一利用直角坐标计算二重积分二小结ppt课件

1、一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、小结二、小结xyoab)(1xy )(2xy 先讨论积分区域为：先讨论积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上延续上延续. .)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型xyoab)(1xy )(2xy abzyxo为底，为底，的值等于以的值等于以 DdyxfD ),(运用计算运用计算“平行截面平行截面面积为知的立体求面积为知的立体求体积的方法体积的方法, ,.),()()(21 xxdyyxfA . 0),( yxf假假定定为曲顶柱体的体积为

2、曲顶柱体的体积以曲面以曲面),(yxfz )(2xy )(1xy ),(yxfz )(0 xA.),( ),()()(21 DbaxxdxdyyxfdyxfV 0 x积分区域为：积分区域为：, bxa ).()(21xyx X型型.),( ),()()(21 Dbaxxdxdyyxfdyxf 普通地，普通地，.),( )()(21 baxxdxdyyxfdx - 先对先对 y 积分，后对积分，后对 x 积分的二次积分积分的二次积分.),( ),()()(21dydxyxfdyxfDdcyy 假设积分区域为：假设积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型xyocd)(1yx )(2yx

3、xyocd)(1yx )(2yx dcyydxyxfdy)( )(21),( - 先对先对 x 积分，后对积分，后对 y 积分的二次积分积分的二次积分X 型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的直线与轴的直线与 区域边境相交不多于两个交点区域边境相交不多于两个交点.Y 型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与轴的直线与 区域边境相交不多于两个交点区域边境相交不多于两个交点.假设区域如图，假设区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使在分割后的三个区域上分别使用积分公式用积分公式.),(),(),(),(321 DDDDdyxf

4、dyxfdyxfdyxf 那么必需分割那么必需分割. .例例1 将将dxdyyxf ),(D 化为二次积分。化为二次积分。其中其中 D 由直线由直线4 , 2 , 2 , yyxyxy围成。围成。xyo24624xy 2 xy解解 1： 先画出积分区域先画出积分区域 D 。D 是是 Y型。型。将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。24 . 42, 2 :yyxyD于是，于是， dxdyyxf ),(Ddxyxfyy ),(2 42 dyxyo24624xy 2 xy解解 2： D 也是也是 X型。型。将将 D 向向 x 轴投影。轴投影。26.21DDD 于是，于是，dxdyyxfdxdyyxfd

5、xdyyxf ),( ),( ),(21DDD dyyxfx ),(2 42 dx41D2D .2, 42 :1xyxD . 42, 64 :2yxxDdyyxfx ),(42 64 dx例例2 计算计算 dxy D 其中其中 D 由直线由直线2 , 1 , xyxy围成。围成。xyo1212xy 1 y2 x解解 先画出积分区域先画出积分区域 D 。D 是是 X型。型。将将 D 向向 x 轴投影。轴投影。 .1, 21 :xyxD于是，于是， dxy D dyxyx 1 21 dx12xyx122 21 dx 213 22 dyxx212448 xx.89 于是，于是， dxy D dyxy

6、x 1 21 dx例例 3 3 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序. . 解解积分区域为积分区域为 .10, 10 :xyxDxyo11xy 1 . 10,10 :yyxD xdyyxfdx1010 ),( 于是，于是， D),( dyxf. ),( 1010 ydxyxfdy将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。例例 4 4 改变改变 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2 的积分次序的积分次序. . 解解 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2设设 21DD),(),( dyxfdyxf .20, 10 :21xx

7、yxD .20, 21 :2xyxD那那么么xyo1211Dxy 22D 102112),(yydxyxfdy. 于是，于是，xyo1211Dxy 22D设设21DDD 将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。 . 10,211 :2yyxyD dyxf ),(D 原式原式xyo121D例例 5 5 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由抛抛物物线线2xy 和和2yx 所所围围平平面面闭闭区区域域. . 解解求求两两曲曲线线的的交交点点 ),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx ., 10 :2xyxxD例例 6 6 求求 Dydxdyex22，其其中中 D是是以以),1 , 1( ),0 , 0( )1 , 0(为为顶顶点点的的三三角角形形. . 因因为为 dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示 解解因因此此，积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序。 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e . 10,0:yyxD 二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式在积分中要