第八章习题答案

1、1. 1 ),(),(),( 1|,max| 1 ), 0(), 0(), 0(| )0 ,()0 ,()0 ,( 1 1 1 1:)0 ,()0 ,()0 ,( 1|,max| 1 1 ),()0 ,(),( .3211221344242424141412121111114211212221112114321 TxxxxxxTrTTxTxTxrTxTxTrxTTTTxTxTxrTTTTxxxxxxxxTTTTT得得此此外外由由故故：得得：再再由由；得得：由由；所所以以，类类似似地地，得得由由，类类似似地地有有：且且是是有有界界的的，可可知知由由显显然然是是线线性性算算子子、由由定定义义，.)

2、,(),(: ),()(:), 0(),(: )0 ,(),(: . 1212141221322121211224321并并说说明明它它们们的的几几何何意意义义子子，求求出出它它们们的的范范数数，试试证证它它们们是是有有界界线线性性算算；，；分分别别由由下下式式定定义义：、设设xrxxxTxxxxTxxxTxxxTRRTTTT2.QPOPPQPPQ IIII21432211rxxPTTxTxT ，使使上上一一点点点点映映射射，把把于于轴轴行行线线交交轴轴的的平平，作作与与平平面面上上任任一一点点表表示示这这样样一一个个变变换换：过过；象象限限对对角角线线得得对对称称映映射射，表表示示关关于于轴

3、轴上上的的投投影影；表表示示在在轴轴上上的的投投影影；表表示示在在. 1.0|:. 2的的闭闭子子空空间间是是的的零零子子空空间间有有界界，则则若若是是线线性性算算子子，是是赋赋范范线线性性空空间间，、设设XTxXxNTTYXTYX .*0lim* *的的闭闭子子空空间间是是故故的的线线性性子子空空间间，显显然然是是是是闭闭集集，即即所所以以有有界界得得：，由由，设设XNXNNNxTxTxTxxNxnnnn 3., . 3必是有界的必是有界的：则线性算子则线性算子间间是有限维的赋范线性空是有限维的赋范线性空若若XXTX.)( maxmax| )1( | 0,11111111是有界的是有界的所以

4、所以则则都有：都有：使对任意使对任意，的一个基，取的一个基，取是是，维的，维的，是是设设TXxxTlMTlTlTlTxxMlxMXllnXiniininiiniiiniiiniiniiin 4.1 , 0)( )( )()( 1 , 0)( | )(|max)( )( )(1 , 01 , 0D . 411011证证之之是是有有界界线线性性算算子子吗吗？试试所所定定义义的的范范数数下下，在在，：设设DCtxtxtxtxCtxtxtxtxtDxCCCCCtC . 1)()( )()( )(1 , 0)(11 DDtxtxtxtxtDxCtxDCCCCC有界，且有界，且故故是有界线性算子，因为是有

5、界线性算子，因为5. |sup)( )( |sup. 51111nniiinnTTlxTxyl 是是有有界界线线性性算算子子，且且证证明明中中定定义义线线性性算算子子，在在设设. |sup 0 |1 ) 10( )(|000 )()( |sup100111100000nniiiiiiiiiiiiiiinnTTTTxTTxxiiiixTTxTxlx ，从从而而是是任任意意的的，故故因因为为，故故且且，则则，取取，满满足足，必必有有某某对对任任意意给给定定的的时时，当当时时，显显然然有有，当当所所以以则则，记记6. 0|inf . 61 nnT 条条件件是是存存在在有有界界逆逆的的充充分分必必要要

6、证证明明上上题题中中的的 .)( 11|1|sup00|inf 1),0 ,0( 01 )(|inf111111111111111111STISTTSSlxSxTTTlTlTlTlTlTlTllilxTxTlxTTiiinnnniiiiiiiiiiiiiiiiinn有有有有界界逆逆，故故是是有有界界线线性性算算子子，显显然然则则令令，则则反反之之，设设，所所以以故故，但但，故故则则中中的的元元，的的，其其余余坐坐标标为为个个坐坐标标为为表表第第特特别别设设，则则有有有有界界逆逆，若若设设 7.), 2 , 1( )(,)( | )( 1111 . 71/11的的有有界界线线性性算算子子到到是是

7、试试证证：，如如下下：作作算算子子适适合合条条件件无无穷穷阵阵，设设ppjjkjkkpiqpkjqkjijllTkylxTxyTqpp .| 1)()1( | )(/1/1111/1111是有界线性算子是有界线性算子故故）可知：）可知：且由（且由（显然是线性的，显然是线性的，的算子，的算子，到到是是，即，即故故时，时，当当TxTxTllTlyTxlxpqpkjqkjpppkkjjqpjqkjkpjjkjkpkpi 8.)()(Banach . 8中中开开集集中中可可逆逆算算子子的的全全体体是是，试试证证是是设设EEE . )()( 1)( )()()()(111111111是是开开集集是是任任

8、意意的的，所所以以的的内内点点，因因是是，故故就就有有时时，有有有有界界逆逆，这这说说明明，当当也也有有有有界界逆逆，即即有有有有界界逆逆，从从而而有有有有界界逆逆，又又故故时时，当当，则则，设设中中可可逆逆算算子子的的全全体体为为设设GGAGAGBABABBAAIABAAIBAABAAABABAAIABAABEBGAGE 9.)()( . 9111 BABABAABEAEBA，若若，证明：，证明：，、设设BABAAABABAABBAAABABAAB1111111 ，由此又得：，由此又得：，即，即，所以，所以因为因为10. .101完完备备的的条条件件不不能能去去掉掉间间举举例例说说明明共共鸣

9、鸣定定理理中中空空E. 0)(00)()( )( )(0)()(0)( | )(1101010101011010能能成成立立不不完完备备时时，共共鸣鸣定定理理不不这这说说明明当当不不是是有有界界的的，故故，但但显显然然有有），从从而而充充分分大大时时，故故当当有有限限个个只只有有定定的的是是有有界界数数列列（因因为为对对固固，则则：上上的的线线性性泛泛函函序序列列考考虑虑是是赋赋范范线线性性空空间间，有有定定义义，虽虽然然故故，时时，只只有有有有限限个个坐坐标标，因因为为中中定定义义范范数数，在在中中只只有有有有限限个个坐坐标标考考虑虑Efnfnxfnxxflxnxflxfllxlxxlxln

10、nnnniinnniniiiiii 11.)(0)(lim)( iv)()()( iii)()(0 ii)0)( i)(Banach .11xMxpExMxpxpxxypxpyxpxpxpxpExpEnnn ，都都有有，使使对对一一切切证证明明：必必存存在在时时，当当；时时，；上上泛泛函函，满满足足是是空空间间，是是设设 ).( )( 1 )( )(2)(2)()2(2)2(2)2(2)()2(21)(, 0 ).( )(0)( ),(000000000ExMxpxExMxpxpKrMxpKrxpxrxprxxrxprxrprxpKxrxpBxrxxExKxpBxKExxMxpMBxprxB

11、，从从而而有有即即得得，令令，由由此此可可知知从从而而，时时，于于是是，当当皆皆有有使使事事实实上上，设设有有，使使必必有有上上有有界界，则则在在，使使球球首首先先证证明明：如如果果存存在在一一12.)()(*)( B210 ),(B),(22)(),(0iv)2)()21,(),(21)(),(0iv)1)()21,(),( .)(11112221222221120111011111001000 xMxpMnxpBxEnxpBxBrrrxBBBrxBBrrxprxBxrxprxBxBrxBBrrxprxBxrxprxBxrxBBxpMnnnnnnnnnnn ，使使因因此此必必有有，这这是是不

12、不可可能能的的，从从而而完完备备，故故有有现现在在因因，有有，且且，：满满足足一一列列球球，依依此此方方法法，必必可可作作出出，则则，可可取取有有时时，使使当当知知有有，再再由由使使类类似似地地，必必有有，则则，取取时时，使使当当必必有有，由由条条件件使使，则则必必存存在在任任取取一一球球都都无无界界在在任任意意开开球球（闭闭球球）上上不不存存在在，则则满满足足条条件件的的由由前前面面证证明明可可知知，如如果果.1113).1( )()1( )()( .121 qqplqlpiiiiqii 收收敛敛，则则级级数数，一一切切为为一一数数列列，证证明明：若若对对设设，其其中中所所以以再再由由上上的

13、的有有界界线线性性泛泛函函，且且是是可可知知，由由：上上的的线线性性泛泛函函考考虑虑), 0 ,|,|()2( | |) (| )(| )1( | | )(|)( )( 1111/11/11)1(11111/11/111/11/111 pnnpnpnipiqnipqinnnniipiiniipinipipnipinpnpnipiniqniqipnipiiinqiniiinnpsignsignxffxfxfsignflfxxflxxffl 14.12.)(| ,2 , 1 | 3,2 , 1 0| )(| )(|)()()()3( |211/11111/11qipipipnipinniiinqi

14、niiiniiiiqiiiiiqipnipinlKnKnKfKfxflxlsignlf ，故，故上式表明上式表明）可知）可知由（由（，使，使有界，即存在有界，即存在由共鸣定理由共鸣定理，收敛，显然收敛，显然收敛，即收敛，即，从而，从而，则，则时，令时，令最后，因为当最后，因为当）可知）可知），（），（结合（结合（15)( 0)( 0Banach .1312221121ExxMxMExxMxME ，使得，使得则必存在则必存在，使得，使得如果存在常数如果存在常数空间，空间，下均为下均为与与为线性空间，它在范数为线性空间，它在范数设设ExxIxXxxIxIYXIXYIYxxMIxxMxXYxIxIE

15、EYEX : :),(),(11211211212121即即其逆映射也是有界的，其逆映射也是有界的，算子定理，算子定理，的有界线性算子，由逆的有界线性算子，由逆到到是是记记可以写成可以写成的映射，那么，的映射，那么，看成，看成上的恒同映射上的恒同映射，把，把，记记16., 2 , 1 |Banach .140中中稠稠密密在在试试证证必必有有的的线线性性算算子子，令令赋赋范范线线性性空空间间空空间间是是由由设设EMnxnTxExMFETnn .)()( )(24()(24(2)(24()(2)( 22),(0.),(),(Banach0021110111112110112111211121112

16、111112111111111111中中稠稠密密在在无无关关，故故与与，因因，且且，故故是是线线性性算算子子，由由现现在在因因，且且，即即知知取取，则则，设设可可设设，不不失失一一般般性性，使使，故故有有则则，令令，设设存存在在，使使故故有有球球不不是是稀稀疏疏集集，使使空空间间，故故必必有有是是，因因为为显显然然EMxnxxzrxMxzrxMxMxxnxTxnTxTxxrxxzMxzxnnrnnxzxnnrnrxnnrnxnnrnxnxnxznxnznTxTzxzTMxrxzrxxzMzrxBxxxxrxxExMrxBrxBMnEMEnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnin 17.)(

17、)( .150002010yTxTDxEyTxExxTDDxTnnn 且且时时，件件是是：当当是是闭闭算算子子的的充充分分必必要要条条证证明明.),(),(),(.),(),(),(| ),(00000000000000000000021闭闭算算子子即即是是闭闭的的，即即故故且且故故，时时，必必有有且且当当且且，反反之之，设设当当且且从从而而，则则子子空空间间，由由此此可可知知，若若的的闭闭线线性性是是是是闭闭算算子子，则则设设TGGyxyTxDxyTxxxyxTyxyTxDxyTxxxTxyDxGyxyxTxxEEDxTxxGTnnnnnnnn 18. .16算算子子定定理理试试用用闭闭图图

18、像像定定理理证证明明逆逆.:| ),( | ),(| ),(.11Banach:1121211212112121是是连连续续的的定定理理是是闭闭算算子子，根根据据闭闭算算子子所所以以闭闭线线性性子子空空间间，但但是是从从而而的的闭闭子子空空间间，是是连连续续，故故其其图图像像因因为为连连续续满满映映射射，是是空空间间，是是、，设设 TEETEyyTyGEEExxTxGEEExTxxGTTTEEEET19.1 , 01 , 0 .17必必是是有有限限维维的的中中是是闭闭的的，则则在在如如果果线线性性空空间间，上上连连续续可可微微函函数数组组成成的的是是由由一一些些设设MCMM.)1(1 | )( |max 013 .Banach1 , 01 , 000)( 1 , 0.1 , 01 , 0Banach1 , 0Banach1 , 0Banach1 , 0101111111111是有限维的是有限维的是列紧的，由此可知是列紧的，由此可知从而从而必等度连续，必等度连续，一致有