第12讲　反比例函数及其图象

1、数学第12讲反比例函数及其图象 第12讲反比例函数及其图象 1概念：函数_ykx(k0)_叫做反比例函数2图象：反比例函数的图象是双曲线，不与两坐标轴相交的两条双曲线3性质：(1)当 k0 时， 其图象位于_第一、 三象限_， 在每个象限内，y 随 x 的增大而_减小_； (2)当 k0 时，其图象位于_第二、四象限_，在每个象限内，y 随 x 的增大而_增大_；(3)其图象是关于原点对称的中心对称图形， 又是轴对称图形4应用：如图，点 A 和点 C 是反比例函数 ykx(k0)的图象上任意两点，画 ABx 轴于点 B，CDy 轴于点 D，则有 SAOBSCOD|k|2； 注意根据图象所在象限

2、来确定 k 的符号 一个模型一个模型 反比例函数关系在生产、生活、科技等方面广泛反比例函数关系在生产、生活、科技等方面广泛应用应用，解决这类问题的关键是将实际问题数学化解决这类问题的关键是将实际问题数学化，建建立反比例函数的模型立反比例函数的模型，然后利用反比例函数的性质、然后利用反比例函数的性质、图象解决问题注意：反比例函数的图象反映的变化图象解决问题注意：反比例函数的图象反映的变化规律明显规律明显，常利用它的图象找出解决问题的方案常利用它的图象找出解决问题的方案 一个思想一个思想 数形结合思想就是把图形与数量关系巧妙、和谐地数形结合思想就是把图形与数量关系巧妙、和谐地结合起来结合起来，使数

3、学问题更直观、更容易解决这一思想在使数学问题更直观、更容易解决这一思想在这一讲中应用非常广泛例如借助函数的图象比较大小这一讲中应用非常广泛例如借助函数的图象比较大小等等 两个防范两个防范 (1)反比例函数中反比例函数中，y随随x的大小而变化的情况的大小而变化的情况，应分应分x0与与x0两种情况讨论两种情况讨论，而不能笼统地说成而不能笼统地说成“k0时时，y随随x的增大而增的增大而增大大”双曲线上的点在每个象限内双曲线上的点在每个象限内，y随随x的变化是一致的的变化是一致的，但在不同但在不同象限内的两个点比较函数值的大小时象限内的两个点比较函数值的大小时，当当k0时时，第一象限内的点第一象限内的

4、点的纵坐标都为正的纵坐标都为正，而第三象限内的点的纵坐标值都为负；当而第三象限内的点的纵坐标值都为负；当k0时时，第二象限内的点的纵坐标值都为正第二象限内的点的纵坐标值都为正，而第四象限内的点的纵坐标值都而第四象限内的点的纵坐标值都为负为负 (2)在比较大小时在比较大小时，不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支组成的支组成的(分别在不同的两个象限分别在不同的两个象限)，在不同的象限是不能用它的性质在不同的象限是不能用它的性质来判断的来判断的，而是要分别讨论运用反比例函数的性质时而是要分别讨论运用反比例函数的性质时，要注意在每要注意在每一个象限内的要求一个

5、象限内的要求 1 (2014株洲)已知反比例函数 ykx的图象经过点(2， 3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是()A(6，1)B(1，6)C(2，3)D(3，2)2(2014随州)关于反比例函数 y2x的图象， 下 列 说 法正确的是()A图象经过点(1，1)B两个分支分布在第二、四象限C两个分支关于 x 轴成轴对称D当 x0 时，y 随 x 的增大而减小AD 3(2014杭州)函数的自变量 x 满足12x2 时，函数值 y满足14y1，则这个函数可以是()Ay12xBy2xCy18xDy8xA 解析：把解析：把x2(1)2(1)代入四个选项中的解析式可得代入四个选项中的解析式可得

6、y的值的值，再再把把x2代入解析式可得代入解析式可得y的值的值，然后可得答案然后可得答案 4(2014温州)如图，矩形 ABCD 的顶点 A 在第一象限，ABx 轴，ADy 轴，且对角线的交点与原点 O 重合在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变化过程中，若矩形 ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点A 的反比例函数ykx(k0)中k的值的变化情况是()A一直增大B一直减小C先增大后减小D先减小后增大A 解析：设矩形解析：设矩形ABCD中中，AB2a，AD2b. 矩形矩形ABCD的周长始终保持不变的周长始终保持不变， 2(2a2b)4(ab)为定值为定值， ab为定值为定值矩形对角线的

7、交点与原点矩形对角线的交点与原点O重合重合， kABADab，又又ab为定值时为定值时，当当ab时时，ab最大最大， 故选故选C 5(2014绍兴)如图，边长为 n 的正方形 OABC的边 OA，OC 在坐标轴上，点 A1，A2， ，An1为OA 的 n 等分点，点 B1，B2， ，Bn1为 CB 的 n 等分点，连结 A1B1，A2B2， ，An1Bn1，分别交曲线 yn2x(x0)于点 C1， C2， ， Cn1.若 C15B1516 C15A15，则 n 的值为_(n 为正整数)17 解析：正方形 OABC 的边长为 n，点 A1，A2， ，An1为 OA 的 n 等分点，点 B1，B2

8、， ，Bn1为 CB 的 n 等分点，OA1515，OB1515.C15B1516C15A15，C15(15，n17)，点 C 在曲线 yn2x(x0)上，15n17n2，解得 n17 反比例函数图象的确定反比例函数图象的确定【例 1】 已知图中的曲线是反比例函数 ym5x(m 为常数)图象的一支(1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？(2)若该函数的图象与正比例函数y2x 的图象在第一象限内的交点为 A， 过 A 点作 x轴的垂线， 垂足为点 B， 当OAB的面积为 4 时，求点 A 的坐标及反比例函数的解析式解：这个反比例函数图象的另一支在第三象限解：这个反比例

9、函数图象的另一支在第三象限， mm50， mm5 解：点 A 在直线 y2x 上，设点 A 的坐标为(x0，2x0)(x00)，则点 B 的坐标为(x0，0)SOAB4，12x02x04，x02(舍去负值)，点 A 的坐标为(2，4)，又点 A 在双曲线 ym5x上，4m52，m58.反比例函数的解析式为 y8x【点评】一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系数的值，反过来由图象的性质， 也可以确定系数的符号 要熟记函数的性质并灵活应用这些性质 1(1)(2013荆门荆门)若反比例函数若反比例函数y 的图象过点的图象过点(2，1)，则一次函数则一次函数ykxk的图象过的图象过( )A第一、二、

10、四象限第一、二、四象限 B第一、三、四象限第一、三、四象限C第二、三、四象限第二、三、四象限 D第一、二、三象限第一、二、三象限kxA (2)(2013毕节毕节)一次函数一次函数ykxb(k0)与反比例函数与反比例函数y(k0)的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示示，则则k，b的取值范围是的取值范围是( ) Ak0，b0 Bk0，b0 Ck0，b0 Dk0，b0 (2)(2013毕节毕节)一次函数一次函数ykxb(k0)与反比例函数与反比例函数y(k0)的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示示，则则k，b

11、的取值范围是的取值范围是( C )Ak0，b0 Bk0，b0Ck0，b0 Dk0，b0解析：一次函数 ykxb 的图象经过第二、三、四象限，k0，b0，又反比例函数 ykx(k0)的图象经过第二、四象限，k0，综上所述 k0，b0，故选 C 待定系数法确定反比例函数解析式待定系数法确定反比例函数解析式【例例2】(2014广安广安)如图如图，反比例函数反比例函数y(k为常数为常数，且且k0)经过点经过点A(1，3)(1)求反比例函数的解析式；求反比例函数的解析式；(2)在在x轴正半轴上有一点轴正半轴上有一点B，若若AOB的面积为的面积为6，求直求直线线AB的解析式的解析式解：(1)反比例函数 y

12、kx(k 为常数，且 k0)经过点 A(1，3)，3k1，解得 k3，反比例函数的解析式为 y3x (2)设 B(a，0)，则 BOa，AOB 的面积为 6，12a36，解得 a4，B(4，0)，设直线 AB 的解析式为 ykxb，经过 A(1，3)B(4，0)，3kb，04kb，解得k1，b4，直线 AB 的解析式为 yx4【点评】反比例函数表达式中只有一个待定系数，由一对已知对应值即可确定函数解析式，而一次函数中有两个待定系数，要求出其系数，需要已知两对对应值 2(2014襄阳)如图，一次函数 y1x2 的图象与反比例函数 y2kx的图象相交于 A，B 两点，与 x 轴相交于点 C.已知

13、tanBOC12，点 B 的坐标为(m，n)(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出当 xm 时，y2的取值范围 解：(1)作 BDx 轴于点 D，如图，在 RtOBD中，tanBOCBDOD12，nm12，即 m2n，把点 B(m，n)代入 y1x2 得 nm2，n2n2，解得 n2，m4，B 点坐标为(4，2)，把 B(4，2)代入 y2kx得 k4(2)8，反比例函数解析式为 y28x(2)当 x4，y2的取值范围为 y20 或 y22 【点评点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关解答该类问

14、题的关键是确定两个变量之间的函数关系系，然后利用待定系数法求出它们的关系式若问题中然后利用待定系数法求出它们的关系式若问题中两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系，而是而是二者的复合二者的复合，则应分段讨论则应分段讨论，并注意在实际问题中提炼并注意在实际问题中提炼出函数模型出函数模型，往往要加自变量的取值范围往往要加自变量的取值范围 3(2013玉林玉林)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序造两个工序，即需要将材料烧到即需要将材料烧到800 ，然后停止煅烧进行锻然后停止煅烧进行锻造操作造操作，在在8

15、 min时时，材料温度降为材料温度降为600 .煅烧时温度煅烧时温度y()与时与时间间x(min)成一次函数关系；锻造时成一次函数关系；锻造时，温度温度y()与时间与时间x(min)成成反比例函数关系反比例函数关系(如图如图)已知该材料初始温度是已知该材料初始温度是32 .(1)分别求出材料煅烧和锻造时分别求出材料煅烧和锻造时y与与x的函数解析式的函数解析式，并且写出并且写出自变量自变量x的取值范围；的取值范围；(2)根据工艺要求根据工艺要求，当材料温度低于当材料温度低于480 时时，须停止操作须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？那么锻造的操作时间有多长？ 解：(1)停止加热时，设 ykx(

16、k0)，由题意得 600k8，解得 k4800，当 y800 时，4800 x800，解得 x6，点 B的坐标为(6， 800)， 材料加热时， 设 yax32(a0)，由题意得 8006a32，解得 a128，材料加热时， y 与 x 的函数关系式为 y128x32(0 x6)停止加热进行操作时 y 与 x 的函数关系式为 y4800 x(x6)(2)把 y480 代入 y4800 x，得 x10，1064(分)， 故锻造的操作时间有 4 分钟 反比例函数与几何图形的结合反比例函数与几何图形的结合【例例4】(2014德州德州)如图如图，双曲线双曲线y(x0)经过经过OAB的顶点的顶点A和和O

17、B的中点的中点C，ABx轴轴，点点A的坐标为的坐标为(2，3)(1)确定确定k的值；的值；(2)若点若点D(3，m)在双曲线上在双曲线上，求直线求直线AD的解析式；的解析式；(3)计算计算OAB的面积的面积 解：(1)将点 A(2，3)代入解析式 ykx，得 k6(2)将 D(3，m)代入反比例解析式 y6x，得 m632，点 D 坐标为(3，2)，设直线 AD 解析式为 ykxb（k0） ，将 A(2，3)与 D(3，2) 代入得2kb3，3kb2，解得 k1，b5，则直线 AD 解析式为 yx5 (3)过点 C 作 CNy 轴，垂足为点 N，延长 BA，交 y 轴于点 M，ABx 轴，BM

18、y 轴，MBCN，OCNOBM，C 为 OB 的中点，即OCOB12，SOCNSOBM(12)2，A，C 都在双曲线 y6x上，SOCNSAOM3，由33SAOB14，得到 SAOB9，则AOB 面积为 9 4 (1)(2014深圳)如图， 双曲线 ykx经过 RtBOC斜边上的点 A， 且满足AOAB23， 与 BC 交于点 D， SBOD21，求 k_ 4 (1)(2014深圳)如图， 双曲线 ykx经过 RtBOC斜边上的点 A， 且满足AOAB23， 与 BC 交于点 D， SBOD21，求 k_8_解析：过 A 作 AEx 轴于点 E.SOAESOCD，S四边形AECBSBOD21，

19、AEBC，OAEOBC，SOAESOBCSOAESOAES四边形AECB(AOOB)2425，SOAE4，则 k8 (2)(2014玉林)如图，OABC 是平行四边形，对角线 OB在 y 轴正半轴上， 位于第一象限的点 A 和第二象限的点 C 分别在双曲线 yk1x和 yk2x的一支上，分别过点 A， C 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 M 和 N，则有以下的结论：AMCN|k1|k2|；阴影部分面积是12(k1k2)；当AOC90时，|k1|k2|；若 OABC 是菱形，则两双曲线既关于 x 轴对称，也关于 y轴对称其中正确的是_(把所有正确的结论的序号都填上) (2)(2014玉林)如图，

20、OABC 是平行四边形，对角线 OB在 y 轴正半轴上， 位于第一象限的点 A 和第二象限的点 C 分别在双曲线 yk1x和 yk2x的一支上，分别过点 A， C 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 M 和 N，则有以下的结论：AMCN|k1|k2|；阴影部分面积是12(k1k2)；当AOC90时，|k1|k2|；若 OABC 是菱形，则两双曲线既关于 x 轴对称，也关于 y轴对称其中正确的是_(把所有正确的结论的序号都填上) 解析：作 AEy 轴于点 E， CFy 轴于点 F， 如图， 四边形 OABC 是平行四边形，SAOBSCOB，AECF，OMON，SAOM12|k1|12OMAM，SCON12