导数在经济学中应用

1、 第五节第五节 导数在经济中的应用导数在经济中的应用 一、一、 函数的变化率函数的变化率边际函数边际函数定义定义1 1 设函数设函数在点在点处可导，处可导，)(xfy x边际函数值。其含义为边际函数值。其含义为: :当当 时时, ,x改变一个单位，相改变一个单位，相0 xx )(xf在点在点0 x处的导数处的导数)(0 xf 称为称为)(xf在点在点0 x处的处的相应地相应地 y 约改变约改变 个单位个单位)(0 xf 为为的边际函数。的边际函数。)(xf )(xf称导函数称导函数当当 时时,)(0 xfy 1 x实际上，实际上，xxfdyy )(0 解解 , ,所以所以, ,xy4 205

2、xy22xy 在在5 x时的边际函数值。时的边际函数值。,试求试求例例1 1 设函数设函数 边际成本是总成本的变化率。设边际成本是总成本的变化率。设C C为总成本，为总成本，下面介绍几个常见的边际函数下面介绍几个常见的边际函数:1 1边际成本边际成本 1C为固定成本，为固定成本，则有则有C2为可变成本，为可变成本， 为平均成本，为平均成本，C为边际成本，为边际成本，C 为产量，为产量，Q总成本函数总成本函数 12( )( )CC QCC Q平均成本函数平均成本函数 12( )( )CC QCC QQQ 边际成本函数边际成本函数 ( )CC Q 例例2 2 已知某商品的成本函数为已知某商品的成本

3、函数为, ,时的总成本，平均成本及边际成本。时的总成本，平均成本及边际成本。10Q 求当解解 由由21004QC 1004QCQ 2QC 于是当于是当Q=10 时时,C(Q)=125,21004QC 令令 得得边际成本边际成本平均成本平均成本 5 .12)10( C5)10( C 3200CQ 2100Q Q 为多少时，平均成本最小为多少时，平均成本最小? ?例例3 3 在例在例2 2中，当产量中，当产量解解 C41 0C2400Q 20Q 0)20( C所以所以,当当Q = 20= 20时平均成本最小。时平均成本最小。2 2收益收益 平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到平均收益是生产

4、者平均每售出一个单位产品所得到的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。 设设P P为商品价格，为商品价格，Q 为商品量，为商品量，R R 为总收益，为总收益， 为平为平均收益，均收益， 为边际收益，则有为边际收益，则有 R需求函数需求函数 总收益函数总收益函数 平均收益函数平均收益函数 边际收益函数边际收益函数 ( )R QRQ ( )QPP ( )RR Q ( )RR Q R 需求与收益有如下关系需求与收益有如下关系: :总收益总收益 平均收益平

5、均收益 边际收益边际收益( )( )RR QQP Q ()()()()R QQP QRR QP QQQ ()()()RR QQP QP Q( )( )R QRR QQ总收益与平均收益及边际收益的关系为总收益与平均收益及边际收益的关系为0( )( )QR QR Q dQ 求销售量为求销售量为3030时的总收益，平均收益与边际收益。时的总收益，平均收益与边际收益。 105QP 2()()10(30)=1205，QR QQP QQR ( )( )10,5QR QP Q 4)30( R例例4 4 设某产品的价格和销售量的关系为设某产品的价格和销售量的关系为解解 总收益总收益 平均收益平均收益 边际收益

6、边际收益 2( )10,5R QQ 2)30( R Q( )R Q3 3利润利润 在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量的函数，分别记为的函数，分别记为和和，则总利润，则总利润可表可表 ( )C Q( )L Q示为示为( )( )( )LL QR QC Q( )( )( )L QR QC Q 最大利润原则最大利润原则:取得最大值的必要条件为取得最大值的必要条件为 ( )L Q( )0L Q ( )( )R QC Q 即即所以取得最大利润的必要条件是所以取得最大利润的必要条件是: :边际收益等于边际成本边际收益等于边际成本 105QP 502CQ 例

7、例5 5 已知某产品的需求函数为已知某产品的需求函数为 成本函数为成本函数为 问产量为多少时总利润问产量为多少时总利润 L L 最大最大? ?解解 已知已知 ,105QP 502CQ 于是有于是有2( )105QR QQ2( )( )( )8505QL QR QC QQ 2( )8,5L QQ 2( )5L Q 令令 得得( )0L Q 20Q 0)20( L所以当所以当Q=20=20时总利润最大时总利润最大例例6 6某工厂生产某种产品，固定成本某工厂生产某种产品，固定成本2000020000元，每生产元，每生产一单位产品，成本增加一单位产品，成本增加100100元。已知收益元。已知收益 (

8、)( )( )LL QR QC QQ()2000100QQ C C = = C C解解 根据题意，总成本函数为根据题意，总成本函数为是年产量是年产量的函数的函数21400()280000QQRR Q 0400Q400Q 问每年生产多少产品时总利润最大问每年生产多少产品时总利润最大?此时总利润是多少此时总利润是多少?从而可得总利润函数为从而可得总利润函数为21300200000400260000100400QQQQQ R R ( )( )( )L QR QC Q 3000400100400QQQ 令令 得得( )0L Q300Q 由于由于 ,故故 时利润最大时利润最大01)300( L300Q

9、此时此时2500020000900002190000)300( L 即当生产量为即当生产量为300个单位时个单位时, 总利润最大总利润最大,其最大其最大利润为利润为25000元元. 2( )54186C QQQ例例7 设某产品的成本函数为设某产品的成本函数为 试求使平均成本最小的产量水平。试求使平均成本最小的产量水平。 解解 平均成本平均成本 ( )54( )186C QC QQQQ( )6 ,254C QQ 3108( )CQQ 令令 解得解得( )0C Q 3Q ,由于由于27108)3( C所以所以 是平均成本是平均成本 的最小值点也就是的最小值点也就是平均成本最小的产量水平平均成本最小

10、的产量水平 3Q ( )C Q此时此时 )3(54)3(CC 即即 时时,边际成本等于平均成本也使平均成本达到最小边际成本等于平均成本也使平均成本达到最小. 3Q 二、二、 函数的相对变化率函数的相对变化率函数的弹性函数的弹性1 1、弹性、弹性定义定义2 2 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x)()()(0000 xfxfxxfyy 与自变量的相对改变量与自变量的相对改变量0 xx 之比之比00 xxyy 称为函数从称为函数从0 xx 到到xxx 0当当时，时，的极限称为的极限称为)(xf在在导数，也就是相对变化率，或称弹性。导数，也就是相对变化率，或称弹性。两点间的相对变化率，两点间的相

11、对变化率，0 x00 xxyy 0 xx 或称两点间的弹性或称两点间的弹性处的相对处的相对记作记作 00)(;0ExxEfExEyxx 处可导处可导,函数的相对改变量函数的相对改变量是是 的函数的函数,若若 可导可导 即即000lim0 xxyyExEyxxx 000limyxxyx )()(000 xfxxf 0 x0 xxExEy 为定值。为定值。对一般的对一般的x)(xfxxyyExEyx 0limyxxyx 0limyxy x)(xf的弹性函数。的弹性函数。函数函数 在点在点 的弹性的弹性 反映了随着反映了随着 的变化的变化)(xf)(xfExEx 变化幅度的大小变化幅度的大小,也就是

12、也就是 随随 变化反映的强烈变化反映的强烈程度或灵敏度程度或灵敏度.)(0 xfExE表示在表示在 ,当当 产生产生1%的变化时的变化时, 近似的近似的称为称为当当为定值时为定值时则有则有改变改变%)(0 xfExE0 xx xx)(xfx)(xf)(xf( ( 为常数）的弹性函数。为常数）的弹性函数。 例例9 9 求函数求函数 在在 处的弹性处的弹性. . xy23 3 x2 y解解,232xxyxyExEy 32323323 xExEy例例10 求幂函数求幂函数 xy 解解 ,1 xyaxxxExEy 1 可以看到，幂函数的弹性函数为常数，即在任意点可以看到，幂函数的弹性函数为常数，即在任

13、意点处弹性不变，所以称为不变弹性函数处弹性不变，所以称为不变弹性函数 为商品在价格为时的需求价格弹性记为即为商品在价格为时的需求价格弹性记为即2 2需求弹性需求弹性* * * * * * “需求需求”是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有能力购买的商品量。通常需求是价格的函数，能力购买的商品量。通常需求是价格的函数，P P 表示商品表示商品的价格的价格, ,Q 表示需求量，表示需求量， 称为需求函数。称为需求函数。 ( )Qf P 定义定义3 设某商品的需求函数在设某商品的需求函数在P处可导处可导,称称 ( )EQPfPEPQ ()=()EQPPf

14、PfPEPQf P 解解 需求弹性函数为需求弹性函数为例例11 已知某商品的需求函数已知某商品的需求函数 求求 ,10PeQ ,101)(10PePfQ 5,10,15PPP10101( )1010PPPPPfPeQe 时的需求弹性并说明其意义时的需求弹性并说明其意义 ,5 . 0)5( 说明说明P=5时，价格上涨时，价格上涨1%，需求量减少，需求量减少0.5,1)10( 说明说明P=10时，价格与需求的变动幅度相同时，价格与需求的变动幅度相同,5 . 1)15( 说明说明P=15时，价格上涨时，价格上涨1%，需求量减少，需求量减少1.5历年考题(2007二）二）某企业生产某种产品，其固定成本

15、为某企业生产某种产品，其固定成本为 3 万元，每多生产一百万元，每多生产一百件产品，成本增加件产品，成本增加 2 万元；总收入万元；总收入(单位：万元单位：万元) R 是产量是产量q（单位：（单位：百件）的函数百件）的函数 ， 问：当产量为何值时问：当产量为何值时,利润最大？最大利润是多少？利润最大？最大利润是多少？2(3)-0.5 3 +3 3-3=1.5L 万万元元(q)10,L 解解 成本函数为成本函数为C（q)=3+2q,则利润函数为则利润函数为L（q)=R(q)-C(q)=5q-0.5*q2-3-2q=3q-0.5*q2-3(q)-q3,( )0,3LL qq 令令得得所以当产量为所

16、以当产量为3百件时，利润最大，最大利润为百件时，利润最大，最大利润为 （2007二）某种商品的需求量二）某种商品的需求量Q（单位：百件）与价（单位：百件）与价格格 p（单位：千元）的关系为（单位：千元）的关系为 33( )5315PPPPPQ PeQe 99=3A3P，所以A 3 B -3 C 9 D -9 （2008二）已知某商品的收入函数为二）已知某商品的收入函数为 , 则则当当Q=（ ）时边际收入为）时边际收入为0 A 3 B 4 C 5 D 6 22R (Q)=2-QR (Q)=2-Q=0Q=333 解解 ，令令，得得所以选所以选A 22L x11251025,x044xxxxx 解解

17、：唯唯一一极极大大值值，即即最最大大值值 Lx10,Lx =0202xx 令令，得得 1L200,L 20752所以万元，极大值， （2008二）某工厂按现有设备每月生产二）某工厂按现有设备每月生产x个商品，总费用个商品，总费用为为 （万元），若将这些商品以每个（万元），若将这些商品以每个11万元售万元售出，问每月生产多少个商品时利润最大？最大利润是多少？出，问每月生产多少个商品时利润最大？最大利润是多少？260060(10)100010(120060 )601800130001201800,015120015500LyyyyyLyLyLyL 销售量生产量，即销量令得唯一驻点为极大值点，故为最

18、大值点，此时 2C0.2102000 xxx（2009二）已知某产品的总成本函数二）已知某产品的总成本函数C与产量与产量x的关系为的关系为则当产量则当产量x=10时，其边际成本为时，其边际成本为:B 14（2009二）某工厂生产件商品的总成本某工厂生产件商品的总成本 ，当销售价格为当销售价格为10（百元（百元/件）时，销售量为件）时，销售量为600件，销售价件，销售价格每提价格每提价1（百元（百元/件），则销售量将减少件），则销售量将减少60件，问：当每件，问：当每件的销售价格定为多少时，利润最大件的销售价格定为多少时，利润最大?最大利润是多少？最大利润是多少？( )100010C xx解：设

19、销售价格为解：设销售价格为y，利润为，利润为 L （2010二）二）( )2 ,5(5)10fPP Pf ，2222(1) :()()2P7575PPPPQPQPP 22R=P(75-P ),R753R=0P=5PPP，令，得 R (5)300,R 5 =250 又，极大值（也是最大值）(2) 边际需求函数为边际需求函数为（3）总收益）总收益即当即当P=5时，总收益最大，最大总收益为时，总收益最大，最大总收益为250 (2011二）已知某产品的总收益函数与销售量的关系为 （千元），则销售量x=30时的边际收益为（-20 ） 2Q=20LQ =-0,Q=20LL20 =305得，又所以，当时，总

20、利润 最大，最大利润 （）2()1 012xRxx22L(Q)8Q50,L (Q)8.L (Q)=055QQ令， 50-QC(Q)502 ,L Q =Q- 5025QQ 成本函数价格函数日总收益成本函数：利润函数（）(2011二）某工厂生产某产品时，日总成本为二）某工厂生产某产品时，日总成本为C元，其中元，其中固定成本为固定成本为50元，每多生产一单位产品，成本增加元，每多生产一单位产品，成本增加2元，元，该产品的需求函数为该产品的需求函数为 ，求，求Q 为多少时，工为多少时，工厂日总利润最大？最大利润是多少？厂日总利润最大？最大利润是多少？505Qp (2012二）已知某产品的需求函数为 其

21、中P为价格，Q 为需求量，则该产品的需求弹性函数为（P/4 ） 4Q ()PPe 22L Q = 10Q-0.01Q- 2005=-0.01Q +5Q-200,L=-0.02Q+5 L (Q =-0.02L=0250,L (250 =-0.020Q=250L 250 =425QQQQ（3）总利润函数=,），由又）当时，利润最大，最大利润为（万元） 200R(Q)100.02QQR QQdQ=dQ=10Q-0.01Q ， C(Q)2005 ,C Q =5(Q成本函数：边际函数万元）(2012二）某工厂生产某产品的固定成本为二）某工厂生产某产品的固定成本为200万元，每万元，每多生产一吨该产品，成本增加多生产一吨该产品，成本增加5万元，该产品的边际收益万元，该产品的边际收益函数为函数为 ，其中，其中Q（单位：吨）为产量，（单位：吨）为产量，求（求（1）该产品的边际成本函数）该产品的边际成本函数 （2）该产品的总收益）该产品的总收益函数函数 （3） Q 为多少时，工厂日总利润最大？最大利