强度jm1j2jjzzzyzxyzyyyxxzxyxx20rrq41Dm/ED个点电荷产生的电场：对于由对各向异性介质：米库量纲三、电位移（电感应强度）四、高斯定理 设点电荷q被任意封闭面所包围，在

2、S面上任意一点的电位移D的大小将等于q/4r2，其方向将与q所在点至该点的径向量相同。于是穿过单元面积dS的电位移通量d为：dV)z,y,x(dSD)z,y,x(Sqmqd4qdSr4cosqdqdSr/cosdSdScosr4qdSDdVSm1jjSS222，则：分布电荷密度为中的电荷为分布电荷，如封闭面个点电荷的体系：对有：量移通通过此封闭面的总电位。于是点所对应的立体角在正是面积元SqidSdDD例zkyjxis NabblaUGradUEr4dVdEUorr4qUPq,q,qdEdEUUBABAV0pPm1jj0jPm21BAABBA点的电位为：）体系中，在多电荷（电位差，即：两点间的

3、、的功称为（电场）对该电荷所作，移动至另一点一点电位正电荷从电场中的xyzIIIyDdyyDDyyszyxyyyyyyysdDdzdydxzDyDxDdzdydxyDdzdxdyyDDdzdxDIIIdzdxdyyDDII,dzdxDIdzdydxdV为：六个面的总电位移通量为：总共穿出的电位移通量面和表，于是由表面：穿出的电位移通量则为由表面的电位移通量为：穿出的表面在单元体积0U0) z, y, x() z, y, x(U) z, y, x(zUyUxUzUEEDyUEEDxUEED) z, y, x(zDyDxDD) z, y, x(dV2020222222zz0zyy0yxx0 xzy

4、x时，则为拉普拉斯方程当即：泊松方程，则由高斯定理：内的电荷密度为如单元体积sinsinr1sinr1rrrr1zr1rr1rzyx22222222222222222222222注：常用边界条件：在导体与电介质的界面上，由于导体表面是一等电位面，电场强度，电位移必须与导体表面垂直；在两种不同的介质界面上，且当界面上没有电荷集聚时，电位移向量的垂直界面的分量应当连续，即：D1n=D2n 或 E1n/E2n=2/1另一方面，由于电场为保守场，电场强度在两个不同介质的交界面上的切线分量应当连续，即E1t=E2t。介质1介质212N1E2E212122201110tantancosEcosE所在点的径

5、向量。电荷为定点（参考点）至点式中）德拜（米（量纲：库极矩定义为：荷的系统中，系统的电个点电矩是一向量。在所在点的径向量，电极为定点至电荷，义为的电极矩（或电矩）定对某一定点（参考点）点电荷jj29jm1jjqrD103)mcrqmqrrqqq参考点rjjjjjjjqr) rr (qr0q为：化量时，系统的总电极矩变当参考点移动的位置无关。极矩与参考点）的系统，该系统的电对于总电荷量等于零（rjrxyz+Q-QnrprnprrQrQrQrqnpjjj对如图所示系统：理想偶极矩或点偶极矩的概念理想偶极矩或点偶极矩的概念：r+q-qO处的电势为条件的参考点位于点，满足设一点电荷的个别现象偶极矩的概

6、念是极矩中i0iQ41)M(UaQA（QI）MOar 1)COS2(COS214QMU1r /aOAOM2OAOMAM220i22221和则：令：而极子的电势的点的四极子电势点的电势点偶极子的电势点的单极子在其中：写成：从物理意义考虑，可将勒让德函数展开利用nniiiiiinnnnnnniOUOraQUOAQraQUQOrQUUUUUUMUMUddnPPrQMUxn221cos234cos44)()(1coscos!21coscos41123022201002421020021任何一电荷系统（如分子中的电荷），在该电荷组足够远的某一点M来看，可看成是点多极子的电势叠加。即：一个单极子Q0（标量

7、）；一个点偶极子 （矢量）；一个点四极子（二阶张量）；一个点2n极子（ 2n阶张量）。例例 试求位于正方体的六个面心上六个理想偶极子在立试求位于正方体的六个面心上六个理想偶极子在立方体中心产生的电场强度。方体中心产生的电场强度。答案轴平行。，方向与有偶极矩的大小等于为正六面体的边长，所标分别为，六个理想偶极矩的坐以正六面体中心为原点解：za2)0 , 0 , a (m)0 , 0 , a(m)0 , a, 0(m)0 , a, 0(m)a, 0 , 0(m)a, 0 , 0(m654321电介质的极化和极化强度电介质的极化和极化强度极化的定义极化的定义：在电场的作用下，电介质内部沿电场方向感应

8、出偶极矩，即在电介质表面出现束缚电荷的物理现象。极化强度极化强度：极化强度定义为电介质单位体积内电偶极矩的向量和，即量纲：库/米2 C/m2极化强度是表征电介质在电场作用下极化程度的向量。电介质在电场作用下，一方面感应出偶极矩，另一方面在电介质表面感应出束缚电荷。表面感应束缚电荷的大小亦表征了电介质在电场作用下极化的程度，因此，极化强度p与感应出的表面束缚电荷应存在一定的关系。-EnSVnpcospcosSVSVp故：而：则：、荷密度分别为如图所示的表面束缚电电介质极化的宏观、微观概念AQUQCQ. 100000则：电荷为器，在真空下极板上的对如图所示的平板电容极化的宏观概念+ +-+ +-0

9、000000EDA2A2EA2EdAEdAD即则：由高斯定理：1Ep1EEE0000故E1pnE1nEnEnEnD0000000+ +-极化强度的宏观式极化的微观概念极化的微观概念：在电场作用下，虽然正电荷沿电场方向移动，负电荷逆电场方向移动，但它们并不能离开介质形成电流，只能产生微观尺度的相对位移出现偶极矩，这个现象叫做极化。E中性介质离子型介质极性介质宏观、微观极化的关系宏观、微观极化的关系如设N为单位体积内的偶极矩数，且把每个偶极矩看成相等，令其为Np则：因：Vpii有效电场 实际上引起电介质中粒子产生感应电极矩的电场，称为有效电场iE显然：iE由此：微观极化宏观极化宏观、微观联系式宏观

10、、微观联系式对电介质极化的研究：对电介质极化的研究：提高电介质介电常数：提高电介质介电常数：克劳修斯方程克劳修斯方程极化率（极化率（Polarizability) 分子的极化及极化率：根据参加极化的微观粒子的种类，电介质的根据参加极化的微观粒子的种类，电介质的分子极化可分为三类：电子位移极化；离子分子极化可分为三类：电子位移极化；离子位移极化；偶极矩转向极化。位移极化；偶极矩转向极化。EE电子位移极化电子位移极化率定义：在外电场作用下，构成原子外围的电子云相对在外电场作用下，构成原子外围的电子云相对于原子核发生位移，这种极化称为电子位移极化（电于原子核发生位移，这种极化称为电子位移极化（电子极

11、化），其极化率称为电子位移极化率子极化），其极化率称为电子位移极化率 e.e.。在外电场作用下，电子云相对原子核的位移是弹性联系，其振动频率在光频范围，所以电子极化又称光极化，极化建立和消除的时间极短，约10-1510-16s。电子位移极化率e电子位移极化的量子力学模型： 我们考虑一个由带正电的核和围绕核的Z个电子所组成的原子体系。且整个体系是完全孤立的，即，体系不受任何扰动。dexMMUUMEUUUUUUUUUUUU0kZi1ii0jjk0k0jjk0j0kjk20jjkj3210k0j030201矩阵元，为：之间所有未微扰电子的和是在波函数式中，二级微扰理论求解：被电场扰动的能级可用，为：

12、则上面的量子化能级变作用。则该体系受到电场微扰如果体系处在电场中，体系的能级为：k010kk1e2e011011k010kk12011UUM2E21UUUUUUMEUU:故：修正：被电场所形成的位能的即是由经典理论，如只考虑基态矩阵元的计算是相当的复杂，每个元都包含诸波函数的乘积，而这些波函数仅在很有限的几种情况下才能求得解。电子极化率求解的简化模型1. 原子电子云模型 一个原子可以看作是一个电荷为+Q的正电核和周围均匀分布、半径为R、介电常数为0的球状电子云组成。-QQdRE30e3030220213332021R4ER4dQR4dQd4qQEQFFR34d34QqQRdqd4qQFEQFd

13、0E因此：即：平衡建立后：而：的库仑力为：核移动后，受到电子云使核移动的电场力为：点，核沿电场方向移动，以电子云中心为参考当2.圆周轨道模型 我们用玻尔原子模型来考虑被研究原子。即，一个电电荷-Q沿着环绕电荷为+Q的原子核作轨道运行。oEoAMdFE=QEFEFRRFEoAMdFE=QEFEFRRF3.介质球模型 如图，把原子看成是一介电常数为的介质球。Rr为点偶极矩，点看，原子极化球可视从R20r4U即：30e00030e0030R42R4E2R4即：电子位移极化结论电子位移极化结论同族元素：e由上到下增大，因：外层电子数增加，原子半径R增大；同周期元素：不定，因：外层电子数虽然增加，但轨道

14、半径可能减小；离子的电子位移极化率的变化规律与原子大致相同。离子半径大，极化率大；实测电子位移极化率与理论结果仍有差别，但研究发现，e/40R3值大，对极化贡献大，如：Pb2+、O2-；表电子位移极化率与温度无关，因为，R与T无关；极化率为快极化：10-15 10-16s，在第二章解释该极化无损耗。在光频下，只有电子极化，介质的光折射率为：为光频下的介电常数原子或离子实测电子极化率e10-40Fm2原子半径a 10-10me/40a3B0.0220.261.14Ag2.051.131.28Pb4.801.321.89Hg2.211.121.41C0.0130.201.50O3.0691.321

15、.20S6.551.741.12Zr0.890.871.21Cu2.011.001.81水分子的偶极矩O2-H+H+104H+R解答O2-H+H+2H+REE2E121e水分子的偶极矩等于：6.110-30库米，为强极性分子。同样分子结构的CO2则为非极性分子（因它的键角为180）。离子位移极化和极化率离子位移极化和极化率离子晶体的介电常数值比n2值大的多，如n2KCl2.134.68TiO27.3110-114CaF21.998.43因此，必然存在电子极化外的其他极化机制。离子位移极化离子位移极化：离子晶体中正、负离子发生相对位移而形成的极化，称为离子（位移）极化(Ionic polariz

16、ation)。极化率用i表示。r-q+qEK=?K值的求解值的求解.根据正、负离子对的固有谐振频率用实验方法求解值。2121202212121000021mmmm4Kmmmmmm1m1m1mmK2mm为离子对的折合质量：为：和固有谐振频率谐振角频率，其固有和别为设正、负离子的质量分212221220i0210021221220220110MMC4MMqNKqNMMCNMMMMC4KNMmNMmC为阿佛加德罗常数。，为正、负离子的原子量分别与的波长；为对应于谐振频率为光速；式中则：，学的关系：利用波动力学及物理化式中可由吸收光谱测得，其它参数为已知常数。（）rOar库仑引力势能电子云斥力势能.势

17、阱法求解值设（）和（）分别为正、负离子位移前后的互作用能量。则：2r0r0) r(K21rdrKrdF) r (u) rr (unaqb0r) r (uruarr4br4q) r (u) r() rr (uK1n2arn0020r22由此）有极小值，即：（时，当叠加。即：电子云间的排斥势能的周围引力势能和正负离子核而势阱的势能是有库仑即：式中为晶体离子间电子云排斥能指数，可由实验确定，一般晶体的值在之间。1na4Kqa4q) 1n(aq) 1n(aq241) ra (4aq) 1n() ra (4q2) r() ra (uKnr4aqr4q) r (ub302i302323200r2n01n2

18、3020r22n01n202代入，得：将一维计算：三维计算：离子位移极化结论离子位移极化结论离子位移极化率与电子位移极化率几乎有相同的数量级，均在40（10-10）310-40法米2数量级；离子位移极化只可能在离子晶体中存在，液体或气体介质中不存在离子极化；离子位移极化只与离子晶体结构参数有关，与温度无关；离子位移极化建立或消除时间与离子晶格振动周期有相同数量级，10-1210-13秒。偶极子转向极化和极化率偶极子转向极化和极化率当极性分子受外电场作用时，偶极子就会产生转矩，由于偶极子与电场方向相同时具有最小位能，于是就电介质整体来看，偶极矩不再等于零，而出现沿电场方向的宏观偶极矩，这种极化现

19、象称为偶极子转向极化。极化建立时间：10-610-2秒，为慢极化开焦耳玻尔滋蔓常数米库极性分子固有偶极矩/1038. 1k1023300 d的求解的求解极化和极化率总结极化和极化率总结根据电介质分子参与极化运动的种类，把极化分成三类：电子位移极化e；离子位移极化i；偶极矩转向极化d。电介质的总极化为： = e+i +d热离子极化热离子极化热离子极化（离子松弛极化）为慢极化，建立时间约为10-210-6秒洛仑兹（洛仑兹（Lorentz）有效电场计算模型有效电场计算模型r+-E2E1AEyAxzddS洛仑兹电场洛仑兹电场E2=？克劳修斯方程克劳修斯方程式中：式中：M为介质千克分子量（千克为介质千克

20、分子量（千克/千克分千克分子）；子）； 为密度（千克为密度（千克/米米3）；）；N0为阿佛迦德为阿佛迦德罗常数罗常数=6.023 1026（1/千克分子）或千克分子）或= 6.023 1023（1/摩尔）。摩尔）。克劳修斯-莫索缔（Clausius-Mosotti）方程（简称克-莫方程）应用于光频作用下的电介质时，光在电介质中（相对于真空）的折射率n等于：2mmmn1n于是：一般的电介质电介质的磁导率，对于光频下的介电常数光在介质中的速度光在真空中的速度气体电介质的介电常数气体电介质的介电常数 气体是各向同性的，在压力不太大的条件下，分子之间间距很大，相互作用很小，在常温下，分子作布朗运动，分

21、子在空间各点出现的几率相同。因此，气体电介质适用克-莫方程。一、非极性气体结构特征单原子、相同原子的双原子气体及有对称结构的多原子气体。主要极化电子位移极化。00025. 1N13N13N21m10687. 2NmmHg760PK274TkkNTPmF1011156. 1104R40e0e0e32524010030e）（时，有：，当为玻尔兹曼常数）（）（非极性气体介质极性液体中极性液体：0.5D0 1.5D极化形式：电子位移极化、偶极子转向极化，并已偶极子转向极化为主。因极性液体分子的间距相对液体来说小得多，其分子间的相互作用很强烈，E20，不适用克-莫方程。电场作用在偶极矩上的有效化率极性分

22、子的电子位移极极性分子固有偶极矩表示。理想偶极矩偶极矩用位于球心上的的小球，分子的成一半径为极性液体极性分子可看，）（分子模型假设：ie0ie03EaE1Na34.1Onsager. 1ieE0GRiE30R202RRa121241RRa4ar0r时，有限，当方程整理后可得电子位移极化率方程Onsagera43NE2n1nN3Onsager. 33ie0220e)2)(n2()2n(kT3N2n1n212220022eNnnnnkTNnkTNnOnsager022200222020202321210229123311. 4时，当）（时，当时，当理论的讨论对介电常数在10以上的离子晶体，具有电子

23、位移极化和离子位移极化。由于晶体的结构Ei很大如：TiO2，金红石，=7.3，=173 SnO，金红石结构， =4.7，=24 PbO2，金红石结构， =6.75，=26xyzETi4+O2-一、内电场的计算（斯卡娜维法）有洛仑兹假设：Ei=E+P/30+E 5j2j2j0jj1jjjjrrz34EzyxjE为：在原点产生的电场强度）的离子感应偶极矩，（任意一点构为例。对如图所示的金红石结？求5220z30202102010rrz34zEr4zqdr /zsincosr4cosdqr1r14qr4qr4q)z, y, x( ,r1r2rxyzO121122222212211111N1j252j

24、2j2j2j2j2j2j012N1j252j2j2j2j2j2j2j011N1jN1j252j2j2j2j2j2j2j022252j2j2j2j2j2j2j01112211252j2j2j2j2j2j2jN1j0j1ECECEECECE)zyx()zyx(z341C)zyx()zyx(z341C)zyx()zyx(z34E)zyx()zyx(z34EEEE)zyx()zyx(z34E2112 同样：则：令：则：率为，离子的电子位移极化第二种离子上的电场为率为，离子的电子位移极化第一种离子上的电场为设：二、介电常数高的原因4 .1123213 . 79 . 61045. 310262. 0103

25、 .16107 .33108 .101072. 012321122321. 121024022401103211031210322103112221112102211211221222111112121221221210）（莫方程：克实测值：计算值：）（）；（；忽略二次项）（）（）（只考虑电子位移极化NmFmFaCaCaCaCCCNCCCCCCCCCCN21i222111i2102300iCCC123N21mF104. 2）（子位移极化考虑电子位移极化和离计算值：170；实测值：173: 在没有外电场的作用时，晶体内部某些区域的正、负电荷中心不重合而呈现电偶极矩，这种现象称为自发极化。铁电体：

26、具有自发极化的电介质称为。铁电体的特征：具有高的介电常数，几百几万；介电常数与电场强度大小有关；PE的关系为电滞回线（Hysteresis curve)oEP矫顽电场Ec自发极化Ps具有宏观偶极矩的区域称为“电畴”。在初始状态，就铁电体整体而言，对外界将不呈现电荷和极化状态（相当与回线的O点）。l电子技术l红外探测技术l超声（和微波声学）技术l固态记忆按微观结构，铁电体可分为偶极矩有序型和离子位移型两类。：晶体内含有能够旋转或反转的固有偶极矩，在居里温度以下，由于强烈的内电场作用，这些偶极子形成长程有序，因而出现自发极化“电畴”。如KH2PO4。：晶体内部的离子，在居里温度以下的温度内，由于强

27、烈的离子位移引起晶体的对称性降低，而形成自发极化的电介质，如BaTiO3。在低温时，铁电体中的偶极矩借助于相互作用而有序在低温时，铁电体中的偶极矩借助于相互作用而有序排列排列当温度升高，有序排列被热运动扰动，自发极化随温当温度升高，有序排列被热运动扰动，自发极化随温度的升高而减小，当温度达到某个临界温度时，有序度的升高而减小，当温度达到某个临界温度时，有序排列完全被破坏，自发极化消失，低温的铁电相转变排列完全被破坏，自发极化消失，低温的铁电相转变为高温的非铁电相为高温的非铁电相顺电相，这个温度叫顺电相，这个温度叫居里温度。居里温度。 最小稳定系统 GTCTExamples: Barium Strontium Titanate (BST)AOBBaO立方晶系四角晶系正交晶系三角