数学归纳法经典练习及解答过程

1、第七节数学归纳法知识点数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立易误提醒运用数学归纳法应注意：(1)第一步验证nn0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值(2)由nk时命题成立，证明nk1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法自测练习1已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf

2、(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)解析：从n到n2共有n2n1个数，所以f(n)中共有n2n1项，且f(2)，故选D.答案：D2(2016·黄山质检)已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n()时等式成立()Ak1Bk2C2k2 D2(k2)解析：根据数学归纳法的步骤可知，则nk(k2为偶数)下一个偶数为k2，故选B.答案：B考点一用数学归纳法证明等式|求证：(n1)(n2)··(nn)2n·1·3·5·

3、3;(2n1)(nN*)证明(1)当n1时，等式左边2，右边21·12，等式成立(2)假设当nk(kN*)时，等式成立，即(k1)(k2)··(kk)2k·1·3·5··(2k1)当nk1时，左边(k2)(k3)··2k·(2k1)(2k2)2·(k1)(k2)(k3)··(kk)·(2k1)2·2k·1·3·5··(2k1)·(2k1)2k1·1·3

4、83;5··(2k1)(2k1)这就是说当nk1时，等式成立根据(1)，(2)知，对nN*，原等式成立 1用数学归纳法证明下面的等式：12223242(1)n1·n2(1)n1.证明：(1)当n1时，左边121，右边(1)0·1，原等式成立(2)假设nk(kN*，k1)时，等式成立，即有12223242(1)k1·k2(1)k1.那么，当nk1时，则有12223242(1)k1·k2(1)k·(k1)2(1)k1(1)k·(k1)2(1)k·k2(k1)(1)k.nk1时，等式也成立，由(1)(2)知对任

5、意nN*，有12223242(1)n1·n2(1)n1.考点二用数学归纳法证明不等式|设数列an各项均为正数，且满足an1ana.求证：对一切n2，都有an.证明数列an各项均为正数，且满足an1ana，a2a1a>0，解得0<a1<1.当n2时，a3a2a2，不等式成立，假设当nk(k2)时，不等式成立，即ak，则当nk1时，ak1aka22<，当nk1时，不等式也成立，由数学归纳法知，对一切n2，都有an.2数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn，并证明：>.解：(1)证明：an1，化简得2，即2，故数列是

6、以1为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知2n1，Snn2.证明：法一：>1.法二：(数学归纳法)当n1时，1，不等式成立假设当nk时，不等式成立，即>.则当nk1时，>，又11>0，>，原不等式成立考点三归纳猜想证明问题|将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1S3S5S2n1的结果，并用数学归纳法证明S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S61617181

7、92021111，解由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644.猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，S1114，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，这就是说，当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)，可知对于任意的nN*，S1S3S5S2n1n4都成立3设a>0，f(x)，令

8、a11，an1f(an)，nN*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解：(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN*)(2)证明：易知n1时，猜想正确假设nk时猜想正确，即ak，则ak1f(ak).这说明，nk1时猜想正确由知，对于任意的nN*，都有an成立.14.数学归纳法在证明不等式中的易误点【典例】设函数f(x)xsin x，数列an满足an1f(an)(1)若a12，试比较a2与a3的大小；(2)若0<a1<1，求证：对任意nN*,0<an<1恒成立解(1)当a12时

9、，a2f(2)2sin 2(0,2)，所以sin a2>0，又a3f(a2)a2sin a2，所以a3a2sin a2<0，所以a2>a3.(2)证明：用数学归纳法证明当0<a1<1时，对任意nN*,0<an<1恒成立当n1时，0<a1<1，结论成立；假设当nk(k1，kN*)时，0<ak<1，所以sin ak>0，则当nk1时，ak1aksin ak<0，所以ak1<ak<1.因为f(x)xsin x，当x(0,1)时，f(x)1cos x>0，所以f(x)是(0,1)上的单调递增函数，所以ak1

10、f(ak)>f(0)0，即0<ak1<1，故当nk1时，结论成立综上可得，当0<a1<1时，对任意nN*,0<an<1恒成立易误点评(1)不会作差比较a2与a3大小，同时忽视了sin 2的值大小(2)证明nk1成立时用不归纳做证nk成立条件导致失误防范措施(1)用数学归纳证明不等式的关键是由nk时命题成立，证明nk1时命题成立(2)在归纳假设使用后，注意最后结论证明方法的选择跟踪练习若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xn<x

11、n1<3.证明：(1)当n1时，x12，f(x1)3，Q1(2，3)直线PQ1的方程为y4x11，令y0，得x2，因此，2x1<x2<3，即n1时结论成立(2)假设当nk时，结论成立，即2xk<xk1<3.直线PQk1的方程为y5(x4)又f(xk1)x2xk13，代入上式，令y0，得xk24，由归纳假设，2<xk1<3，xk24<43；xk2xk1>0，即xk1<xk2.所以2xk1<xk2<3，即当nk1时，结论成立由(1)，(2)知对任；意的正整数n,2xn<xn1<3.A组考点能力演练1用数学归纳法证明

12、：1<2(nN，n2)证明：(1)当n2时，1<2，命题成立(2)假设nk时命题成立，即1<2.当nk1时，1<2<222命题成立由(1)，(2)知原不等式在nN，n2时均成立2已知数列an的前n项和为Sn，通项公式为anf(n)(1)计算f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)比较f(n)与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论证明：(1)由已知f(1)S21，f(2)S4S1，f(3)S6S2；(2)由(1)知f(1)>1，f(2)>1；下面用数学归纳法证明：当n3时，f(n)<1.由(1)知当n3时，f(n)<1；假设nk(k3)时，f

13、(k)<1，即f(k)<1，那么f(k1)<111<1，所以当nk1时，f(n)<1也成立由和知，当n3时，f(n)<1.所以当n1和n2时，f(n)>1；当n3时，f(n)<1.3(2015·安庆模拟)已知数列an满足a1a>2，an(n2，nN*)(1)求证：对任意nN*，an>2；(2)判断数列an的单调性，并说明你的理由；(3)设Sn为数列an的前n项和，求证：当a3时，Sn<2n.解：(1)证明：用数学归纳法证明an>2(nN*)；当n1时，a1a>2，结论成立；假设nk(k1)时结论成立，即ak>2，则nk1时，ak1>2，所以nk1时，结论成立故由及数学归纳法原理，知对一切的nN*，都有an>2成立(2)an是单调递减的数列因为aaan2a(an2)(an1)，又an>2，所以aa<0，所以an1<a