柱体、锥体、台体球体的表面积和体积综合课件

1、1.3.1 柱体、锥体、柱体、锥体、台体的表面积和体积台体的表面积和体积 在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积空间问题空间问题平面问题平面问题多面体的平面展开图多面体是由一些平面多边形围成的几何体，沿多面体是由一些平面多边形围成的几何体，沿着多面体的某些棱将它剪开，各个面就可展开着多面体的某些棱将它剪开，各个面就可展开在一个平面内，得到一个平面图形在一个平面内，得到一个平面图形,这个平面图

2、这个平面图形叫做该多面体的平面展开图形叫做该多面体的平面展开图. 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图ha正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？侧面展开正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算

3、它的表面积？面积？侧面展开hh正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和h 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面，各面均为等边三角形的四面体体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 D 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成组成,因此只要求因此只要求.因为因为SB=a，

4、aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积 交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作SBCBCSD BCASaOOr)(2222lrrrlrS圆柱表面积lr2圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形)(2lrrrlrS圆锥表面积r2lOr 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么面展开图是什么 )(22rllrrrS圆台表面积r2lOrO r2 r圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧

5、面展开图是扇环lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS锥)(22rllrrrS台 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？rrr0 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆，盆底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取取3.143.14，结果精确到，结果精

6、确到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm15 解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：2225 . 11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 999 2cm例例3蜜蜂爬行的最短路线问题蜜蜂爬行的最短路线问题.易拉罐的易拉罐的底面直径底面直径为为8cm,高高25cm.分析分析: 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开,将问题转化为平面几何的问题将问题转化为平面几何的问题. AB柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各面面积之和rr0 r展

7、开图展开图)(22rllrrrS 圆台圆台圆柱圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥圆锥7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、 圆锥、圆台的体积 1 1、通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的、通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法求法2 2、了解柱、锥、台的体积计算公式；能运用柱锥台的体积、了解柱、锥、台的体积计算公式；能运用柱锥台的体积公式进行计算和解决有关实际问题公式进行计算和解决有关实际问题3 3、培养学生空间想象能力和思维能力、培养学生空间想象能力和思维能力瞧，这么宏伟壮观的金字塔呀！瞧，这么宏伟壮观的金字塔呀！ 你们能求出它的体积吗？你们能求出它的体积吗？看，这不是不

8、复存在的世贸大厦吗？看，这不是不复存在的世贸大厦吗？ 这两个棱柱的体积怎么求？这两个棱柱的体积怎么求？DABCD1A1B1C1abcSdVabcVSh=长方体底或2222dabc=+、长方体的体积、长方体的体积等底等高柱体等底等高柱体的体积相等吗？的体积相等吗？2 2、柱体的体积、柱体的体积等底等高柱体的体积相等等底等高柱体的体积相等VS h=柱底hS底S底S底h3 3、锥体的体积、锥体的体积等底等高锥体的体积相等等底等高锥体的体积相等h13VS h=锥底4 4、台体体积、台体体积由于圆台由于圆台( (棱台棱台) )是由圆锥是由圆锥( (棱锥棱锥) )截成的，截成的，因此可以利用两个锥体的体积

9、差得到圆因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台台( (棱台棱台) )的体积公式的体积公式根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？ABABCDCDPS下S上hPABCDPA B C DVVV-=-1()3SS SSh=+下下上上例例1 1、埃及胡夫金字塔大约建于公元前、埃及胡夫金字塔大约建于公元前25802580年年, ,其形状为正四其形状为正四棱锥棱锥. .金字塔高金字塔高146.6146.6米米, ,底面边长底面边长230.4230.4米米. . 这座金字塔的侧这座金字塔的侧面积和体积各是多少面积和体积各是多少. .解解: :如图如图,AC,AC为高为高,BC,BC

10、为底面的边为底面的边 心距心距, ,则则AC=146.6,BC=115.2,AC=146.6,BC=115.2, 底面周长底面周长 c=4c=4230.4.230.4.12Sc AB=侧面积2214230.4115.2146.62=创285916.2().m211230.4146.633VS AC=创32594046.0().m答答: :金字塔的侧面积约是金字塔的侧面积约是 , ,体积约是体积约是 .285916.2m32594046.0mONP例例2 2、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg.5.8kg.已知底面已知底面六六 边形的边长是边形的边长是1

11、2mm,12mm,高是高是10mm,10mm,内孔直径是内孔直径是10mm,10mm,那么约那么约有毛坯多少个有毛坯多少个?(?(铁的比重是铁的比重是7.8g/cm7.8g/cm3 3) ) 分析：分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差柱的体积的差. .解解: :V V正六棱柱正六棱柱=3=312122 2 103.74103.7410103 3(mm(mm3 3) ) V V圆柱圆柱=3.14=3.145 52 2100.785100.78510103 3(mm(mm3 3) ) 毛坯的体积毛坯的体积V=3.74V=3.

12、7410103 3-0.785-0.78510103 3 2.96 2.9610103 3(mm(mm3 3)=2.96(cm)=2.96(cm3 3) ) 约有毛坯：约有毛坯：5.85.810103 3(7.8(7.82.96)2.52.96)2.510102 2( (个个) ) 答答: :这堆毛坯约有这堆毛坯约有250250个个. .ONP32柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？1()3VSS SSh=+下下上上S S为底面面积，为底面面积，h h为锥体高为锥体高ShV 0S=上S S分别为上、下底面分别为上、下底面面积，面积，h h 为台体

13、高为台体高ShV31SS=下上S S为底面面积，为底面面积，h h为柱体高为柱体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小2 2、用一张长、用一张长12cm12cm、宽、宽8cm8cm的铁皮围成圆柱形的侧面，的铁皮围成圆柱形的侧面，该圆柱体积为该圆柱体积为_1 1、已知一正四棱台的上底面边长为、已知一正四棱台的上底面边长为4cm,4cm,下底面边长为下底面边长为8cm,8cm,高为高为3cm,3cm,其体积为其体积为_112cm112cm3 333288192cmcmpp或（2 2）柱、锥、台体积的计算公式及它们之间的联系）柱、锥、台体积的计算公式及它们之间的联系(1)(1)体积度量的基本思路：体积度

14、量的基本思路：长方体体积公式是计算其他几何体体积的基础长方体体积公式是计算其他几何体体积的基础. .长方体长方体正方体正方体台体台体柱体柱体锥体锥体特殊到一般的数学思想特殊到一般的数学思想不论去往何方，身后永远有不变的祝福，凝注的眼光母校用宽大的胸怀包容我们，等待我们，期许我们。西伯利亚西伯利亚封底封底退出退出书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 勤 奋、守 纪、自 强、自 律！l掌握球的体积、表面积公式掌握球的体积、表面积公式l掌握球的表面积公式、体积公

15、式的推导过程及主要思掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思想进一步理解分割想进一步理解分割近似求和近似求和精确求和的思想方法精确求和的思想方法l会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养学生应用数学的能力学生应用数学的能力l能解决球的截面有关计算问题及球的能解决球的截面有关计算问题及球的“内接内接”与与“外外切切”的几何体问题的几何体问题球的体积公式的推导球的体积公式的推导球的体积公式及应用球的体积公式及应用球的表面积公式及应用球的表面积公式及应用球的表面积公式的推导球的表面积公式的推导l教学重点l教学难点化为准确和思想方法化为准确和思

16、想方法求近似和求近似和分割分割R.34,32:33RVRV 从从而而猜猜测测半半球球? 半球半球V331RV 圆圆锥锥333RV 圆圆柱柱高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法 我们把一个半径为我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是.的的矩矩形形和和RR .2R 于于那那么么圆圆的的面面积积

17、就就近近似似等等当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式份数无穷大时，就得到了圆的面积公式法法导导出出球球的的体体积积公公式式下下面面我我们们就就运运用用上上述述方方即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和,21RRr ,)(

18、222nRRr ,)2(223nRRr AOB2C2AOOR)1( inR半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOAnininRnRrVii,2,1,)1(1232 niinRRri,2,1,)1(22 nVVVV 21半半球球)1(2122223nnnnR 6) 12() 1(123 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn时时当当.343233RVRV 从从而而半半球球334RVR 的的球球的的体体积积为为：定定理理：半半径径是是2)2)若每小块表面看作一个平面若每小

19、块表面看作一个平面, ,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面, ,球心作为球心作为顶点便得到顶点便得到n n个棱锥个棱锥, ,这些棱锥体积之和近似为球的体积这些棱锥体积之和近似为球的体积. .当当n n越大越大, ,越接近于球的体积越接近于球的体积, ,当当n n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. .1) 1)球的表面是曲面球的表面是曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n n个小块个小块, ,每小块表面可近似看作一个平面每小块表面可近似看作一个平面, ,这这n n小块平面面积之和可近似小块平面面积之和可近似看作球的

20、表面积看作球的表面积. .当当n n趋近于无穷大时趋近于无穷大时, ,这这n n小块平面面积之和接小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积近于甚至等于球的表面积. . 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢求出，如何求球的表面积公式呢? ?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法, ,是否也可借助于这种是否也可借助于这种极限极限思想方法来推导球的表面积公式呢思想方法来推导球的表面积公式呢? ? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式oi

21、S o第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积为：则球的体积为：iV 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为iVnVVVVV 321iSO OO O第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O第第三三步：步：化化为为准准确确和和RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: “: “小小锥体锥体”就越接近小棱锥就越

22、接近小棱锥RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的体体积积为为：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 从从而而Rhi的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径径 例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积. .3336125)25(3434cmRV (变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.( .(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )(变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空

23、心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.( .(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.14234)25(349.733 x 3.1149.73142)25(33 x由计算器算得由计算器算得:24. 2 x5 . 42 x( (变式变式2) 2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, ,至少要用多少纸至少要用多少纸? ?用料最省时用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球

24、与正方体有什么位置关系? ?球内切于正方体球内切于正方体2215056cmS 侧侧侧棱长为侧棱长为5cm例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各它的各个顶点都在球个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直

25、径相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OOABCO 例已知过球面上三点例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积，表面积体积，表面积解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R，截面截面 O的半径为的半径为r，r332AB2332AO 是是正正三三角角形形，ABCROO ,2 .34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222

26、AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ;81256)34(343433 RV例例.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，求球的体积，表面积表面积2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,这个球的体积为这个球的体积为cm3. 8 3323.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于一球切于正方体的各侧棱正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这求这三个球的体积之比三个球的体积之比_.1.球

27、的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍.练习一练习一33:22:14.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_. .练习二练习二2422:134:11.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍.2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.7.7.将半径为将半径为1 1和和2 2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么的两个铅球，熔成一个大

28、铅球，那么 这个大铅球的表面积是这个大铅球的表面积是_.5.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_. .15,5,36.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为4848 , ,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为1212 , , 则两球的直径之差为则两球的直径之差为_. .练习二练习二 94 3312l了解球的体积、表面积推导的基本思路：了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割分割求近似和求近似和化为标准和的方法，是化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法一种重要的数学思想方法极限思想，它极限思想，它是今后要学

29、习的微积分部分是今后要学习的微积分部分“定积分定积分”内内容的一个应用；容的一个应用；l熟练掌握球的体积、表面积公式：熟练掌握球的体积、表面积公式：23434RSRV 习题习题9.11 P.74 5、6 、7、8预习小结与复习预习小结与复习P.75P.77 夹在夹在两个平行平面两个平行平面之间的两个空间几何体，被平行之间的两个空间几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的截面的面积总相等面积总相等，那么这两个空间几何体的，那么这两个空间几何体的体积相等体积相等棱柱的体积公式棱柱的体积公式:V=S h重要结论：等底等高的两个棱柱的体积

30、相等棱锥的体积棱锥的体积棱柱的体积公式棱柱的体积公式:V=S h问题1.棱锥的体积公式是什么? 问题2.棱锥的体积公式是如何推导的. 重要结论: 等底等高的两个等底等高的两个三锥的体积相等三锥的体积相等 ABCA31CB把三棱锥以ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱。 如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31ABCACB连接BC,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。 就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。23 如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的

31、体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31 就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。BCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCA23 如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31CACB3ABCA1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2ABCA1三棱锥1、2的底ABA、BAB的面积相等， 高也相等（顶点都是C）。A1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2ABCA1高高 如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31BCAB2CACB3ABCA1三棱锥1、2的底ABA、BAB的面积相等。 如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA131CACB3BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2三棱锥三棱锥2 2、3 3的底的底BCBBCB、CBCCBC的