量子力学第五章-全同粒子

1、（一）全同粒子和全同性原理（一）全同粒子和全同性原理 （二）波函数的对称性质（二）波函数的对称性质 （三）波函数对称性的不随时间变化（三）波函数对称性的不随时间变化 （四）（四）Fermi Fermi 子和子和 Bose Bose 子子第五章第五章 全同粒子的特性全同粒子的特性（1 1）全同粒子）全同粒子质量质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。（2 2）经典粒子的可区分性）经典粒子的可区分性 经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时

2、刻都有确定的因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有确定的位置和速度。位置和速度。轨轨道道速速度度位位置置 可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子。可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子。1212（一）全同粒子和全同性原理（一）全同粒子和全同性原理（3 3）微观粒子的不可区分性）微观粒子的不可区分性微观粒子运动微观粒子运动服从服从量子力学量子力学用用波函数描写波函数描写在波函数重叠区在波函数重叠区 粒子是不可区分的粒子是不可区分的（4 4）基本假设）基本假设5 5：全同性原理：全同性原理 全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相交换不引起体全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相交换不

3、引起体系物理状态的改变。系物理状态的改变。全同性原理是量子力学的基本原理之一。全同性原理是量子力学的基本原理之一。（1 1）Hamilton Hamilton 算符的对称性算符的对称性 N N 个全同粒子组成的体系，其个全同粒子组成的体系，其Hamilton Hamilton 量为：量为：个个粒粒子子的的坐坐标标和和自自旋旋。为为第第其其中中isrqqqVtqUtqqqqqHiiijiNjiiiNiNji,),(),(2),(22121 调换第调换第 i 和第和第 j 粒子，粒子， 体系体系 Hamilton 量不变。量不变。即：即：),(),(2121tqqqqqHtqqqqqHNjiNij

4、 表明，表明，N N 个全同粒子组成的体系的个全同粒子组成的体系的Hamilton Hamilton 量具有交换对称性，交量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标（换任意两个粒子坐标（q q i i , q , q j j ) ) 后不变。后不变。（二）波函数的对称性质（二）波函数的对称性质（2 2）对称和反对称波函数）对称和反对称波函数考虑全同粒子体系的含时考虑全同粒子体系的含时 Shrodinger 方程方程),(),(),(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNjiNjiNji 将方程中（将方程中（q q i i ,q ,q j j ) ) 调换，得：调换，得：),(),

5、(),(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNijNijNij 由于由于Hamilton 量对于（量对于（q i , q j ) 调换调换 不变不变),(),(2121tqqqqqtqqqqqHNijNji 表明：表明： （q q i i , q , q j j ) ) 调换前后的波函数都是调换前后的波函数都是Shrodinger Shrodinger 方程的解。方程的解。根据全同根据全同性原理：性原理： ),(),(2121tqqqqqtqqqqqNijNji描写同一状态。描写同一状态。因此，二者相差一常数因子。因此，二者相差一常数因子。),(),(2121tqqqqqtq

6、qqqqNjiNij 再做一次（再做一次（q q i i , q , q j j ) ) 调换调换),(),(),(2122121tqqqqqtqqqqqtqqqqqNjiNijNji 112 所所以以),(),(12121tqqqqqtqqqqqNijNji 变变，即即二二粒粒子子互互换换后后波波函函数数不不 ),(),(12121tqqqqqtqqqqqNijNji 号号，即即二二粒粒子子互互换换后后波波函函数数变变 对称波函数对称波函数反对称波函数反对称波函数引入粒引入粒子坐标子坐标交换算交换算符符),(),(),(),(),(),(),(22jijijijijiijjiijijijij

7、ij 的的本本征征态态。本本征征值值反反对对称称波波函函数数是是的的本本征征态态；本本征征值值对对称称波波函函数数是是，所所以以111 ijij 全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的；初始时刻是反对称的，以后时刻永对称的，以后时刻永远是对称的；初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。远是反对称的。证证方法方法 I ：设全同粒子体系波函数设全同粒子体系波函数 s s 在在 t t 时刻是对称的，由体系时刻是对称的，由体系哈密顿量是对称的，所以哈密顿量是对称的，所以 H H s s 在在t

8、t 时刻也是对称的。时刻也是对称的。是是对对称称的的。中中式式右右的的方方程程是是一一样样的的，所所以以因因为为等等式式两两边边对对称称性性应应ssstHtiShrodinger 在在 t+dt t+dt 时刻，波函数变化为时刻，波函数变化为dttss 对称对称对称对称二对称波函二对称波函数之和仍是数之和仍是对称的对称的依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。同理可证：同理可证：t 时刻是反对称的波函数时刻是反对称的波函数 a ，在，在t 以后任何时刻都是反对称的。以后任何时刻都是反对称的。（三）波函数的交换对称性不随时间变化（三）波函数的交换对

9、称性不随时间变化方法方法 II： 变变。交交换换对对称称性性不不随随时时间间改改是是守守恒恒量量，即即ijijH 0,全同粒子体系哈全同粒子体系哈密顿量是对称的密顿量是对称的结论：结论： 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。则它将永远处于对称（或反对称）态上。 实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的

10、交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。（1）Bose 子子 自旋为自旋为 整数倍（整数倍（s = 0s = 0，1 1，2 2，) ) 的粒子，其多粒子波函数的粒子，其多粒子波函数对于交换对于交换 2 2 个粒子总是对称的，遵从个粒子总是对称的，遵从BoseBose统计，故称为统计，故称为 Bose Bose 子。子。如：如： 光子光子 （s =1s =1）；）； 介子介子 （s = 0s = 0）。）。（四）（四）Fermi Fermi 子和子和 Bose Bose 子子（2）Fermi 子子 自旋为自旋为 半奇数倍

11、（半奇数倍（s =1/2s =1/2，3/23/2，) ) 的粒子，其多粒子波函数的粒子，其多粒子波函数对于交换对于交换 2 2 个粒子总是反对称的，遵从个粒子总是反对称的，遵从Fermi Fermi 统计，故称为统计，故称为Fermi Fermi 子。子。例如：电子、质子、中子（例如：电子、质子、中子（ s =1/2s =1/2）等粒子。）等粒子。 （3）由）由“基本粒子基本粒子”组成的复杂粒子组成的复杂粒子 如：如： 粒子（氦核）或其他原子核。粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所讨论或过程中，内部状态保持不变，即内部自由度完如果在所讨论或过程中，内部状态保持不变，即内部自由度完全被冻结，则

12、全同概念仍然适用，可以作为一类全同粒子来处理。全被冻结，则全同概念仍然适用，可以作为一类全同粒子来处理。子子粒粒子子）是是（氘氘核核）和和例例如如：BoseHeH 242121偶数个偶数个 Fermi 子组成子组成Bose 子组成子组成子子是是（氚氚核核）和和例例如如：FermiHeH132131奇数个奇数个 Fermi子组成子组成奇数个奇数个 Fermi子组成子组成（一）（一）2 2 个全同粒子波函数个全同粒子波函数 （二）（二）N N 个全同粒子体系波函数个全同粒子体系波函数 （三）（三）Pauli Pauli 原理原理全同粒子体系波函数全同粒子体系波函数Pauli Pauli 原理原理（

13、1 1）对称和反对称波函数的构成）对称和反对称波函数的构成I. 2 个全同粒子体系个全同粒子体系Hamilton 量量)()()()(22201021222212qHqHqVqVH )()()()()222011100qqqHqqqHHiiiiii （设设其其不不显显含含时时间间，则则对对全全同同粒粒子子是是一一样样的的，II . 单粒子波函数单粒子波函数（一）（一）2 2 个全同粒子体系波函数个全同粒子体系波函数.)2 , 1(),(nqni称为单粒子波函数。称为单粒子波函数。III. 交换简并交换简并粒子粒子1 在在 i 态，粒子态，粒子2 在在 j 态，则体系能量和波函数为：态，则体系能

14、量和波函数为： )()(),2121qqqqEjiji （验证：验证：),),2121qqEqqH（ 粒子粒子2 在在 i 态，粒子态，粒子1 在在 j 态，则体系能量和波函数为：态，则体系能量和波函数为： )()(),1212qqqqEjiji （。故故称称该该简简并并为为交交换换简简并并互互换换得得到到，状状态态可可通通过过两两种种能能量量是是简简并并的的，由由于于这这（和和（状状态态211221),),qqqqqq )()()()(),)()(212010212010qqqHqHqqqHqHji （)()()()()()(22012110qqHqqqqHjiji )()()()(2121

15、qqqqjijjii )()()(21qqjiji ),21qqE（ IV. 满足对称条件波函数的构成满足对称条件波函数的构成 全同粒子体系波函数要满足对称性条件，而全同粒子体系波函数要满足对称性条件，而 (q (q1 1,q,q2 2) ) 和和 (q (q2 2,q,q1 1) ) 仅当仅当 i = j i = j 二态相同时，才是一个对称波函数；二态相同时，才是一个对称波函数； 当当 i i j j 二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。所以所以 (q (q1 1,q,q2 2) ) 和和 (q (q2 2,q,q1 1) )

16、 不能用来描写全同粒子体系。不能用来描写全同粒子体系。构造具有对称性的波函数：构造具有对称性的波函数：),),),),),),122121122121qqqqCqqqqqqCqqAS（ C 为归一化系数为归一化系数 显然显然 S S (q (q1 1,q,q2 2) ) 和和 A A (q (q1 1,q,q2 2) ) 都是都是 H H 的本征函数，本征值皆的本征函数，本征值皆为为 ：jiE V. S 和和 A 的归一化的归一化 若单粒子波函数是正交归一化的，若单粒子波函数是正交归一化的， 则则 (q1,q2) 和和 (q2 , q1) 也是正交归一化的。也是正交归一化的。证：证：1)()(

17、)()(),),222*111*21212*1*212121* dqqqdqqqdqdqqqqqdqdqqqqqjjiijiji （同理，同理，1),),211212* dqdqqqqq（0)()()()(),),222*111*21211*2*212112* dqqqdqqqdqdqqqqqdqdqqqqqjiijjiji （而而同理，同理，0),),211221* dqdqqqqq（证毕证毕首先首先证明证明21122112*21*221*),),),),1dqdqqqqqqqqqCdqdqSS（ 考虑考虑 S 和和 A 归一化归一化211212*1221*2112*2121*2),),),

18、),),),),),dqdqqqqqqqqqqqqqqqqqC（ 212100122 CCC则归一化的则归一化的 S S：),),21),122121qqqqqqS（ 同理，归一化的同理，归一化的 A A：),),21),122121qqqqqqA（ 上述讨论是适用于二粒子间无相互作用的情况，当粒子间有互作用时，上述讨论是适用于二粒子间无相互作用的情况，当粒子间有互作用时， )()(),)()(),12122121qqqqqqqqjiji （但是下式但是下式仍然成立仍然成立 ),),),),),),121221212121qqEqqqqHqqEqqqqH（),),21),122121qqqqq

19、qAS（ 归一化的归一化的 S A 依旧依旧因因H 的的对称性对称性（1）Shrodinger 方程的解方程的解 上述对上述对2 2个全同粒子的讨论可以推广到个全同粒子的讨论可以推广到N N个全同粒子体系，设粒子个全同粒子体系，设粒子间无互作用，单粒子间无互作用，单粒子H H0 0 不显含时间，则体系不显含时间，则体系)()()()(0102010nNnNqHqHqHqHH )()()()()()()022201110NkkNkNjjjiiiqqqHqqqHqqqH （ )()()(),(2121NkjiNkjiqqqqqqEEHShrodinger 其其解解为为：方方程程：体体系系单粒子本征

20、方程：单粒子本征方程：（二）（二）N N 个全同粒子体系波函数个全同粒子体系波函数（2）Bose 子体系和波函数对称化子体系和波函数对称化)()()21),),21),1221122121qqqqqqqqqqjijiS （ 2 2 个个Bose Bose 子体系，其对称化波函数是：子体系，其对称化波函数是：1，2 粒子在粒子在 i，j态中的排列态中的排列N N 个个Bose Bose 子体系，其对称化波函数可类推是：子体系，其对称化波函数可类推是：)()(),2121NkjipNSqqqpCqqq （ N 个个 粒子在粒子在 i，j k 态态中的排列中的排列归一化系数归一化系数对各种可能排列对

21、各种可能排列 p 求和求和!1NnCkk 归归一一化化系系数数：nk 是单粒子态是单粒子态 k 上的粒子数上的粒子数例例: N = 3 Bose 子体系子体系,，设有三个单粒子态分别记为，设有三个单粒子态分别记为 1 、 2 、 3 ，求：该体系对称化的波函数。求：该体系对称化的波函数。)()()()()()()()()()()()()61),233211331221132231231231133221332211321111qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqS（I。n1=n2=n3=1II。n1=3，n2=n3=0 n2=3，n1=n3=0 n3=3，n2=n1=0)()(),312

22、111321300qqqqqqS （ )()(),322212321030qqqqqqS （ )()(),332313321003qqqqqqS （ III。n1=2，n2=1，n3=0。)()()()()()()! 3! 0 ! 1 ! 2),122131223111322111321210qqqqqqqqqqqqS （ 另外还有另外还有 5 种可能的状态，分别是：种可能的状态，分别是：n1=1，n2=0，n3=2)()()()()()()! 3! 2! 0 ! 1),132331331321332311321102qqqqqqqqqqqqS （ n1=0，n2=1，n3=2)()()()(

23、)()()! 3! 2! 1 ! 0),132332331322332312321012qqqqqqqqqqqqS （ n1=0，n2=2，n3=1)()()()()()()! 3! 1 ! 2! 0),132232233212332212321021qqqqqqqqqqqqS （ n1=1，n2=2，n3=0)()()()()()()! 3! 0 ! 2! 1),122231321221322211321120qqqqqqqqqqqqS （ n1=2，n2=0，n3=1)()()()()()()! 3! 1 ! 0 ! 2),132131233111332111321201qqqqqqqqq

24、qqqS （ 附注：附注：关于重复组合问题关于重复组合问题从从m 个不同元素中每次取个不同元素中每次取 n 个元素（元素可重复选取）不管排列顺个元素（元素可重复选取）不管排列顺序构成一组称为重复组合，记为：序构成一组称为重复组合，记为： （m 可大于、等于或小于可大于、等于或小于n ）nmC)!1( !)!1(1 mnnmCCnnmnm重复组合与重复组合与通常组合不通常组合不同，其计算同，其计算公式为：公式为：通常组合计算公式：通常组合计算公式：)!( !nmnmCnm 重复组合计算公式表明：重复组合计算公式表明： 从从m个不同元素中每次取个不同元素中每次取n个元素的重复个元素的重复组合的种数

25、等于从（组合的种数等于从（m+n-1）个不同元素）个不同元素中每次取中每次取n个元素的普通组合的种数。个元素的普通组合的种数。应用重复组合，计算全应用重复组合，计算全同同Bose 子体系可能状子体系可能状态总数是很方便的。态总数是很方便的。如上例，求体系可能状态总数的问如上例，求体系可能状态总数的问题实质上就是一个从题实质上就是一个从 3 个状态中每个状态中每次取次取3 个状态的重复组合问题。个状态的重复组合问题。10)!35( !3!535313333 CCC（3）Fermi 子体系和波函数反对称化子体系和波函数反对称化2 2 个个Fermi Fermi 子体系，其反对称化波函数是：子体系，

26、其反对称化波函数是：)()()()(21),),21),2121122121qqqqqqqqqqjjiiA （行列式的性质保证行列式的性质保证了波函数反对称化了波函数反对称化推广到推广到N 个个Fermi 子体系：子体系：)()()()()()()()()(!1),21212121NkkkNjjjNiiiNAqqqqqqqqqNqqq （两点讨论：两点讨论： I. I.行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式，因而行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式，因而 A A 是是 本征方程本征方程 H H = E = E 的解的解. . II. II.交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列

27、对调，由行交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函数。此行列式列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函数。此行列式称为称为 Slater Slater 行列式。行列式。（1）二）二 Fermi 子体系子体系其反对称化波函数为：其反对称化波函数为：)()()()(21)()()21),2121122121qqqqqqqqqqjjiijijiA （若二粒子处于相同态，例如都处于若二粒子处于相同态，例如都处于 i 态，则态，则0)()()21),122121 qqqqqqiiiiA （)()()()(212121qqqqiiii 写成写成 S

28、later 行列式行列式两行相同，两行相同，行列式为行列式为 0（2）N Fermi 子体系子体系)()()()()()()()()(!1),21212121NkkkNjjjNiiiNAqqqqqqqqqNqqq （三）（三）Pauli Pauli 原理原理例题：设想两个无相互作用，处于无限深方势阱中的电子。如果一个电子处于n态，另一个处于l态，对n=l和nl两种情况构造体系的波函数。解：由于没有相互作用，体系的空间波函数可由单粒子波函数积构成解：由于没有相互作用，体系的空间波函数可由单粒子波函数积构成当当n l时，可构造对称和反称的空间波函数。时，可构造对称和反称的空间波函数。1212221

29、( , )( ) ( )( ) ( )2Snlnlx xxxxx对称空间波函数对称空间波函数1212221( , )( ) ( )( ) ( )2anlnlx xxxxx反称空间波函数反称空间波函数当当n=l时，仅能构造对称的空间波函数时，仅能构造对称的空间波函数1212( ,)()()snnx xxx1212( ,)( )()snnx xxx对称空间波函数对称空间波函数体系的自旋波函数可由单电子的自旋波函数构成自旋单态和自旋三态体系的自旋波函数可由单电子的自旋波函数构成自旋单态和自旋三态1111222212211()()()()2Azzzzssss反称自旋单态反称自旋单态1122111122

30、22112212212112()()1()()()()2()()zzszzzzzzssssssss对称三态对称三态电子是费米子，体系的完整波函数应该是反对称的，所以电子是费米子，体系的完整波函数应该是反对称的，所以当当n l时，体系的波函数为时，体系的波函数为12112212( ,)( ,)( ,)sAzzaSx xx sx sx x单态单态三态三态当当n=l时，体系的波函数为时，体系的波函数为112212( ,)( ,)zzsAx sx sx x单态单态nln ln=ln交换力 我们来求两个粒子坐标差平方的期待值我们来求两个粒子坐标差平方的期待值222121212()2xxxxx x可区分粒

31、子可区分粒子2222222111122111( )( )( )abaaxxxdxxdxxxdxx2222222211222222( )( )( )abbbxxdx xxdxxxdxx221 2111222( )( )ababxxxxdx xxdxxx所以所以22212()2abdabxxxxxx2.如果是全同粒子，必须用对称或反称的空间波函数，这时有如果是全同粒子，必须用对称或反称的空间波函数，这时有222221112211211( )( )( )( )22abababxxxxxxdxdxxx同样有同样有其中其中显然对全同粒子有：显然对全同粒子有：同可分辨粒子情况相比较同可分辨粒子情况相比较,

32、两者差别在最后一项两者差别在最后一项这告诉我们什么？和处于相同状态的可分辨粒子相比，全同粒子，如果空间波函数为对称的（取上面的+号项）将更趋向于相互靠近，而空间波函数为反称时（取下面的-号项）更趋向于相互远离。 全同粒子的波函数将会出现一些有趣的现象。整个系统好像受到外力的作用：对对称空间波函数，这个力是吸引力，把粒子拉近；对反称空间波函数，这个力是排斥力，让粒子相互远离。我们把这个力称为交换力，虽然事实上并不存在这样的一个力（因为并没有任何施力物存在并作用于粒子）；它仅仅是对称性要求导致的一个几何结果。它也是一个严格的量子力学的现象，在经典力学当中并没有对应。然而，它却导致了一些意义深远的结

33、果。 1. 共价键：两个电子的空间波函数是对称的，自旋波函数是反称的（自旋单态），所以交换力是把两个电子互相靠近。自旋单态是成键态。而自旋三态，由于空间波函数必是反称的，不利于成键。2.波色-爱因斯坦凝聚：波色子不受泡利不相容原理的限制，许多波色子可以处于相同的状态上（自旋一样，仅能构成对称自旋波函数）所以空间波函数也必须是对称的，这样交换力是波色子相互靠近，产生凝聚现象。元素周期表 对于原子质量更大的原子，一个原子中有很多电子。那么这样原子的基态是如何？或者说原子的基态电子组态（电子在个能级上是如何分布的，并且这种分布使体系的能量最低同时要满足泡利不相容原理）。在多电子体系中，严格的定态薛定

34、谔方程是很难得到的，但是与类氢原子一样，仍然存在类似单粒子的原子态（n, l, m）,我们称之为轨道，余下的问题就是如何把电子一次填充到轨道上。由于电子是费米子，因为受到泡利不相容原理的制约，一个轨道上只能有两个电子（一个自旋向上，一个自旋向下或者更精确地说，处于自旋单态）。所以，n=1这个壳层能容纳两个电子，n=2壳层能容纳8个，n=3容纳18个，即第n个壳层可以容纳2n2个电子。定性的看，周期表的每一横行将相应的填满每一个壳层（如果事实就是这样，周期表各行的长度将分别为2，8，18，32，50等，而不是2，8，8，18，18等；但马上我们就会看到电子间的排斥力作用是如何把多出来的情况给排除

35、掉的）。氦原子的n=1壳层是被填满的，所以下一个原子：锂原子（Z=3）不得不把一个原子放进n=2的壳层。对于n=2，可以有l=0或l=1；那么这第三个电子到底选择哪个l呢？在不考虑电子间相互作用时，两个l将具有相同的能量（因为它们的玻尔能量决定于n，而不是l）。但排斥力的存在将倾向于选择l较小的情况。因为角动量趋向于将电子向外抛出，电子越靠外面，它里面的电子对原子核的屏蔽效应就越明显（粗略而言，最内层电子可以感受到核子的有效电荷大小为Ze，而最外面的电子感受到的核子有效电荷很难大于e）。所以，在一个壳层内，能量最低的状态（也就是结合最紧的电子）是l=0的情况，当l增大时，能量也随之增大。正因为这个原因，锂原子的第三个电子态为（2，0，0）。再下一个原子（铍原子，Z=4），的第四个电子也将填入这个能态（取和第三个电子相反的自选方向），但对于接下来的Z=5的硼原子，它就不得不利用l=1的能态了。接下来，当进行到Z=10的氖原子时，n=2的壳层将被填满，下面