3李雅普诺夫稳定性ppt课件

1、3.1 李亚普诺夫第二法的概述李亚普诺夫第二法的概述3.2 李亚普诺夫意义下的稳定性李亚普诺夫意义下的稳定性3.3 李亚普诺夫稳定性定理李亚普诺夫稳定性定理3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析线性系统的李亚普诺夫稳定性分析3.1 李亚普诺夫第二法的概述李亚普诺夫第二法的概述一、物理基础一、物理基础1、稳定性：一个自动控制系统当受到外界干扰时，它、稳定性：一个自动控制系统当受到外界干扰时，它的平衡状态被破坏，但在外扰去掉后的平衡状态被破坏，但在外扰去掉后,它仍有能力自它仍有能力自动地在平衡状态状态下继续工作，系统的这种性能，动地在平衡状态状态下继续工作，系统的这种性能，称为稳定性。称为稳定性。

2、2、稳定系统：具有稳定性的系统称为稳定系统。反之、稳定系统：具有稳定性的系统称为稳定系统。反之为不稳定系统。为不稳定系统。3、系统稳定性的数学表示法、系统稳定性的数学表示法 系统在受外界干扰后，系统偏差量被调量偏系统在受外界干扰后，系统偏差量被调量偏离平衡位置的数值过渡过程的收敛性，用数学方法离平衡位置的数值过渡过程的收敛性，用数学方法表示为：表示为： )(limtxt 为系统被调量偏离其平衡位置的大小， 为 任意小的规定量。3、研究系统稳定性的方法 劳斯胡尔维茨稳定性判据 古典控制论： 乃奎斯特稳定性判据 第一种方法 现代控制论：李亚普诺夫稳定性 第二种方法 第一种方法：是解系统的微分方程式

3、，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，或根据特征方程根的情况来判据稳定性。第二种方法：建立在一个直观的物理事实上，如果一个系统第二种方法：建立在一个直观的物理事实上，如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即的某个平衡状态是渐近稳定的，即 那么随那么随着着 系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。 由于实际系统很难找到一个统一的，简便的用由于实际系统很难找到一个统一的，简便的用于完全描述上述过程的所谓能量函数。李氏认为在于完全描述上述过程的所谓能量函数。李氏认为在判断一个系统的稳

4、定性时，不一定非要得到系统的判断一个系统的稳定性时，不一定非要得到系统的真正能量函数，可以根据不同的系统虚真正能量函数，可以根据不同的系统虚 构一个广义构一个广义的能量函数，称为李亚普诺夫函数李氏函数）。的能量函数，称为李亚普诺夫函数李氏函数）。李氏函数能满足一定的条件，也就是根据它来判据李氏函数能满足一定的条件，也就是根据它来判据系统的稳定性。系统的稳定性。etXX lim李氏函数一般是状态分量 和时间 t 的标量函数，用 表示，若与t无关，可用 表示 。 在多数情况下， 常取二次型函数作为李氏函数。 即： 式中 P为实对称阵。二、二次型及其定号性1、二次型：定义：n个变量 的二次齐次多项式

5、为：nxxx,21),(txVPXXXVT)(nxxx,212nnn13n3n2n222221221n1n121122111n21xaxxaxxaxaxxaxxaxxaxa)x,x ,x (V)(xV)(xV称为二次型。式中 是二次的系数。 设 对称且均为实数。用矩阵表示二次型2、定号性1正定性：当且仅当 x=0时，才有 ；对任意 非零X，恒有 ，那么 为正定。), 2 , 1,(nkiaikkiikaaPXXxxxaaaaaaaaaxxxxVTnnnnnnnn21212222111211, 21,)(0)(xV0)(xV)(xV2负定性：当仅当负定性：当仅当X=0时，才有时，才有 ；对任意非

6、；对任意非零零X,恒有恒有 ，那么，那么 为负定。为负定。3正半定性和负半定性正半定性和负半定性 如果对任意如果对任意 ，恒有，恒有 , 则则V(X)为正为正半定或准正定。半定或准正定。 如果对任意如果对任意 ，恒有，恒有 , 则则V(X)为负半为负半定或准负定。定或准负定。4不定性不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域，如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为可为正值也可为负值，则正值也可为负值，则V(X)为不定。为不定。3、赛尔维斯特准则、赛尔维斯特准则1二次型二次型 或对称矩阵或对称矩阵P为正定的充为正定的充分分条件是条件是P的主子行列式均为正，即的主子行列式均为正，即0)(xV

7、0)(xV)(xV0 x0 x0)(xV0)(xVPXXXVT)( 假如 则P为正定，即V(X)正定。2二次型 或对称阵P为负定的充要条件 是P的主子行列式满足 ； （ i为偶数i=1，2，3，,n。nnnnnnaaaaaaaaaP212222111211PXXXVT)(为奇数）ii(00i0, 0, 0222112112111 Paaaaan3.2 李亚普诺夫意义下的稳定性李亚普诺夫意义下的稳定性一、平衡状态一、平衡状态系统一般描述：系统一般描述： X为为n维状态向量。维状态向量。平衡状态：当在任意时间都能满足平衡状态：当在任意时间都能满足 时，称时，称Xe为系统的平衡状态或平衡点。为系统的

8、平衡状态或平衡点。对于线性定常系统对于线性定常系统 A为非奇异时，为非奇异时，X=0是其唯一的平衡状态。是其唯一的平衡状态。 A为奇异时，系统有无穷多个平衡状态。为奇异时，系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。对任意对任意 ，总可引入一个新状态，经过一定的坐，总可引入一个新状态，经过一定的坐标变换，把它化到坐标原点即零状态）。标变换，把它化到坐标原点即零状态）。),(tXfX 0),(tXfXeeAXtXfX),(0Xe 孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。稳定性问

9、题：是指系统的状态解常称“运动”）是否能趋于平衡状态解的问题，若系统的状态解能回复到平衡状态则称此系统是稳定的。如果系统的状态解虽然不能最终回复到平衡状态，而是在平衡状态某个邻域内呈现自激震荡，而这种震荡又为实际系统所允许，那么也应把这种系统称为稳定的，反之为不稳定的。二、李亚普诺夫意义下的稳定 系统状态方程为 )(),(tutxfX 设u( t )=0，且系统的平衡状态为Xe， 。有扰动使系统在 时的状态为 ，产生初始偏差 那么 后，系统的运动状态从 开始随时间发生变化。 表示初始偏差都在以 为半径，以平衡状态 Xe为中心的闭环域 里。其中 表示平衡状态偏差都在以 为半径，以平衡状态 Xe为

10、中心的闭环域 里 0)(tXfe0tt 0XeXX00tt 0XeXX0)(S)(00ttXXe )(S 范范数数 2120222021100)()()(neneeexxxxxxXX1、稳定性定义： 1稳定与一致稳定 设Xe为动力学系统 的一个孤立平衡状态。如果对球域 或任意正实数 ，都可以找到另一个正实数 或球域 ，当初始状态 满足 时，对由此出发的X的运动轨迹有 ， 则此系统为李亚普诺夫意义下的稳定。假如 与初始时刻 无关，则称平衡状态为一致稳定。),(tXfX 0)(S),(0t)(S0X),(00tXXeetXX0lim0t2渐近稳定和一致渐近稳定渐近稳定和一致渐近稳定 设设Xe为动力

11、学系统为动力学系统 的孤立平衡的孤立平衡状态，如果它是稳定的，且从充分靠近状态，如果它是稳定的，且从充分靠近Xe的任一初的任一初始状态始状态 出发的运动轨迹出发的运动轨迹 有有 或或 即收敛于平衡状态即收敛于平衡状态Xe，则称平衡状态则称平衡状态Xe为渐近稳定。假如为渐近稳定。假如 与初始时刻与初始时刻 无关，则称平衡状态无关，则称平衡状态Xe为一致渐近稳定。为一致渐近稳定。3大范围渐近稳定大范围渐近稳定 如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性，即都有渐近稳定特性，即 对所有点都成立，称平衡状态对所有点都成立，称平衡状态Xe为大

12、范围渐近稳定为大范围渐近稳定的，如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是的，如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大大),(tXfX 0X0lim etXX), 2 , 1( , 0)(limniXXieit 0t), 2 , 1( , 0)(limniXXieit 范围渐近稳定的。4不稳定 如果平衡状态Xe即不是渐近稳定的，也不是稳定的，当 并无限增大时，从 出发的运动轨迹最终超越 域，则称平衡状态Xe是不稳定的。0tt 0X)(S 3.3 李亚普诺夫稳定性定理定理定理1：设系统的状态方程为：设系统的状态方程为 式中式中 ， 如果有连续一阶偏导如果有连续一阶偏导数的标量函数数的标量函数 存

13、在，并且满足以下条件：存在，并且满足以下条件： 是正定的。是正定的。 是负定的。是负定的。 则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着着 ，有，有 ，则原点处，则原点处 的平衡状态是大范围内渐近稳定的。的平衡状态是大范围内渐近稳定的。例例3.1设系统方程为设系统方程为),(tXfX )( ,0),0(0tttf ),(tXV),(tXV),(tXV),(tXVX)()(22212122221121xxxxxxxxxx 试确定其平衡状态的稳定性。解：1平衡状态 求 解 ，得 是给定系统唯一的平衡状态。 2选取李氏函数 选 显然 正定的 所以系统在原点处的平

14、衡状态是渐近稳定的。0),( txf0, 021 xx2221),(xxtXV 0),(2221 xxtXV 负负定定的的0)(2)(2)(222),(22221222121222211212211 xxxxxxxxxxxxxxxxtXV0, 021 xx又 即 X 212221xx有有 2221),(xxtXV则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。定理定理2：设系统的状态方程为：设系统的状态方程为 式中：式中： ，如果存在一标量函数，如果存在一标量函数 ，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件：件： 是正定的；是

15、正定的； 是负半定的；是负半定的； 对任意对任意 和任意和任意 ，在在 时不恒等于零。时不恒等于零。 则在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的。则在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果还有如果还有 时，时， 则为大范围渐近则为大范围渐近),(tXfX )( , 0), 0(0tttf ),(tXV),(tXV),(tXV ttXtV),(000t0 x0tt X),(tXV 稳定的。 式中 ,表示 时，从 出发的解轨迹。例3.2 设系统方程为 确定系统平衡状态的稳定性解：1求平衡状态 原点0,0为给定系统唯一的平衡状态。 2选李氏函数，选),(00tXt0tt 0 x000022212xxxxx

16、21221xxxxx 当 负半定讨论： 的定号性，即是否恒为零.假如 恒为零，势必 时， 恒为零，而 恒为零又必要 恒为零。 而又 不可能恒为零。正定正定除除)0(0),(2221 XxxtXV222211222),(xxxxxtXV 0),(0, 021 tXVxx时时，0),(0, 021 tXVxx时时，),(tXV),(0, 021tXVxx时时， 222),(xtXV 0tt 22x22x2x 212xxx 00, 0221 xxx时，时，当当2x0) t , x(V, 0 x, 021x因此有 不可能恒为零 系统原点处的平衡状态是渐近稳定的。 又由于 ，有 是大范围渐近稳定。若选

17、正定。 负定。而 , 系统在平衡状态0，0是大范围渐近稳定。定理3：设系统方程为式中 ，如果存在一个标量函数V(x,t),它 222),(xtXV X),(tXV 02)(),(22212222121 xxxxtXV)(),(2221xxtXV X),(tXV),(tXfX )( , 0), 0(0tttf 具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件 是正定的； 时负半定的，但在某一 x 值恒为零。 则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定 义下 稳定的，但非渐近稳定，这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。例3.3 系统方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。解： 原点为平衡状态，选取李氏函数 ),

18、(tXV),(tXV1221xxKxx 在任意x 值上均可保持为零，则系统在原点处是李亚普诺夫意义下的稳定，但不是渐近稳定的。定理4：设系统状态方程为式中 . 如果存在一个标量函数V(x,t),它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件 在原点的某一领域内是正定的， 在同样的领域内是正定的， 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。 02222),()(),(212122112221 xKxxKxxKxxxtXVKxxtXV),(tXV),(tXfX )( , 0), 0(0tttf ),(tXV),(tXV一、线性定常系统的稳定性分析：一、线性定常系统的稳定性分析： 分析：设线性定常系统为分析：设线

19、性定常系统为 式中：式中： xn维状态向量，维状态向量， 常系数距阵，常系数距阵，假设为非奇异，判定系统稳定性。主要取决自假设为非奇异，判定系统稳定性。主要取决自 由响应。由响应。 平衡状态，由方程知平衡状态，由方程知,x=0，(原点）原点） 对对1式确定的系统，若选如下正定无限大式确定的系统，若选如下正定无限大V函数函数 P正定赫米特距阵复空间内正定赫米特距阵复空间内=次型，如次型，如A是一个实是一个实向量，则可取正定实对称距阵）向量，则可取正定实对称距阵） 3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析线性系统的李亚普诺夫稳定性分析)1(AXX nnAPXX)X(VT的导数为如果系统为大范围渐进稳

20、定。则要求 负定。)(XVXPAPAXPAXXPXAXPAXXPXAXXPXPXXXVTTTTTTTTT)()()()(XV即QXXXVT )(为负定式中)2(PAPAQT 2.问题：在已知问题：在已知P是正定条件下，是正定条件下， 寻找满足寻找满足(2)式条件的式条件的 赫米特矩阵或实对称矩阵赫米特矩阵或实对称矩阵Q是正定的，那是正定的，那么么 系统系统1在原点处的平衡点，是大范围渐近在原点处的平衡点，是大范围渐近稳稳 定的。定的。3.定理定理:设系统状态方程为设系统状态方程为 式中式中, x 是是n 维状态向量，维状态向量，A是是 常系常系数矩阵数矩阵,且是非奇异。若给定一个正定的赫米且是

21、非奇异。若给定一个正定的赫米特矩阵特矩阵(包括实对称矩阵包括实对称矩阵) Q ，存在一个正定，存在一个正定的赫米特矩阵的赫米特矩阵(或实对称矩阵或实对称矩阵)P,使得满足如使得满足如下矩阵方程下矩阵方程 则系统在则系统在x=0处的平衡状态是大范围渐近稳处的平衡状态是大范围渐近稳定的定的.而标量函数而标量函数 就是李氏函数就是李氏函数.4.几点讨论几点讨论AXX nnQPAPATPXXT 1假如 沿任意一条轨迹不恒等于零, 那么 Q可 取做半正定数. 2该定理阐述的条件，是充分且必要的。 3因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终 判断结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取 这样线性系统 平衡

22、状态X=0为渐近的充分条件为：存在一个正定对称矩阵P，满足 矩阵方程5、特征值稳定性判据 对于线性定常系统有： PXXxVT)(IQ AXX IPAPAT0)(,00tXtXAXX（1系统的每一平衡状态是在李亚普诺夫意义下稳定系统的每一平衡状态是在李亚普诺夫意义下稳定 的充分必要条件为的充分必要条件为A的所有特征值均具有非正的所有特征值均具有非正负或零实部，且具有零实部的特征值为负或零实部，且具有零实部的特征值为A的最小的最小多项式的单根。多项式的单根。（2系统的唯一平衡状态系统的唯一平衡状态Xe=0是渐近稳定的充分必要是渐近稳定的充分必要 条件为：条件为：A的所有特征值均具有负实部。的所有特

23、征值均具有负实部。例：设系统的状态方程为例：设系统的状态方程为 显然，坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定显然，坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定系统在这一平衡状态下的渐近稳定性条件，并求出系统在这一平衡状态下的渐近稳定性条件，并求出系统的李亚普诺夫函数。系统的李亚普诺夫函数。212221121121xxaaaaxx 解：设系统李亚普诺夫函数为 P由下式决定 取 得：PXX)x(VTQPAPATIQ 100122211211222112112221121122122111aaaappppppppaaaa展开得： 解上式： 1)(20)(1)(2222212122122121122111222

24、121111apapapapaapapapATrAaaAATrAaaaaATrAaaaaATrAaaAppppP2222212211112122121121221222222122211211渐近稳定条件：即：002212221111ppppp 0)(4)()(020)2()()2()(022221122221122222122112122122212211222221222221ATrAaaaaATrAaaAATrAaaaaATrAaaAaaAATrAaaA满足此不等式，必须有故上述系统在原点处是渐近稳定的充分条件为又此系统为线性定常系统，若此系统为在原点处渐近稳定，必为大范围内渐近稳定。0

25、0211222112211aaaaAaa00211222112211aaaaaa例：已知线性定常系统例：已知线性定常系统 试用李亚普诺夫第二法分析系统的稳定性。试用李亚普诺夫第二法分析系统的稳定性。解：解：1平衡状态平衡状态 ：X=0是系统唯一的平衡状态。是系统唯一的平衡状态。 令令 代入代入 21216321xxxx2212121122211211ppppppppPIPAPAT 由此导出： 故得1001632162312212121122121211pppppppp 1124037216222112212111211ppppppp168175635635619P 判据P的正定性故 P 是正定

26、的。 根据定理可知系统的平衡状态X=0是渐近稳定的李氏函数：00356305569168175619211212112561911122 pppppp)171857()(22212118612116817563563561921xxxxxxxxPXXXVT 显然 系统在X=0平衡状态是渐近稳定的。二、线性时变系统的稳定性分析定理：若系统 的矩阵A是 t 的函数即时变函数），则系统在平衡点Xe=0处是大范围内渐近 稳定的充要条件为：对于任意给定连续对称正定矩阵Q(t),存在一个连续对称正定矩阵P(t),使得时时）时时）0(0)(0(0)()(0)(22219384 XXVXxxXVXV)()(t

27、XtAX )()()()()()(tQtAtPtPtAtPT而系统的李亚普诺夫函数是证明：设李亚普诺夫函数是)()()(),(tXtPtXtXVT)()()(),(tXtPtXtXVT则P(t)必是正定且对称矩阵，其)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()( )()()()()()()(tXtQtXtXtAtPtPtPtAtXtXtAtPtXtXtPtXtXtPtAtXtXtPtXtXtPtXtXtPtXtXtPtXtXtPtXtVTTTTTTTTTTTT )1()()()()()()(tAtPtPtPtAtQT 式中由定理可知，当P是正定对称矩阵时，若Q也是一个正定对称矩阵，那么 是负定的，系统便是渐近稳定的。),(tXV式1解为 ttTTdtQttttPtttP0),()(),(),()(),()(000式中， 是系统 的状态转移矩