概率论-第6章样本及抽样分布

1、概率论与数理分析第六章 样本及抽样分布1 随机样本随机样本2 直线图和箱线图直线图和箱线图3 抽样分布抽样分布引言 随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机现象的统计性规律。 概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是在这已知是基础上得出来的。 但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些参数是未知的。1 随机样本随机样本例如： 某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的； 电视机的使用寿命服从什么分布是未知的； 产品是否合格服从两点分布，但参数合格率p是未知的； 数理统计的任务则是

2、以概率论为基础，根据试验所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合理的推断。1 随机样本随机样本一、总体与个体1.总体试验的全部可能的观察值称为总体.2.个体总体中的每个可能观察值称为个体.例1 在研究2 000名学生的年龄时,这些学生的年龄的全体就构成一个总体,每个学生的年龄就是个体. 1 随机样本随机样本3.容量总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.4.有限总体和无限总体容量为有限的称为有限总体.容量为无限的称为无限总体.产的灯泡寿命.某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的总 个体的总数就是10月份生产的灯泡数, 个有限总体; 例2体中, 这是而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一

3、个无限总体, 它包括以往生产和今后生1 随机样本随机样本所形成的总体中共含2 000个例3在考察某大学一年级男生的身高这一试试验中，若一年级男生共2 000人， 每个男生的身高是一个可能观察值，可能观察值，是一个有限总体.总体也是有限总体.例4 考察某一湖泊中某种鱼的含汞量， 所得1 随机样本随机样本我们可以认为有些有限总体， 它的容量很大,它是一个无限总体.例5考察全国正在使用的某种型号灯泡的寿可以认为是无限总体.命所形成的总体,由于可能观察值的个数很多,就1 随机样本随机样本因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来. 我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、灯泡的寿命,汽车的耗油量

4、) . 由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性 . 从而可以把这种数量指标看作一个随机变量X ，因此随机变量X的分布就是该数量指标在总体中的分布. 总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.1 随机样本随机样本5. 总体分布 例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.某批灯泡的寿命总体 寿命 X 可用一概率（指数）分布来刻划鉴于此，常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体. 如说总体X或总体F(x) .体体寿命总体是指数分布总寿命总体是指数分布总1 随机样本随机样本 类似地，在研究某地区中学生的营

5、养状况时 ，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X 和Y 分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示.统计中，总体这个概念的要旨是：总体就是一个随机变量总体就是一个随机变量(向量向量)或一个或一个概率分布概率分布.1 随机样本随机样本X 的分布函数和数字特征就称为总体的分布函数和数字特征.今后将不区分总体与相应的随机变量.参数为p的（0-1）分布：例如， 我们检验自生产线出来的零件是次品还是正品， 以0表示产品是正品， 以1表示产品为次品.的随机变量.设出现次品的频率为 p（常数）， 那么总体是由一些“0”和一些“1”所组成， 这一总体对应于

6、一个具有xXP ,1 )1(xppx 1 , 0 x1 随机样本随机样本根据获得的数据来对总体分布得出 在数理统计中,人们都是通过从总体中抽取一部分个体,被抽出的部分个体叫做总体的一个样本.判断的.所谓从总体抽取一个个体,就是对总体X 进行一次观察并记录其结果.称为样本值称为样本值次观察一经完成，次观察一经完成，当当n我们就得到一组实数我们就得到一组实数,1x,1X它们依次是随机变量它们依次是随机变量,2X,的观察值，的观察值，,nx,2xnX1 随机样本随机样本二、随机样本的定义二、随机样本的定义1.样本的定义的简单的简单得到的容量为得到的容量为、或总体、或总体或总体或总体nXF)(,21称

7、为样本值称为样本值它们的观察值它们的观察值nxxx又称又称.个独立的观察值个独立的观察值的的为为nX,的随机变量的随机变量是具有分布函数是具有分布函数设设FX,1X若若,2X,、是具有同一分布函数是具有同一分布函数 FXn相互独立的相互独立的,随机变量随机变量FXXXn为从分布函数为从分布函数则称则称,21,随机样本随机样本.简称样本简称样本1 随机样本随机样本. )(),(121* niinxFxxxF的的一一个个样样本本，为为，若若FXXXn,21，则则21XX相相互互独独立立，nX，且且它它们们的的分分布布函函数数都都是是 F 所所以以的的分分布布函函数数为为，),(21nXXX，具有概

8、率密度具有概率密度又若又若fX的的，则则),(21nXXX概概率率密密度度为为. )(),(121* niinxfxxxf2. 简单随机抽样的定义获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.1 随机样本随机样本解解的概率密度为的概率密度为总体总体 X , 0, 0, 0,e)(xxxfx , 21相互独立相互独立因为因为nXXX的概率密度为的概率密度为所以所以),( 21nXXX),(21nnxxxf ., 0, 0,e1其他其他ixnxnii ,)0(的指数分布的指数分布服从参数为服从参数为设总体设总体 X,),(21是来自总体的样本是来自总体的样本nXXX求样本求样本.),(21的概率密度

9、的概率密度nXXX,有相同的分布有相同的分布且与且与X)(1 niixf例例71 随机样本随机样本解解的分布律为的分布律为总体总体 X, 21相互独立相互独立因为因为nXXXiXP )1, 0( i,有相同的分布有相同的分布且与且与X的分布律为的分布律为所以所以),( 21nXXX), 1(pBX 服从两点分布服从两点分布设总体设总体,),(21是来自总体的样本是来自总体的样本nXXX,(21XX求样本求样本.),的分布律的分布律nXiipp 1)1(, 10 p其中其中例例81 随机样本随机样本,2211nnxXxXxXP 2211nnxXPxXPxXP niiniixnxpp11)1(.1

10、 , 0,21中取值中取值在集合在集合其中其中nxxx1 随机样本随机样本三、小结三、小结个体 总体 有限总体无限总体基本概念:统称为总体X.说明2随机样本一个总体对应一个随机变量X,说明1我们将不区分总体和相应的随机变量,在实际中遇到的总体往往是有限总体, 它个数很大时, 在理论上可认为它是一个无限总体.对应一个离散型随机变量; 当总体中包含的个体的1 随机样本随机样本男子的头颅的最大宽度男子的头颅的最大宽度（mm），）， 141 148 132138 154 142150 146 155 158 150 140 147 148 144150 149 145149 158 143 141 1

11、44 144 126 140 144142 141 140145 135 147 146 141 136 140 146 142137 148 154137 139 143 140 131 143 141 149 148135 148 152143 144 141 143 147 146 150 132 142142 143 153149 146 149 138 142 149 142 137 134144 146 147140 142 140 137 152 145一、直方图例例1 1 下面给出了下面给出了8484个伊特拉斯坎个伊特拉斯坎（Etruscan）人人数据的数据的“频率直方图频率直

12、方图”. .现在来画这些现在来画这些2 直方图和箱线图直方图和箱线图步骤：步骤：1. 找出最小值找出最小值126， 最大值最大值158，现取区间现取区间 124.5,159.5；2. 将区间将区间 124.5，159.5 等分为等分为7个小区间，个小区间，3. 小区间的端点称为组限小区间的端点称为组限, ,数出落在每个小区数出落在每个小区./nfi算出频率算出频率,if间的数据的频数间的数据的频数, 小区间的长度记成小区间的长度记成称为组距；称为组距； 7/ )5 .1245 .159( , 5 2 直方图和箱线图直方图和箱线图列表如下：列表如下：组组 限限频频 数数频频 率率累计频率累计频率

13、124.5129.510.01190.0119129.5134.540.04760.0595134.5139.5100.11910.1786139.5144.5330.39290.5715144.5149.5240.28570.8572149.5154.590.10710.9524154.5159.530.03571.0000 nfi个小区间上作以个小区间上作以现在自左向右依次在各现在自左向右依次在各,为高的小矩形为高的小矩形这样的图形叫频率直方图这样的图形叫频率直方图. .2 直方图和箱线图直方图和箱线图2 直方图和箱线图直方图和箱线图频率直方图频率直方图二、箱线图二、箱线图定义定义 , 2

14、1n,x,xxn的样本观察值的样本观察值设有容量为设有容量为;xpP个观察值小于或等于至少有）（n1.xp(np）个观察值大于或等于至少有）（12. 得得分位数可按以下法则求分位数可按以下法则求样本样本 p,21，将将xx.)()2()1(nnxxxx 成成按按从从小小到到大大的的顺顺序序排排列列不是整数，不是整数，若若npo1 中的两点要求，中的两点要求，义义则只有一个数据满足定则只有一个数据满足定的最小整数的最小整数这一数据位于大于这一数据位于大于np样本样本它具有以下的性质：它具有以下的性质：,1)0(pxpp记为记为分位数分位数 2 直方图和箱线图直方图和箱线图处，处，是整数，是整数，

15、若若npo2 综上，综上， .1处的数处的数即为位于即为位于 np处的处的和和就取位于就取位于1 npnp.中位数中位数 ,21)1()( npnpxx ,)1( npxpx 不是整数，不是整数，当当np .是整数是整数当当np2 直方图和箱线图直方图和箱线图 特别，特别， 称为上四分位数，称为上四分位数，分位数分位数25. 025. 0 x称为下四分位数，称为下四分位数，分位数分位数75. 057 . 0 x即有即有称为样本中位数，称为样本中位数，M或或也记为也记为分位数分位数2505 . 0Qx.时，时，当当5 . 0 p；又记为又记为1Q.3Q又记为又记为 ,21)12()2( nnxx

16、 ,)12( nx5 . 0 x 不是整数，不是整数，当当np .是整数是整数当当np2 直方图和箱线图直方图和箱线图例例2 2设有一组容量为设有一组容量为18的样本如下（已经排过序）的样本如下（已经排过序）122 126 133 140 145 145 149 150 157.5 . 025. 02 . 0 xxx，求样本分位数：求样本分位数：解解处，处，位于第位于第416 . 32 . 0 xnp因为因为)1(2 . 0 x即有即有处，处，位于第位于第515 . 425. 0 xnp因为因为)2(162 166 175 177 177 183 188 199 21225. 0 x即有即有2

17、 . 018 , 6 . 3）（4x.14025. 018 , 5 . 4 .1452 直方图和箱线图直方图和箱线图是这组数中间两是这组数中间两5 . 0 xnp因为因为)3(5 . 018 , 9 2 直方图和箱线图直方图和箱线图个数的平均值，个数的平均值，0.5x即有即有 )162157(21 . 5 .159数据集的箱线图是由箱子和直线组成的图形，数据集的箱线图是由箱子和直线组成的图形，它是基于以下五个数的图形概括：它是基于以下五个数的图形概括：，最小值最小值 Min它的作法如下：它的作法如下：，第一四分位数第一四分位数1Q，中位数中位数M和和第三四分位数第三四分位数3Q.Max最大值最

18、大值画一水平数轴，画一水平数轴，)1(.Max下侧平行于数下侧平行于数在数轴上方画一个上、在数轴上方画一个上、轴的矩形箱子，轴的矩形箱子，于于箱子的左右两侧分别位箱子的左右两侧分别位1Q，在轴上标上在轴上标上 Min，3Q，1Q，M3Q.的上方的上方2 直方图和箱线图直方图和箱线图.内部内部；线线自箱子左侧引一条水平自箱子左侧引一条水平Min)2(在同一水平在同一水平高度自箱子右侧引一条水平线直至最大值高度自箱子右侧引一条水平线直至最大值. .段段点的上方画一条垂直线点的上方画一条垂直线在在M线段位于箱子线段位于箱子2 直方图和箱线图直方图和箱线图以下是以下是8个病人的血压（收缩压，个病人的血

19、压（收缩压，mmHg）数）数解解np因为因为故故1Q例例3 3试作出箱线图试作出箱线图. .据（已经过排序据（已经过排序 ），），102 110 117 118 122 123 132 150 25. 08 , 2 )117110(21 . 5 .113 2 直方图和箱线图直方图和箱线图np因为因为故故 , 45 . 08 5 . 0 x )122118(21 .1202Q np因为因为故故75. 0 xMinMax作出箱线图如图所示作出箱线图如图所示. .75. 08 , 6 )132123(21 . 5 .127 3Q ,102 ,1502 直方图和箱线图直方图和箱线图例例4 4 量（以升

20、计量（以升计. .数据应经过排序）数据应经过排序）女子组女子组2.7 2.8 2.9 3.1 3.1 3.1 3.2 3.4 3.4男子组男子组4.1 4.1 4.3 4.3 4.5 4.6 4.7 4.8 4.8试分别画出这两组数据的箱线图试分别画出这两组数据的箱线图. . 下面分别给出了下面分别给出了2525个男子和个男子和2525个女子的肺活个女子的肺活3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.5 3.6 3.7 3.73.7 3.8 3.8 4.0 4.1 4.2 4.25.1 5.3 5.3 5.3 5.4 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.8 6.0 6.1 6.3 6

21、.7 6.72 直方图和箱线图直方图和箱线图解解女子组女子组MinMaxMnp因因. 2 . 31 Qnp因因3Q男子组男子组np因因. 7 . 41 Qnp因因. 8 . 53 Q作出箱线图如（教材作出箱线图如（教材P134P134）图）图6-4所示所示. . 25. 052 ,25. 675. 052 ,75.18. 7 . 3 25. 052 ,25. 675. 052 ,75.18 , 7 . 2 , 2 . 4 , 5 . 3, 1 . 4Min , 7 . 6Max , 3 . 5M 2 直方图和箱线图直方图和箱线图 在数据集中，在数据集中，之间的距离：之间的距离：与第三四分数与第

22、三四分数第一四分位数第一四分位数31QQIQRQQ 13称为称为四分位数间距四分位数间距. .，或大于或大于若数据小于若数据小于IQRQIQRQ5 . 15 . 1 31 .则认为它是疑似异常值则认为它是疑似异常值某一个观察值不寻常地大于或某一个观察值不寻常地大于或小于该数据集中的其他数据，小于该数据集中的其他数据， 称为称为疑似异常值疑似异常值. .疑似异常值疑似异常值2 直方图和箱线图直方图和箱线图修正箱线图修正箱线图;)1(同同，计算计算13QQIQR 则认为它是一个则认为它是一个，或大于或大于IQRQIQRQ5 . 15 . 131 若一个数据小于若一个数据小于.疑似异常值疑似异常值画

23、出疑似异常值，画出疑似异常值，;*表示表示并以并以)3( 自箱子左侧引一水平线段直至数据集自箱子左侧引一水平线段直至数据集中中又自箱子右侧引一又自箱子右侧引一除去疑似异常值后的最小值，除去疑似异常值后的最小值，水平线直至数据集中除去疑似异常值后的最大值水平线直至数据集中除去疑似异常值后的最大值. .)1( )2( 2 直方图和箱线图直方图和箱线图例例5 5 下面给出了某医院下面给出了某医院21个病人的住院时间个病人的住院时间（以（以1 2 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 9解解MinMaxM25. 021 因因1Q得得75. 021 又又3Q得得IQRQ5 . 11 IQRIQRQ5

24、. 13 124 . 8 试画出修正箱线图（数据已经过排序）试画出修正箱线图（数据已经过排序）. .天计），天计），10 12 12 13 15 18 23 55 , 8 ,25. 5,75.1513QQ 85 . 112 ,24 , 1 ,55 , 7 , 4 ,122 直方图和箱线图直方图和箱线图,2455 观察值观察值故故55 是疑似异常值，是疑似异常值， 且仅此一个疑且仅此一个疑疑似异常值疑似异常值. .作出修正箱线图如（教材作出修正箱线图如（教材P135P135）图）图6-5所示所示. .2 直方图和箱线图直方图和箱线图1.1.频率直方图作图步骤频率直方图作图步骤 (1) 找出最小值

25、和找出最小值和最大值最大值，(2) 将选定区间分为将选定区间分为k个小区间；个小区间；./)3(nfi算出频率算出频率 nfi在各个小区间上作以在各个小区间上作以.为高的小矩形为高的小矩形三、小结三、小结 2 直方图和箱线图直方图和箱线图画一水平数轴，画一水平数轴，)1(.Max下侧平行于数下侧平行于数在数轴上方画一个上、在数轴上方画一个上、轴的矩形箱子，轴的矩形箱子，于于箱子的左右两侧分别位箱子的左右两侧分别位1Q，在轴上标上在轴上标上 Min，3Q，1Q，M3Q.的上方的上方.内部内部；线线自箱子左侧引一条水平自箱子左侧引一条水平Min)2(高度自箱子右侧引一条水平线直至最大值高度自箱子右

26、侧引一条水平线直至最大值. .段段点的上方画一条垂直线点的上方画一条垂直线在在M线段位于箱子线段位于箱子2.2.箱线图箱线图作图步骤作图步骤2 直方图和箱线图直方图和箱线图一、基本概念1. 统计量的定义 ,不含未知参数不含未知参数.的观察值的观察值,21的一个样本的一个样本是来自总体是来自总体设设XXXXn,),(2121的函数的函数是是nnXXXXXXg.计量计量中中若若g是一个统是一个统则称则称),(21nXXXgnnXXXxxx,2121是相应于样本是相应于样本设设,的样本值的样本值),(),(2121nnXXXgxxxg是是则称则称3 抽样分布抽样分布?,),(,22321哪些不是哪些

27、不是些是统计量些是统计量判断下列各式哪判断下列各式哪为未知为未知为已知为已知其中其中样本样本的一个的一个是来自总体是来自总体设设 NXXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT).(123222126XXXT 是是不是实例13 抽样分布抽样分布2. 几个常用统计量的定义,21是来自总体的一个样本是来自总体的一个样本设设nXXX(1) 样本平均值;11 niiXnX(2) 样本方差 niiXXnS122)(11 .11 niixnx其观察值.,21是这一样本的观察值是这一样本的观察值nxxx.11122 niiXnXn3 抽

28、样分布抽样分布其观察值 niixxns122)(11 (3) 样本标准差 ;11122 niiXXnSS其观察值.)(1112 niixxns.11122 niixnxn3 抽样分布抽样分布(4) 样本k 阶(原点)矩;, 2, 1,11 kXnAnikik其观察值., 2, 1,11 kxnnikik (5) 样本k 阶中心矩;, 3, 2,)(11 kXXnBnikik其观察值., 3, 2,)(11 kxxnbnikik3 抽样分布抽样分布,)(存在存在记成记成阶矩阶矩的的若总体若总体kkXEkX 证明, , 21同分布同分布独立且与独立且与因为因为XXXXn , , 21同分布同分布独

29、立且与独立且与所以所以kknkkXXXX)(1kXE故有故有再根据第五章辛钦定理知由以上定义得下述结论:,时时则当则当 n,kPkA ., 2, 1 k)(2kXE)(knXE.k ;, 2, 1,11 kXnkPniki 3 抽样分布抽样分布由第五章关于依概率收敛的序列的性质知),(),(2121kPkgAAAg .是连续函数是连续函数其中其中g由第五章关于依概率收敛的序列的性质知),(),(2121kPkgAAAg .是连续函数是连续函数其中其中g 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据.3 抽样分布抽样分布3. 经验分布函数相应的统计量称为经验相应的统计量称为经验总体分布函数总体分

30、布函数 )( xF经验分布函数的做法如下:, 21的一个样本的一个样本是总体是总体设设FXXXn , )( )( 21中不大于中不大于表示表示用用nXXXxxS )( 为为定义经验分布函数定义经验分布函数xFn)( ),(1)( xxSnxFn.分布函数分布函数,的随机变量的个数的随机变量的个数x3 抽样分布抽样分布 ,对于一个样本值对于一个样本值 ) . )( )(表示表示的观察值仍以的观察值仍以xFxFnn实例 , 3 , 2 , 1 具有一个样本值具有一个样本值设总体设总体 F 则经验分布函数则经验分布函数 . )(的观察值容易求得的观察值容易求得xFn )(3的观察值为的观察值为xF,

31、 1,32,31, 0)(3xF , 1 x, 21 x32 x. 3 x3 抽样分布抽样分布实例 , 2 , 1 , 1 具有一个样本值具有一个样本值设总体设总体 F )( 3的观察值为的观察值为则经验分布函数则经验分布函数xF , 0)(3xF , 1 x, 1. 2 x,3221 x3 抽样分布抽样分布一般地，,21样本值样本值的一个容量为的一个容量为是总体是总体设设nFxxxn , , 21按自小到大的次序排列按自小到大的次序排列先将先将nxxx,并重新编号并重新编号,)()2()1(nxxx )( 的观察值为的观察值为则经验分布函数则经验分布函数xFn)(xFn , 0,nk, 1

32、,)1(xx ，)1()( kkxxx.)(nxx 3 抽样分布抽样分布 , x对于任一实数对于任一实数 , 时时充分大充分大当当对于任一实数对于任一实数nx格里汶科定理格里汶科定理经验分布函经验分布函 )( )( xFxFn与总体分布函数与总体分布函数数的任一个观察值数的任一个观察值 ,只有微小的差别只有微小的差别来来从而在实际上可当作从而在实际上可当作 )( xF.使用使用. 10)()(suplim xFxFPnxn , )( xF一致收敛于分布函数一致收敛于分布函数 1 )(以概率以概率xFn , 时时当当 n即即3 抽样分布抽样分布二、常见分布统计量的分布称为抽样分布.分布分布2 .

33、 1 分布，分布，的的服从自由度为服从自由度为2 n自由度是指上式右端包含的独立变量的个数.的样本，的样本，是来自总体是来自总体设设1)0(N,21nX,XX则称统计量则称统计量 222212nXXX ).(22n 记为记为3 抽样分布抽样分布分布的概率密度为分布的概率密度为)(2n )(yf证明,2,21)1(2分布分布分布即为分布即为因为因为 ),1, 0( NXi又因为又因为),1(22 iX由定义由定义., 2, 1,2,212niXi 即即 ,0，2122e)2(21ynnyn 0 y.其他其他3 抽样分布抽样分布.)(2图分布的概率密度曲线如n,21相互独立相互独立因为因为nXXX

34、,22221也相互独立也相互独立所以所以nXXX分布的可加性知分布的可加性知根据根据 2 niiX12.2,2 n3 抽样分布抽样分布分布的性质分布的性质2 性质1),(1221n 设设)(2分布的可加性分布的可加性 ( 此性质可以推广到多个随机变量的情形. ),(22iin 设设,立立独独22 ,21 并且并且),(2222n ).(2122221nn 则则,独立独立相互相互并且并且), 2, 1(2mii mii12 则则).(212mnnn 3 抽样分布抽样分布性质2),(22n 若若证明),1, 0( NXi因为因为)(2iXE所以所以)(2iXD23 ., 2, 1ni )( 2 E

35、故故 niiXE12)(,n)(2 D niiXD12)(.2n)(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差 ,)(2nE 则则.2)(2nD )(iXD, 1224)()(iiXEXE , 1 niiXE12 niiXD12 3 抽样分布抽样分布分布的分位点分布的分位点 2 , 对于给定的正数对于给定的正数.分位点的值分位点的值得上得上 .)()(22分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点 nn)(22nP )(2d)(nyyf , 10 称满足条件称满足条件, 对于不同的对于不同的,n可以通过查表求可以通过查表求 3 抽样分布抽样分布,的值的值求求 z05. 0z025. 0z根据正态

36、分布的对称性知.1 zz ,645. 1 ,96. 1 例1的上的上服从标准正态分布服从标准正态分布设设)1 , 0(),1 , 0(NNX,de2122 xzXPzzx满足满足分位点分位点.可通过查表完成可通过查表完成3 抽样分布抽样分布分位点满足分位点满足的上的上设设 )(),(22nnZ,d);()()(222 nynynZP ,)(2的值的值求求n )8(2025. 0 )10(2975. 0 )25(21 . 0 附表5只详列到n=40为止.,535.17 ,247. 3 .382.34 例2.可通过查表完成可通过查表完成3 抽样分布抽样分布,充分大时充分大时当当n例如2205. 0

37、)99645. 1(21)50( .221.67 利用上面公式,而查详表可得.505.67)50(205. 0 ,40n时可以求得 费舍尔费舍尔(R.A.Fisher)证明证明:.分位点的近似值上 .分位点分位点是标准正态分布的上是标准正态分布的上其中其中 z.)12(21)(22 nzn 3 抽样分布抽样分布. 2分布分布服从服从使得使得 CY体体为来自总为来自总服从服从设设 ),( , )1 , 0( 621XXXNX例3解根据正态分布的性质,),3 , 0(321NXXX ),3 , 0(654NXXX , C试决定常数试决定常数26542321)()( XXXXXXY ,的简单随机样本

38、的简单随机样本X3 抽样分布抽样分布),1 , 0(3 321NXXX 则则),1 , 0(3654NXXX ),1(3 22321 XXX故故),1(3 22654 XXX3 抽样分布抽样分布 , , 2621分布的可加性分布的可加性相互独立及相互独立及因为因为 XXX2654232133 XXXXXX ,31 C所以所以)()(3126542321XXXXXX ),2(2 . 2分布分布服从服从 CY3 抽样分布抽样分布),1, 0( NX设设t 分布又称学生氏(Student)分布. tntnnnthn,1221)(212 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为)(nt分布分布t2.,

39、/分布分布的的服从自由度为服从自由度为称随机变量称随机变量tnnYXt ,独立独立且且YX),(2nY ).(ntt记为记为则则3 抽样分布抽样分布图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如t显然图形是关于显然图形是关于形.,e21)(lim22tnth 因为因为,)1 , 0(分布分布分布近似于分布近似于足够大时足够大时所以当所以当Ntn,n但对于较小的但对于较小的.)1 , 0(分布相差很大分布相差很大分布与分布与Nt当n充分大时,其图形类似于标准正态变量概率密度的图.0对称的对称的 t3 抽样分布抽样分布, 对于给定的对于给定的可以通过查表求可以通过查表求由分布的对称性知).()(1n

40、tnt ,45时时当当 n分布的分位点分布的分位点 t.)()(分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点 ntnt )(d)()(nttthnttP , 10 称满足条件称满足条件.分位点的值分位点的值得上得上 .)( znt 3 抽样分布抽样分布分位点满足分位点满足的上的上设设 )(),(ntntT,d);()()( ntynytntTP ,)(的值的值求求nt )10(05. 0t,8125. 1 )15(025. 0t.1315. 2 例4.可通过查表完成可通过查表完成3 抽样分布抽样分布),(12nU 设设分布分布F3.,布布分分的的服从自由度为服从自由度为随机变量随机变量FnnnVn

41、UF),(/2121 ),(22nV ,独立独立且且VU则称则称).,(21nnFF记为记为3 抽样分布抽样分布分布的概率密度为分布的概率密度为),(21nnF)(y ,12222212112221212111nnnnnynnnynnnn , 0, 0 y.其他其他3 抽样分布抽样分布图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如F根据定义可知,).,(112nnFF则则分布的分位点分布的分位点F, 对于给定的对于给定的),(21nnFF若若.),(),(2121分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点 nnFnnF ),(2121d)(),(nnFyynnFFP 称满足条件称满足条件, 10

42、3 抽样分布抽样分布分位点满足分位点满足分布的上分布的上设设 ),(21nnF,),(21的值的值求求nnF )8 , 7(025. 0F)30,14(05. 0F,d)(),(),(2121 nnFyynnFFP ,90. 4 .31. 2 例5.可通过查表完成可通过查表完成3 抽样分布抽样分布:分位点具有如下性质分位点具有如下性质分布的上分布的上 F.),(1),(12211nnFnnF 证明),(1 211nnFFP 所以所以 ),(11211nnFFP ),(111211nnFFP ,),(111211 nnFFP ),(21nnFF因为因为,),(11 211 nnFFP故故3 抽样

43、分布抽样分布),(1 12nnFF因为因为,),(1 12 nnFFP所以所以, ),(),(11221-1nnFnnF 比较后得比较后得.),(1),(12211nnFnnF 即即)9 , 21(59 . 0F例例)12, 9(105. 0F 28. 01 .357. 0 . 分位点分位点的一些上的一些上用来求分布表中未列出用来求分布表中未列出 3 抽样分布抽样分布4. 正态总体的样本均值与样本方差的分布定理一),(,221 NXXXn是来自正态总体是来自正态总体设设有有的样本均值和样本方差的样本均值和样本方差正态总体正态总体),(2 N ,的样本的样本.以下两个重要定理以下两个重要定理则有

44、则有)./,(2nNX , 是样本均值是样本均值X3 抽样分布抽样分布定理二,),(,221的样本的样本是总体是总体设设 NXXXn);1()1(1)222 nSn .(2)2独立独立与与SX,X则有则有,2方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本S3 抽样分布抽样分布证明),1 , 0(/NnX 因为因为),1()1(222 nSn 由 t 分布的定义知)1()1(/22 nSnnX 定理三).1(/ ntnSX 则有则有,X,),(,221的样本的样本是总体是总体设设 NXXXn,2方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本S且两者独立,).1( nt3 抽样分布抽样分布,差差分别是这两个样本的方分别是这两个样本的方定理四分别是具有分别是具有与与设设21,2121nnYY