基本初等函数讲义超级全

1、(1)二次函数解析式的三种形式2.一、一般式：f(x)axbxc(a0)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)两根式：f(x)a(xxi)(xx2)(a0)(2)求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式.已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便.(3)二次函数图象的性质fxax2bxca0a0a0图像定义域,对称轴bx2a顶点坐标b4acb2,2a4a值域4acb24a,4acb2,4a单调区间b.,递减2a,递增2ab,递增2a,递减2a二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图

2、象是一条抛物线，对称轴方程为x上，顶点坐标是(b2a24acb4a当a0时，抛物线开口向上，函数在(bb上递减，在,2a2a)上递增，当2axb时，fmin(x)4aCb；当a0时，抛物线开口向下，函数在(，上上递2a4a2a增，在且，)上递减，当x2时，fmax(x),a。b.2a2a4a三、哥函数(1)募函数的定义一般地，函数yx叫做哥函数，其中x为自变量，是常数.(2)募函数的图象过定点：所有的哥函数在四、指数函数(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1).(1)根式的概念：如果xna,aR,xR,n1,且nN，那么x叫做a的n次方根.(2)分数指数哥的概念mN,且n1).0的正分数正

3、数的正分数指数哥的意义是：a7吁(a0,m,n指数哥等于0.一M1=1m正数的负分数指数哥的意义是：an(1)nn；(-)m(a0,m,nN,且n1).0aa的负分数指数哥没有意义.(3)运算性质arasars(a0,r,sR)(ar)sars(a0,r,sR)一_rrr_(ab)ab(a0,b0,rR)(4)指数函数函数名称指数函数定义-一产0且a1刊做指数函软、图象a10a1定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1),即当x0时，y1.奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a变

4、化对图象的影响在笫一象限内，a越大图象越局；在第二象限内，a越大图象越低.五、对数函数(1)对数的定义若axN(a0,且a1),则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN,其中a叫做底数，N叫做真数.负数和零没有对数.x对数式与指数式的互化:xlogaNaN(a0,a1,N0).(2)几个重要的对数恒等式logal0,logaa1,logaabb.(3)常用对数与自然对数常用对数：lgN,即10g10N；自然对数:lnN,即logeN(其中e2.71828).(4)对数的运算性质加法：logaM数乘：nlogaM如果a0,a1,MlogaNloga(MN)logaMn(nR)0,N0,那么M减

5、法：logaMlogaNlogaNalogaNNlogabMnnlogaM(b0,nR)ab换底公式：logaN10gbN(b0,且b1)logba(5)对数函数函数名称对数函数定义函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数图象a10a1A*A-"定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当x1时，y0.奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况lOgax0(x1)lOgax0(x1)lOgax0(0x1)lOgax0(x1)lOgax0(x1)logax0(0x1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越

6、靠高.(6)反函数的概念设函数yf(x)的定义域为A，值域为C,从式子yf(x)中解出x,得式子x(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y),习惯上改写成yf1(x).(7)反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式yf(x)中反解出xf1(y)；11,将xf(y)改写成yf(x),并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质_,一,一一一1原函数yf(x)与反函数yf(x)的图象关于直线yx对称.函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1

7、(x)的值域、定义域.1,若P(a,b)在原函数yf(x)的图象上，则P(b,a)在反函数yf(x)的图象上.一般地，函数yf(x)要有反函数则它必须为单调函数.例题一、求二次函数的解析式例1.抛物线yxC.y3x124x4的顶点坐标是()A.(2,0)B.(2,例2.已知抛物线的顶点为(2A. y3x12-2)C.(2,-8)1,2),且通过(1,10),2B. y3x122D.y3x12D.(-2,-8)则这条抛物线的表达式为()2例3.抛物线y=x2mxm2的顶点在第三象限，试确定m的取值范围是(A.mv1或m>2B.m<0或m>1C.1vmv0D.mv1例4.已知二次

8、函数fx同时满足条件：(1)f1xf1x；(2)fx的最大值为15；(3)fx0的两根立方和等于17求fx的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题.2例5.当2x2时，求函数yx2x3的最大值和最小值.例6.当x0时，求函数yx（2x）的取值范围.xt1时，求函数y1o5-x2x-的最小值（其中t为常数）.22三、哥函数例8.下列函数在,0上为减函数的是（）1、3c2c3A.yx3B.yxC.yx例9.下列募函数中定义域为x0的是()3-2d.yx2并画出图象的示意图.2 323 2,3A.yx3b.yx2c.yx32,5例10.讨论函数y=x的定义域、值域、奇偶性、单调性,例10.已知函数

9、y=315-2xx2(1)求函数的定义域、值域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求函数的单调区间.四、指数函数的运算1例11.计算(2)22的结果是()-1-1A、V2B、C、-72D、22例12.16A、aB、8aC、D、例13.若3a8,3b5,a332b五、指数函数的性质例14.my|y2x,Py|yJx1，则mnp()A.yiy1B.yiy1C.yIy0D.yy°例15.求下列函数的定义域与值域:y2x例16.函数yax23a。且a1的图像必经过点()A.(°,1)B,(1,1)C.(2,3)D,(2,4)9X例17求函数y二2一的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇

10、偶性21五、对数函数的运算a例18.已知32,那么|og3821。§36用2表示是（）2A、a2B、5a2c、3a(1a)D、3aM，一，例19.2loga(M2N)logaMlogaN,则一的值为()NA、1B4C、1D、4或141例20.已知10g7log3(log2x)0,那么x2等于()a、1B、3Lc、Ld、1.2.32.23.3一2例21.loga11,则a的取值范围是（）“c2一c2A、0,U1,B、,33五、对数函数的性质2J1D、2o,3例22.下列函数中，在0,2上为增函数的是(A、y10gl(x1)B、ylog2x21212C、y10g2D、ylog1(x4x5

11、)x22例23.函数ylg1的图像关于（）1xA、x轴对称B、y轴对称C、原点对称D、直线yx对称例23.求证函数f（x）lgvx21x是（奇、偶）函数。课下作业1.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的（）2.对抛物线y=2（x2）23与y=2（x2）2+4的说法不正确的是（）23.二次函数y=x2x1图像的顶点在（）4.如图所示，满足a>0,bv0的函数y=axbx的图像是（）)A.抛物线的形状相同C.抛物线对称轴相同B.抛物线的顶点相同D.抛物线的开口方向相反A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限b25.如

12、果抛物线y=xD.96.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是(7.在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（a）x的图象可能是6xc的顶点在x轴上,那么c的值为（）A.0B.6C.3,28.右函数f(x)=(a1)x2+（a1）x+1是偶函数，则在区间0,+°°）上£8是（A.减函数B.增函数C.常函数D,可能是减函数，也可能是常函数9.已知函数y=x2-2x+3在闭区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是（）A.10、使A、C、1,+8)B.x2>x3成立的x<1且x为x>10,2C

13、.1,2x的取值范围是D.(8,2）B、D、11、若四个募函数ydA、B、C、的大小关系是(d>c>b>aa>b>c>dd>c>a>b0<x<1x<1dx在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、D、a>b>d>c()12.若哥函数f在(0,+丐上是减函数，则A.m>1B.m<1C.m=D,不能确定Aa,b13.若点,在哥函数Q的图象上,那么下列结论中不能成立的是B.b0D.14.若函数f(x)=logA.(00,C(一0°,13)12B.D.(x2-6x+5)在(a,+00）上是减

14、函数，则的取值范围是（）15、设集合Sy|yA、16、函数y2,(3,+8)5,+8)3x,xR,Ty|yx21,xR,则SIT是()B、TC、D、有限集210g2x(xnD的值域为()B、,2C、2,D、3,1.5,0.9Yi4,y217、设O0.488,y3A、y3yiy2B、y212，则()yiy3C、yiy3y2d、yiy2y318、在blOg(a2)(5a)中，实数a的取值范围是()A、a5或a2B、2a城3a5C、2a5d、3a419、计算(叫2(叫22|92?糜等于()A、0B、1C、2D、20、已知a10g32,那么10g38210g36用2表示是()D、3aa21D、8x是反

15、比例函数,2A、5a2B、a2C、3a(1a)21、已知哥函数f(x)过点(2,字)，则f(4)的值为()A、1B、1C、22二、填空题21 .抛物线y=8x(m1)x+m7的顶点在x轴上，则m=.322 .函数y2811.不等式132x的解集是3的定义域为.m1fxm2x3 .设，如果fx是正比例函数，则m=，如果f则m=如果f(x)是哥函数，则m=14若(x1)4有意义，则x-5 .当3x5y时，425y230xy9x26 .若5"5'25y,则y的最小值为-2mn7、右loga2m,loga3n,a8、函数y10g(x-i)(3-x)的定义域是。9、lg25Ig2gg50(Ig2)2。2xx210.不等式61的解集是.12.若廿3,10y4,则化13、已知函数f(x)log3x,(x0):，则ff2x,(x0),1、(9)的值为914、函数f(x)ig(3x2)2恒