完整版初中常用数学模型

1、【1】中点+平行模型如图，如果ABDE,且C为AE中点，则有ABCAEDC很好证的，当然十分实用，经常需要添加辅助线（例如延长）【例题1】（2014深圳某模拟）【例题2】（2014深圳）如图,梯形ABCD中，CDAB,AB=3CDE是对角线AC的中点，连接BE延长交DFAD于F,WJ=-AF答案：1.2;2.D3如阳，等腰棚形ABCD中，ADJBC.反为CD的中点，人旧从交区£于卜,_/DAE=30”，若AD=jE,AE=2J3则BF的最为（【2】一线三等角模型如图，若/B=/C=/DEF=a（0<“竦0）,并且也很实用。经常在矩形里出题。则一定有BDE与4CEF相似。十分好证

2、（外角和什么一大堆）如图，梯形ABCD中，AD/BC,1r-AD=BC=-2,ZB=ZC=45e,E.F4分别是线段BC-C口上的切点，且保持ZAEFM5%当ABE是等腰三角形时,CF=.【例题3】（原创）B如图，矩形。ABC中，川1,0卜将AOAB沿OB折合到八OA旧的位置，则A，的坐标为.在某些几何题中，往往有一些奇怪的结论，此时可以通过几何三大变换之一【旋转】求解。如图.四访形ABC口是矩形，E、F分别线陵是BC.的级CD卜一点且使/AEF=9U'J求AF的最大侑*（N）*iE为B仁中点时.求证AEF-AABE_534答案：1.2或442-3或-2.(-,)255|【3】巧造旋转

3、模型巧造旋转往往要有一定的等量关系和特殊角度，如下题:通过观察可得/ABC=ZC=45°,AB=AC。我们可以将ACD绕A顺时针旋转90°得到ABE,使得AC与AB重合。那么就有EB±BC,而在RTAAED中，DE2=2AD2（等腰直角三角形）所以BE2+BD2=DE2,即BD2+CD2=2AD2如图，等腰直角-：角形ABC中，AB=AC,D显BC上一点，求证;BD2+CD:=2AD2是不是赶脚很难想到？要学会判断，这种感觉是要练出来的!四通形具BCD中.2ABC=s/ACB=ZADC=4S%AD=4,8=3，则BD=【例题1】（2014武汉）1)月【例题3】(2

4、014荷泽改编)如图.MBC中*AB=2.AC册以AABC三功分别向外番正方愚,则阴影部分面积最大伯为如图，射线AP与射线AQ垂亶.B.D分别是射线AP、AQ上的点，作正方形ABCD.DE.BF分别平分/PDC、ZCEQHZEAF=45连接EF*(1喏DEBF=4.求正方形的边长口(2J以AJAE.EF为三边构成的三箱形是什么特殊三角形？判断并给予谩明.答案：1.V412.93.(1.)2,(2.)直角三角形，旋转后证全等，证明略【4】等腰模型这是一个很基础的模型一一什么样的结构会生成等腰三角形如图，若ADBE,BC平分/ABE,则AB=AC,很好证的，导角即可。其次：垂直+角平分这个不难理解

5、，因为等腰三角形三线合一。这种模型很常用，常常需要做辅助线（延长之类）【例题1】（原创）ABCD【例题2】（原创）【例题3（改编）打图，梯形.1取D中,乙曲的平分线与DE17，若CE四边形.IEED的面积是ABC中，AD平分NBAC,CD1AD鼠是BC中点，连接DE-（1.）求证:DE"AB(工)求证:DE=(A&AC)1.112.3【5】倍长中线法3.延长CD交AB于M,利用中位线，证明略常考，选填大证明都可能会用。是的！又是中点，中点用的很多啊=这个模型怎么用？先要判断。做题的时候看见中点，先找有没有可以直接用的，没有就找就没有平行+中点，再没有就要想了C?没事摆个中点在

6、这里有啥用？这时试试倍长中线。记住一句话：“倍长中线，定得全等”先来举一个例子，吧里很经典的一题。锐角ABC中，AB«3?AC=4求BC上中线AD的取值转用“解：延长AD,使DE=AD,连接CE（做这种题不变的辅助线说明）,.AD=DE,BD=CD,/ADB=/CDEADBAEDC.CE=AB=3-4-3<AE<4+3故1/2<AD<7/2这样就迎刃而解7,手有好多好多题，需要用到这个【例题1】（改编）BZABC中，D为BC中点，DB±BCd/若BC=5,AB=13,MBD=.ADC【例题2】（改编）第二问是重点，作C关于l的对称点C',连接

7、C'B,则C'B与l的交点为Q,此时BQ+CQ最小值为BC'o用三角形三边关系证明，尝试一下吧第三问同样重点(虽然没第二问那么常考)，M可不是AD与l的交点，这时因为A、D在异线段ABt有一点C,以AC、为蔚边在同便作弯腰宜柏三角形4CE,CBF口是中点，连接DE、DF.(1)延长ED于G,便DE=DG,连接BG.求证工AADEABDG求证：DE=DFUDEJ_DF(2)将ACAE逆时针旋转,如1J中的结论成立吗？清说明理由.(3.)iAC=2TBC=6r期DE的最小值为_.1.62.证明略，(3.)2V2【6】几何最值模型.1举个例子:有四个小区A、B,C、DfA.口

8、都在道路J同便L现在要在道路上建三个奶站P,Q,D,有下列要求.奶站P到A的距离战短】2一)奶站Q到小区B，C的距离2和最短.(3AM-DM|的值最大8第一问做一个垂线就行了。最值是中考最常考的题目，选择、填空、大题都可能有。几何最值一一当然数学书上是找不到的，所以这要我们平时多了解这种题的做题技巧般有三种：线段最值、折线最值、周长面积最值最值不好学，先从简单学起。1.首先最简单的：点到直线的距离垂线段最短、化曲为直，这是最基础的。2.其次：通过对称寻找最值，经典的【建设奶站】模型。3.折叠最值：三角形三边关系解题，寻找【三点共线】最关键。【例题2(原创)BD如网*四边悠4刖7)中.-CD.,

9、上四刀一卸，iB=4.以1片边作等边二曲岸4£fE,尸是宜瑞氏I一动点UJ来日的最小伯值由变化上仃一直G来BG，hF的最小曲能否存在一个时刻，便用寸;盘等访三粕形？若存在，说明仁、尸的府言养不存在，巡明慎由.1.42.(1.)J6-V2;(2.)2厩；ABG15、F为BG的垂直平分线与BC的交点【7】几何最值模型.2初中大部分的几何最值都要化曲为直，一般我们称为【三点共线】，下面是折叠的一题。RIAABC43-AC=5,BC=12,口是吕C的中点，E是AC上的动点，将ZXCED沿DE折叠，得到DEF.连接AF,则AF的最小值是做这种题，最重要找的是不变量。如图，CD是不变量6,AD也

10、是不变量V61,只有E、F在动现在开始分析，先把AD连接，得到一个不变的线段。而在ADF中，由三边公式可知AF>AD-DF,这有什么用？这个意思是万一A、F、D三点共线了，不就是AF=AD-DF了？就是说当形成了三角形的时候，AF都是大于AD-DF的，三点共线时，AF=AD-DF,这样AF不就最短了口马?所以AFmin=v6l-6还有一种经典的题:如图，边长为4的等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在y、x轴上.连接OC,在三角形ABC滑动的过程中OC的最大值是.照样先找不变量，发现AB、BC不变为4,其余没有。这种题的不变量一般隐藏在某些条件中分析一下：等边你还没用，/AOB=90。的

11、条件也没用，综合考虑，取AB中点，因为直角三角形斜边中线等于斜边一半，所以OD=2,由等边三角形，可知CD=2V3,现在用三点共线,很快得到OC=OD+CD时OC最大，所以OC最大彳1为2+26这种题要多练，寻找感觉。主要是找不变量，这在动点问题中十分重要。【例题1】0中，。到II线I的距离为3,半径为3BC与。口相切，C在I上，BC的最小伯是【例题2（呵呵你会发现我偷懒了）反比例函数中的模型平面直角坐标系中，。为坐标原点，以0为同心,1为半径作剧*B是百货产-乂记1丁=1+3上一点，AB与0口相切,则当B。取最小值时，"B的氏为这个很简单，已知某点坐标（m,n）求过该点的反比例函数

12、表达式y=k/x,则k=mn（kw0）SAOCD=SAOECR0ABC中，AC=5,BC=12,D、E分别是BC、AC上的动点，将（：£）沿DE折叠，得到DEF连接AF,则AF的单小值是.14答案：1.52.13.2【8】十分重要!俗话说的好，选填里面出得最难的不是几何题，而是反比例综合，要想稳拿3分，先掌握这首先简单搞起已知反比例函数图象分别交矩形AOBC的边AC、BC于D、E,连接OC,则:在上图的基础上，有AD:CD=BE:CE,当然如果连接DE、AB,DE和AB一定是平行的。AB与双曲线交于G、H,贝UAG=BH这个不大常用，但是也挺重要，如图，任意直线【例题1】那么看到AG

13、=GH的话就立马反应过来三段都等了。这个十分常用，在上图的基础上，S；AOGH=S梯形GEFH看着不爽系列（雾）补全图形，常常有些梯形是要补全成矩形的，如此挖掘隐含条件就差不多是这些，记住做反比例函数题的核心点：面积转换最重要，各种垂直显神通意思就是没思路的时候做些垂直的辅助线，会有相似等。办【例题3】5*I1梆形ABCO的底边AO&x轴上，BALAOBC/AO,过C的双曲线交BO、AB于D、BD若布=2.ZSOBE的面枳为3,则双曲线的解析式为_.如图，A、B是双曲线xq（kAO）上的点，延长AB交x轴于C,AB=BCo若AOC的面积为6,则k的值为.【例题4】如图,反比例函数1工勺与一次函数-交于点A、Br其中点A在x2第一象眼.B在第二萦不."）直接写出儿B的坐标