北师大版高中数学选修（1-2）-3.2典例导航：数学证明

1、 用三段论的形式写出下列演绎推理：用三段论的形式写出下列演绎推理：(1)(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；形的对角线相等；(2)0.33(2)0.33是有理数；是有理数；(3)(3)一切奇数都不能被一切奇数都不能被2 2整除，整除，2 21001001 1是奇数，所以是奇数，所以2 21001001 1不能被不能被2 2整除整除 解题过程解题过程 (1)(1)每一个矩形的对角线相等每一个矩形的对角线相等 大前提大前提正方形是矩形正方形是矩形 小前提小前提正方形的对角线相等正方形的对角线相等 结论结论(2)(2)所有的循环小数是

2、有理数所有的循环小数是有理数 大前提大前提0.330.33是循环小数是循环小数 小前提小前提0.330.33是有理数是有理数 结论结论(3)(3)一切奇数都不能被一切奇数都不能被2 2整除整除 大前提大前提2 21001001 1是奇数是奇数 小前提小前提2 21001001 1不能被不能被2 2整除整除 结论结论1.1.用三段论的形式写出下列演绎推理用三段论的形式写出下列演绎推理(1)(1)若两角是对顶角，则此两角相等所以若两角若两角是对顶角，则此两角相等所以若两角不相等，则此两角不是对顶角不相等，则此两角不是对顶角(2)(2)三角函数都是周期函数，三角函数都是周期函数，y ytantan是

3、三角函数，是三角函数，因此因此y ytantan是周期函数是周期函数(3)(3)通项公式通项公式a an n2 2n n3 3的数列的数列 a an n 为等差数列为等差数列解析：解析：演绎推理中如果大前提、小前提都是真演绎推理中如果大前提、小前提都是真实的，按照三段论形式推出的结论必是真实的，因实的，按照三段论形式推出的结论必是真实的，因此，演绎推理可以作为严格的推理方法此，演绎推理可以作为严格的推理方法(1)(1)两个角是对顶角，则两角相等两个角是对顶角，则两角相等 大前提大前提1 1和和2 2不相等不相等小前提小前提1 1和和2 2不是对顶角不是对顶角结论结论(2)(2)三角函数都是周期

4、函数三角函数都是周期函数 大前提大前提y ytantan是三角函数是三角函数小前提小前提y ytantan是周期函数是周期函数结论结论(3)(3)数列数列 a an n 中，如果当中，如果当n n22时，时，a an na an n1 1为常数，则为常数，则 a an n 为为等差数列等差数列 大前提大前提通项公式通项公式a an n2 2n n3 3时，若时，若n n2.2.则则a an na an n1 12 2n n3 32(2(n n1)1)332(2(常数常数) )小前提小前提通项公式通项公式a an n2 2n n3 3表示的数列为等差数列表示的数列为等差数列结论结论 在四边形在四

5、边形ABCDABCD中，中，ABABCDCD，BCBCADAD( (如图如图) )，求证：求证：ABCDABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理推理 证明过程证明过程 (1)(1)连结连结ACAC. .(2)(2)平面几何中的三角形平面几何中的三角形“边边边边边边”定理是：有三边对应相定理是：有三边对应相等的两个三角形全等，这一定理相当于：等的两个三角形全等，这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等，个三角形全等，大前提大前提ABCABC和和CDACDA的三边对应相等

6、，的三边对应相等，小前提小前提则这两个三角形全等则这两个三角形全等结论结论(3)(3)由全等三角形的定义可知：全等三角形的对应角相等，由全等三角形的定义可知：全等三角形的对应角相等，这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等们的对应角相等大前提大前提ABCABC和和CDACDA全等全等小前提小前提则它们的对应角相等则它们的对应角相等结论结论用符号表示，就是用符号表示，就是ABCABCCDACDA112 2且且3 34 4且且B BD D. .(4)(4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线被第三

7、条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行两条直线平行大前提大前提直线直线ABAB、DCDC被直线被直线ACAC所截，内错角所截，内错角1 12. 2. 小前提小前提( (已证已证) )则则ABABDCDC. .结论结论同理有：同理有：BCBCADAD. .(5)(5)如果四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平如果四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形行四边形大前提大前提四边形四边形ABCDABCD中，两组对边分别平行中，两组对边分别平行小前提小前提则四边形则四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形结论结论用符号表示为：用符号表示为：ABABDCDC且且ADADBCB

8、C四边形四边形ABCDABCD为平行四边为平行四边形形2.2.如图，如图，D D，E E，F F分别是分别是BCBC，CACA，ABAB上的点，上的点，BFDBFDA A，DEDEBABA，求证：，求证：EDEDAFAF. .证明：证明：因为同位角相等，两条直线平行，因为同位角相等，两条直线平行，大前提大前提BFDBFD与与A A是同位角，且是同位角，且BFDBFDA A，小前提小前提所以所以FDFDAEAE. . 结论结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提大前提DEDEBABA，且，且FDFDAEAE， 小前提小前提所以四边形所以四边形AFDEAFDE为平行四边行为平行四边行结论结论因为平行四边形的对边相等，因为平行四边形的对边相等，大前提大前提EDED和和AFAF为平行四边形为平行四边形AFDEAFDE的对边，的对边， 小前提小前提所以所以EDEDAFAF. .结论结论a a11，且，且x x1 1 x x2 2，axax1 1 axax2 2，x x1 1x x2 20. 1 1，x x2 2 1 1，( (x x1