奥数六年级竞赛计数问题教师版

1、学习必备欢迎下载，兼有应用性和趣味性，其内容“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题.理解和运用概率性质进行概率的运算.【例1】若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【分析】题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑；视其为“一个人；也即对"A,B：'C、D、E“四个人”进行排列，有A4=24种排法.又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，

2、有A2=2种排法.根据分步乘法原理，总的排法有A4MA2=24M2=48种.【例2】一条马路上有编号为1、2、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？【分析】若直接解答须分类讨论，情况较复杂.故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有C3种方法（请您想想为什么不是A；）,因此所有不同的关灯方法有3765C7=35种.321拓展若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？分析题目要求A和B两个人必须隔开.首先将C、D、E三个人排列，有A3=6种排法；若排成DC

3、E,则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：口口匚匕口£,此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有后=12种插法.由乘法原理，共有排队方法：A父解=6父12=72.【例3】现有10个完全相同的全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法学习必备欢迎下载【分析】将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法.由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入

4、6个“档板”6个档板可把球分为7组），其方法种数为C6=84.【例4】已知方程x+y+z=20,求这个方程的正整数解的个数.已知方程x+y+z=20,求这个方程的非负整数解的个数.【分析】将20分成20个1,列出来：11111111111111111111在这20个数中间的19个空中插入2个板子，将20分成3部分，每一部分对应“1”的个数，按顺序排成x二；y=；z=；即是正整数解.故正整数解的个数为0129=171.将问题转化为求方程x+y+z=24的正整数个数，显然原方程的解法与转化后的方程的解可以一一对应，新方程的每一组解的值减去1,即可得到原方程的一组解，反过来，原方程的任意一个解的值加

5、一，也可对应新方程的解对应所以该方程的非负整数解有023=253个.在抛掷一枚硬币时，究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时，就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的一半左右.这里的“大量重复”是指多少次呢？历史上不少统计学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的试验，随着试验次数的增加，出现正面的频率波动越来越小，频率在0.5这个定值附近摆动的性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的表现，0.5恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，0.5就是抛掷硬币时出现正面的概率.这就是概率统计定义的思想，这一思想也给出了在实

6、际问题中估算概率的近似值的方法，当试验次数足够大时，可将概率的古典定义：如果一个试验满足两条：试验只有有限个基本结果；试验的每个基本结果出现的可能性是一样的.这样的试验，称为古典试验.对于古典试验中的事件A,它的概率定义为：P（A）=m,n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m表示事件A包含的试验基本n结果数.小学奥数中，所涉及的问题都属于古典概率.其中的m和n需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出.<>概率的意义【例1】一个骰子六个面上的数字分别为0,1,2,3,4,5,现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出

7、现的总点数是.【分析】掷的总点数在8至12之间时，再掷一次，总点数才有可能超过12（至多是17）.当总点数是8时,再掷一次，总点数是13的可能性比总点数超过13的可能性大.当总点数在9至12之间时，再掷学习必备欢迎下载一次，总点数是13的可能性不比总点数是14,15,16,17的可能性小.例如，总点数是11时，再掷一次，出现0L5的可能性相同，所以总点数是11|_16的可能性相同，即总数是13的可能性不比总数点数分别是14,15,16的可能性小，综上所述，总点数是13的可能性最大.前铺1在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞200尾，发现其中有2

8、5条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？分析200尾鱼中有25条鱼被标记过，所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为25+200=0.125,所以池塘中的鱼被标记的概率可一看作是0.125,池塘中鱼的数量约为100。0.125=800尾.前铺一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9,小光、小亮两人随意往周面上扔放这个木块.规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分.当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分.每人扔100次，得分高的可能性比较大.计数求概率分析因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个

9、，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大.互斥事件：PA-B=PAPB互斥事件也叫互不相容事件.也可表述为不可能都发生的事件公式的含义为：如果事件A和B为互斥事件（互不相容事件），那么A或B（之一）发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之和.如果事件A、B为互斥事件，且事件A、B发生机会均等，那么P（A）=P（B）=、P（A+B）.如果某事件所有可能发生的情况A、A2、An互斥，且机会均等，那么1.1PA1=PA2=W=PAn;PA1A2IIIA=-.其中的m种情况发生的概率为k所以明天正午天气为阴雨的概举例：明天正午的天气是阴天与明天正午的天气是雨天是两个互

10、斥事件,率等于明天正午的天气是阴天概率与明天正午的天气是雨天概率之和.抛一枚硬币掉下来后是正面向上与抛一枚硬币掉下来后是反面向上是两个互斥事件，所以抛一枚硬币掉下来后是正面或是反面向上的概率等与抛一枚硬币掉下来后是正面向上的概率与抛一枚硬币掉下1 1来后反面向上的概率之和，即P=1+1=1.2 2掷出的骰（t如）子数字1、2、3、4、5、6向上情况互斥且机会均等，所以每种情况发生的1概率为1.6【例2】（20XX年奥数网杯）一块电子手表，显示时与分，使用12小时计时制，例如中午12点和半夜12点都显示为12:00.如果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是.【

11、分析】一天当中，手表上显示的时刻一共有12M60=720种.其中冒号之前不出现1的情况有2、3、4、5、6、7、8、9八种，学习必备欢迎下载冒号之后不出现1的情况有（6-1¥（10-1）=45种，所以不出现1的情况有45x8=360种.所以至少看到一个数字“1的情况有720-360=360种，3601所以至少看到一个数字“1的情况有360=种.7202【例3】如图9个点分布成边长为2厘米的方阵（相邻点与点之间的距离为1厘米），在这9个点中任取3个点，则这三个点构成三角形的概率为多少？这三个点构成面积为1平方厘米的三角形2的概率为多少？构成面积为1平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积

12、为2平方厘米的2概率为多少？构成面积为2平方厘米的概率为多少？【分析】从9个点中任取3个点一共有cs3=9±82=84种情况.3 21三个点共线一共有3+3+2=8种情况.所以三个点能够成三角形的概率为1_8=19.84219个点中能构成面积为1的三角形一共有4父4+4父4=32种情况.2所以三个点能够成面积为1平方厘米的三角形的概率为2=8.284219个点中能够成面积为1平方厘米的三角形的情况有4x6+8=32种情况.所以三个点能够成面积为1平方厘米的三角形的概率为32=.84219个点中能够成面积为3平方厘米的三角形的情况有4种情况.2所以三个点能够成面积为3平方厘米的三角形的

13、概率为.284219个点中能够成面积为2平方厘米的三角形的情况有8种情况.所以三个点能够成面积为2平方厘米的三角形的概率为3=2.8421【例4】奥苏旺大陆上流行一种牌戏，类似于我们世界的“扑克牌”，但他们的牌只有18张，不同的牌有不同的点数或花色，一共有1L6这6个点数，以及、三种花色.玩家从一幅牌中抽出3张牌，求：抽到“顺子”（三张牌点数连续）的概率，抽到“同花”（三张牌花色相同）的概率，抽到“同花顺”（三张牌点数连续，花色相同）的概率.【分析】18张牌中抽取3张有C；8=816种方法.顺子一共有4种，即（123）、（2,3,4）、（3,4,5）、（4,5,6）对于每一种顺子，又有3M3M

14、3=27种，所以抽取到顺子的概率有427981668320581668同花顺有3父4=12种，所以抽取到同花顺的概率为12181668同花有三种花色，每一种同花有C；=20种，所以抽取到同花的概率有学习必备欢迎下载【例5】甲、乙两个学生各从0|_9这10个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：这两个数字的差不超过2的概率，两个数字的差不超过6的概率.【分析】两个数相同（差为0）的情况有10种，两个数差为1有2父9=18种，两个数的差为2的情况有2M8=16种,所以两个数的差不超过2的概率有101816111010两个数的差为7的情况有2父3种.25325甲甲甲甲TTTT乙丁乙丙卜HPH所以

15、第4次传回甲的概率为37_2_8127两个数的差为8的情况有2x2=4种.两个数的差为9的情况有2种.所以两个数字的差超过6的概率有6+4+21010322两个数字的差不超过6的概率有1士=222525【例6】甲、乙、丙、丁四人互相传球，由甲开始第一次传球，每个人接到球后，都随机从其他人中选择一个人将球传出，那么第四次传球恰好传回甲手里的概率是多少？【分析】对每一个接到球的人来说，下一次传球的方向有3种可能，所以四次传球的总路线有34=81种可能，每一种之间都是互斥的等概率事件.而恰好传回到甲的情况，以第一步为甲t乙为例有如下7种情况：'卜乙T甲T甲4T丙T甲L丁T甲甲T乙”T丙【例7

16、】如图为A、B两地之间的道路图，其中。表示加油站，小王驾车每行驶到出现两条通往目的地方向道路的路口时（所有路口都是三叉的，即每到一个路口都只有一条或两条路通往目的地），都用抛硬币的方式随机选择路线，求：小王驾车从A到B,经过加油站的概率.小王驾车从B到A,经过加油站的概率.【分析】运用标数法，标数规则（性质）：从起点开始标“11以后都将数标在线上，对于每一个节点，起点方向的节点相连线路上所标数之和与和目标方向节点相连线路上标数之和相等.对于每一个节点，目标方向的各个线路上标数相等.学习必备欢迎下载1如图：从A到B经过加油站的概率为-；8121191.-8,1116516114141616748

17、3如图：从B到A经过加油站的概率为石118.；11684516161"2164;81431-117g11412相互独立事件：PAB；=PAPB事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.公式含义：如果事件A和B为独立事件，那么A和B都发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积.举例：明天是否晴天与明天晚餐是否有煎鸡蛋相互没有影响，因此两个事件为相互独立事件.所以明天天晴，并且晚餐有煎鸡蛋的概率等于明天天晴的概率乘以明天晚餐有煎鸡蛋的概率第一次抛硬币掉下来是正面向上与第二次抛硬币是正面向上是两个相互独立事件.所以第次、第二次抛硬币掉下来后都是正面

18、向上的概率等于两次分别抛硬币掉下来后是正面向上的概率之和，即1P=,2如果骰子掉在桌上掷骰子，骰子是否掉在桌上和骰子的某个数字向上是两个相互独立的事件,的概率为0.6,那么骰子掉在桌上且数字“n”向上的概率为0.6父-=0.1.6【例8】某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为40%,如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少？【分析】全部射中靶心'的概率为0.4父0.4M0.4=0.064.第一箭射中，其他两箭射空的概率为0.4父(10.4尸(1-0.4)=0.144.第二箭射中，其他两箭射空的概率为0.4父(1

19、0.4炉(10.4)=0.144.第三箭射中，其他两箭射空的概率为0.4父(10.4炉(10.4)=0.144.有一箭射中的概率为0.144-0.144-0.144=0.432.(1-0.4¥0.4M0.4=0.096.1-0.40.40.4=0.096.1-0.40.40.4=0.096.第一箭射中，其他两箭射中的概率为第二箭射中，其他两箭射中的概率为第三箭射中，其他两箭射中的概率为有两箭射中的概率为0.96-0.96-0.96=0.288.学习必备欢迎下载【例9】小刚爬楼梯掷骰子来确定自己下一步所跨台阶步数，如果点数小于3,那么跨1个台阶，如果不小于3,那么跨出2个台阶，那么小明

20、走完四步时恰好跨出6个台阶的概率为多少？分析1小明每跨出一步，有1的概率跨1个台阶，有2的概率跨2个台阶，对于4步跨6台阶的每一种情况，例如（2,2,1,1%发生的可能性有22114-XX-X-=333381所以4步跨6台阶发生的总概率为8127铺垫小明爬楼梯时以抛硬币来确定下一步跨1个台阶还是2个台阶，如果是正，那么跨1个台阶,如果是反，那么跨出2个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出6个台阶的概率为多少？分析1小明跨出4步的所有情况有2x2x2x2=16种情况，其中恰好跨出6个台阶的情况有：（2,2,1,1）、（2,1,2,1卜（1,2,2,1卜（2,1,1,2）、（1,2,1,2）、（1,1

21、,2,2）六种，所以概率为=9.168【例10】A、B、C、D、E、F六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？15【分析】A抽中的概率为1,没抽到的概率为5,66如果A没抽中，那么B有1的概率抽中，如果A抽中，那么B抽中的概率为0,所以B抽中的概5541154311同理，C抽中的概率为MX=,D抽中的概率为X父一父一=,E抽中的概率为6546654365432115432112M_4X-3M-241=F抽中的概率为-X-X-X-X1X1=-65432

22、6654326由此可见六人抽中的概率相等，与抽签的先后顺序无关拓展1如果每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概率为多少？分析1抽中的概率依次为：L5/、-M-M-、-M-M-J、刍666666666666666666666在这种情况下先抽者，抽中的概率大.【例11】甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物，事情是这样的：墙上挂着两串礼物（如图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止.甲第一个取得礼物，然后，乙、丙、丁、戊依次取得第2件到第5件礼物，当然取法各种各样，那么共有种不同的取法.事后他们打开这

23、些礼物仔细比较，发现礼物D最精美那么取得礼物D可能性最大的是,可能性最小的是.学习必备欢迎下载/EIDC'BIABtCTDtEBtDtEAtCtfBtEDtEtbI第一件取A有4种方法:BtDtEAtbtEDt«ItB第一件取B有6种方法：C-H):|BtEAtiDtj|EtBEtAtB1-21-21-2111-11=-22811111二2221611111二22216112X1-21111=221611111=-222161111vl228【分析】本题需要注意的隐含条件：对于每个人，如果摆在面前的有两串礼物，那么该人选择其中一串的，一，1概率为1,如果摆在面前的只有一串礼物

24、，那么该人100%选择那一串.2第一件取A的有4种取法，第一件取C的有6种取法.所以有不同的取法4+6=10种.观察这10种取法的树状图可知，甲和戊不可能取得D,所以取得D可能性最小的是甲和戊,乙、丙、丁谁的可能性大不能看谁的取法较多，因为每种取法实现的可能性不同法一：计算枚举出的每一种取拿方法的所有概率（各种取拿方法流程之间是互斥事件）1111112241 111一一一11二一2 22811111I二一22221611111一一一1二22216乙取得D的可能性是+-=-；161684丙取得D的可能性是-+=；161616164丁取得D的可能性占,+1+1=.4882所以取得D可能性最大的是丁

25、.法二：计算流程各个阶段，事件发生情况:情况下与后一个人选择哪一串相互独立）（每个人选择哪一串在是否取完一串的条件已知的学习必备欢迎下载乙取得D的可能性是内取得D的可能性是取得D的可能性占111-X=-224口）义2;222411X-X-22所以取得D可能性最大的是丁.1. 从小红家门口的车站到学校，有1路、9路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10分中开来一辆.小红到车站后，只要看见1路或9路，马上就上车，据有人观察发现：总有1路车过去以后3分钟就来9路车，而9路车过去以后7分钟才来1路车.小红乘坐路车的可能性较大.【分析】首先某一时刻开来1路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示：分钟12345

26、678910111213141516171819车号1999111111199911111显然由上表可知每10分钟乘坐1路车的几率均为,乘坐9路车的几率均为,因此小红乘坐11010路车的可能性较大.2. 某人有5把钥匙，一把房门钥匙，但是忘记是哪把，于是逐把试，问恰好第三把打开门的概率?【分析】从5把钥匙中排列出前三把，一共有P53=5X4X3=60种，从5把钥匙中将正确的钥匙排在第三把，并排出前二把一共有R2=4X3=12种，121所以第三把钥匙打开门的概率为=1.6053. 一张圆桌旁有四个座位，A、B、C、D四人随机坐到四个座位上，求A与B不相邻而坐的概【分析】四人入座的不同情况有4M3

27、M2M1=24种.A、B相邻的不同情况，首先固定A的座位，有4种，安排B的座位有2种，安排C、D的座位有2种，一共有4M2M2=16种.1所以A、B不相邻而座白概率为（2416广24=、.4.如图为甲、乙两地之间的道路图，晓峰从甲地步行前往乙地，晓峰步行的方向始终为向北或向东,如果行走某个路口，出现有向北和向东的两条道路，晓峰就用抛硬币的方式随机选择路线，问晓峰最有可能通过A、B、C中的哪一条道路从西城走到东城？ABC学习必备欢迎下载【分析】运用标数法，将晓峰通过的每一条路的概率标在道路上，如图：由标数可得晓峰通过A的概率为1,通过B和C的概率为-.245.设每门高射炮击中敌机的概率为0.6,今欲以99%的把握击中敌机，则至少应配备几门高射炮同时射击？【分析】如果只配一门高射炮，那么未击中的概率为0.4,配备两门高射炮那么未击中的概率为0.4m0.4=0.16,0.4x0.4x0.4=0.064,0.4x0.4x0.4x0.4=0.0256,0.40.40.40.40.4=0.01024,60