实变函数程其襄版第一至四章课后习题答案

1、第一章集合早在中学里我们就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、补的运算，因此这章的前两节具有复习性质，不过，无限多个集合的并和交，是以前没有接触过的，它是本书中常常要用到，是学习实变函数论时的一项基本功。康托尔在19世纪创立了集合论，对无限集合也以大小，多少来分，例如他断言：实数全体比全体有理数多，这是数学向无限王国挺近的重要里程碑，也是实变函数论的出发点。实变函数论建立在实数理论和集合论的基础上，对于实数的性质，我们假定读者已经学过，所以本书只是介绍集合论方面的基本知识。§1集合的表示集合是数学中所谓原始概念之一，不能用别的概念加以定义，就目前来说，我们只要求掌握一下朴素的说法

2、：在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称作一个集合，其中每一个个体事物叫做该集合的元素。顺便说明一下，一个集合的各个元素必须是彼此互异的，哪些事物是给定集合的元素必须是明确的，下面举出几个集合的例子。例14,7,8,3四个自然数构成的集合。例2全体自然数例30和1之间的实数全体例40,1上的所有实函数全体例5A,B,C三个字母构成的集合例6平面上的向量全体全体高个子并不构成一个集合，因为一个人究竟算不算高个子并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合。1 .集合的表示一个具体集合A可以通过例举其元素a,b,c来定义，可记Aa,b,c也可以通过该集合中的各个

3、元素必须且只需满足的条件p来定义，并记为A=x:x满足条件p如例1可以表示为4,7,8,3例3可以表示为x:x(0,1)设A是一个集合，x是A的元素，我们称x属于A,记作xA,x不是A的元素，记作xA。为方便表达起见，表示不含任何元素的空集，例如x：sinx>i=习惯上，N表示自然数集，(本书中的自然数集不包含0),Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.设f(x)是定义在E上的函数，记f(E)=f(x)：XcE,称之为f的值1域。若D是R中的集合，则f(D)=X:XE,称之为D的原像，在不至混淆时，X:XCE,f(x)满足条件p可简写成X:f(x)满足条件p.2 .集合的包含关系若

4、集合A和B满足关系：对任意XA,可以得到xB,则成A是B的子集，记为AB或BA,若AB但A并不与B相同，则称A是B的真子集.例7.若f(x)在R上定义，且在a,b上有上界M即任意对XCa,b有f(x)M.用集合语言表示为：a,bX：f(x)M.用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请在看下例.例8.若f(X)在R上连续，任意取定X06R,对任意>0,存在>0.使得对任意x(X0,X0)有|“切f(Xo)|<，即f(X0,X0)(f(x。)，f(x。).3 .集合相等若集合A和B满足关系：AB且BA,则称A和B相等，记为A=B.例9设f(X)在R上定义，且在R上有上界

5、M则R=X：f(x)M=X:f(x)M+1例10若f(x)在a,b上连续，则由连续函数的性质，f(a,b)m,M,其中mminf(x):xa,b,Mmaxf(x):xa,b.§2集合的运算从给定的一些集合出发，我们可以通过所谓集合的运算做出一些新的集合，其中最常见的运算有并、交、减法三种，实变函数中大量使用无限并和无限交的运算。1、集合的弁集设A,B是任意两个集合，设C由一切或属于A或属于B的元素所组成，则我们称C为A,B的并集或和集，简称为并或和，记为CAUB它可以表示为AUBX:XB或XA图1.1是aUb的示意图并集的概念可以推广到任意多个集合的情形，设有一簇集合A:，其中是在固

6、定指标集中变化的指标；则由一切A的所有元素组成的集合称为这族集合的并集或和集，记为Ua,它可以表示为：Ua=x:存在某个使xA注意，按照集合的定义，重复出现在两个被并集合中的元素在做并运算时只能算一次。k习惯上，当=1、2、3k为有限集时，AIJa写成A=jAn，而AIJa写=1nN成A=UAn。n=1例1设fx和gx是定义在E上的函数，则对任意CRx：maxfx,gx>c=x:gx>c例2.(a,b)=Ua1,b1n=inn例3若记Qn=m：mZ,n=1、2、3则、打、门nn1例4若I:是一族开区间，而a,bUI，则存在b2,3使得a,bUh(有限覆盖定理)i=1例5若fx是定义

7、在E上的函数，则x：fx0Ux:f(x)n1n2、集合的交集设A,B是任意两个集合，由一切既属于A又属于B的元素组成的集合C称为A和B的交集或积集，简称为交或积，记作CAHB,它可以表示为APBx:xAfixB如图1.2所示交集的概念也可以推广到任意多喝集合的情形设A:是任意集族，其中是在固定指标集中变化的指标；则由一切A:的所有元素组成的集合称为这族集合的交集或积，记为An,它可以表示为：R|a=x:存在某个使xA若PlAn，说明所有的人没有公共的元素。习惯上，当=1、2、3k为有限集时，A|A写成aQa，而AAAnn=1n=N写成A=P|A1n=1例6、若fx是定义在E上的函数，则x：a&

8、lt;f(x)b=x：a<f(x)CHx：f(x)b例7、若an,bnan1,bn1,n=1,2且limbnan=0则存在唯一的xaR使aan,bnn=12,即a=0an,bn(区间套定理)。n=1例8若fnx是定义在E上的一列函数，则对任意cR,(1)x：supfncQx：fnc(2)x：supfnC|Jx：fnC)n1n1证明我们只证明(1),(2)的证明类似的，请读者自证。若xx：supfnc)则对任意nfnsupfnc即xx:fnc)，由n的任意性，xQx:fnc)；反之，若xQx:fnc),对任意n,fnc,n1n1因此c是fn(x)的一个上界，于是supfnc即xx:supf

9、nc)定理1(1)AUBbUa,AbBPIA(交换律)AU(BUC)(AUB)UC,An(BFlC)(AHB)HCaA(bUc)(AHb)U(aHc),aHJJb)U(aHb)4 4)AUAA,AHAA证明我们只证明aA(|Jb)|J(aAb)先设xaA(|Jb)则有xA且有0，使得xB0于是xaABoU(aHb)这证明了AA(|jB)U(AQB)在证反过来的包含关系，设xU(AnB),则有0，使得xAHBo,此即xA,xB,因此xaA(|Jb)于是AC1(|Jb)|J(AnB)o综合起来，便是等式成立。这表面，集合运算的分配律，在无限并的情况下依然成立3、集合的差集和余集若A和B是集合，称A

10、B=x:xA且xB为A和B是差集，AB也可以记为A-B,如图1.3是A-B的示意图：当我们讨论集合都是某个大集合S的子集时，我们称SA为A的余集，并记为SAAC在欧式空间Rn中，RnA写成AC当全集确定时，显然ABAP1BC因此研究差集运算可以通过研究余集运算来实现。例9Qcx：x是无理数例10若f(x)定义在集合E上，S=E,则x：f(x)acx：f(x)a在集合论中处理差集或余集运算式时常用到以下公式定理2(德摩根公式)若A:是一族集合，则(1)(Ua)cnacI(Ca)cuAC证明(1)的证明，设x(Ua)*UxUA,因此对任意，xA即对任意，xAc,从而xA。反之，设xA。，则对任意x

11、A则xUA从而X(UA)C综合可得(1)(Ua)cQac例11设fnx是定义在E上的函数列，若xE则fnx有界的充分必要条件是存在M>0使得对任意n,|fnx|M注意到与存在相对应的是并集的运算，与任意相对应的是交集的运算，从而x：fnx有界=UPlx：|fnx|M)MRn=1用德摩根公式，有x：fnx无界=x：fnx无界c=UP|x：|fnx|M)MRn=1其中R为正实数集。数学分析中国的很多定义，命题涉及任意和存在这两个逻辑量词，它们的否定说法是把任意改为存在，而把存在改为任意，在集合论中，德摩根公式很好的反映了数学分析中这种论述的合理性。请读者注意：我们怎样把描述函数列性质的-N语

12、言，转换为集合语言。例12设fnx是定义在E上的函数列，若x是使fnx收敛与0的点，则对任意白0,存在N,使得对任意nN,|fnx|即x：limfnx0)PUP|x：fnx)xrN1nN用德摩根公式x：|imfnx0或不存在UPlUx：fnxxRN1nN重的交并运算，在以后各章会多次出现4、集合列的上极限和下极限设A1,XAA,A是任意一列集合，由属于上述集合列中无限多个集合的那种元素的全体所组成的集合称为这一集合列的上极限或上限极，记作limAn或limsupAn它表示为limAn=x|存在无穷多个外,使xAJxxx读者不难证明，limAn=x|对任意N>0,存在一个n；n>N使

13、xAnx对集合列A1,2A,A4,An那种有限个下标外，属于集合列中每个集合的元素全体所组成的集合称这个集合列的下限集或下极限，记为limAn或者xliminfAnxlimAn=x:|当n充分大以后都有xAnx显然limAnlimAnxx例13设An是如下一列点集1&mi0,2,m0,1,2,3,2m1八“1A2m0,2,m1,2,3,2m我们来An的上下极限。因为闭区间01中的点属于An,n=1,2,3,4,而对于开区间（1,2）中的每一个点x,必存在自然数N使得当n>N时候：12m112m即当nN时，xA2n但xAn1换句话说，对于开区间（0,2）中的x具有充分大的奇数指标的

14、集含有x即An中无限多个集合含有x,而充分大的偶数指标集都不含有x即An中的集合不会是有限个，又区间0,2以外的点都不属于任意An,因此limAn0,2limA01xx例14设lima。a,则对任意0除有限个an外，ana,a，即除x有限个n外ana,a因此alimx:xan，由的任意性''xaQlimx:xan,再由极限的唯一性，11xRa=Ilimx:xan11xR上下极限还有用交集与并集来表示。ljmAnUnAmnn1mn定理3limAnAUAm；(2)nn1mn证明我们利用lim-Anx:对任意的N0,存在nN,使得xAn来证明式.记nAlimA,BClUAm.设xA,

15、则对任意取定的n,总有mn,使Am,即对任何n，总有xUAm,故xmnB.反之，设xB,则对任意N,有x熊，所以xA,的N0,总有xUAm,即总存在mmmN1因此AB,即lim人口UAm.nn1mn式可同样证明用定理3,例12中的式和式可分别简写为x：limfnx0Alim_x：fnxnRnx：limfnx0或不存在Ulimx：fnxnnRnlimAnlimAn如果nL，则称An收敛，记为!imAn.若极限允许取则单调数列总有极限，在集合论中也有类似的结论.5 .单调系列1,2,3,一，则称An为.容易证明：单调集列是收减少，则limAnn如果集列An满足AnAn1AnAn1,n增加（减少）系

16、列.增加与减少的集列统称为单调集列敛的.如果An增加，则limAnUAn,如果Annn1请读者自证.例15设fx是定义在E上的有限函数，若Fnx：fxn1,2，则Fn是增加数列，且limFnUx：fxnn1x：fx0；若Enx:fxn,n1,2，则En是减少集列，易知limEnnx：fxnnn16 .集合的直积若Ai1,2,，n是集合，则Ax1，x2，xn：xiA,i1,2，n称为Ai1,2，n的直积，记为ni1A或A1AA类似地，AA1A2ME，：xA,i1,2,i1AnAAA.n§3对等与基数本节主要研究集合中元素的“个数”的多少，以及怎样从有限推广到无限弟.。集合可分为两类一有

17、限集合和无限集合，空集与只含有有限多个元素的集合称为任限然其余的称为无限集.?一如通常所认为的那样，空集所含元素的个数为0,而非空有限集的典型特性应该是具有一个标志其元素个数的正整数，而确定非空有限集A中元素个数的方法是把A中元素一个一个的“数”.这等于将A中各元素按任一方式给它们编号：A2,22,一、2"其中i/k时，ai和ak是不同的元素，这样就A和正整数的某一截断1,2.,n一对一地对应起来，最后对应的一个正整数n显然就是A的元素”个数”.有此不难推知，两个非空有限集合元素个数相同的充要条件，是它们能够和正整数数列的同一截断一一对应，而这又等价与这两个集合彼此一一对应.我们打个

18、比方.在一个大教室里，如果一个每个人都有一个座位，而且每个座位上都有且只有一个人，那么我们根本不用一个一个地去“数”，便立刻知道教室中人数和座位数是相同的.上述的讨论虽然只适用与非空有限集，但是一一对应的思想却不限于非空有限集.它将帮助我们把元素个数的概念推广到无限集.以上只是一个朴素的说明.现在我们从严格意义上给出映射和一一对应的概念.定义1设A,B为两个非空集合，如果有某一法则，使每个XA有唯一确定的yB和它对应，则称为a到b内的映射，记为.:AB当映射使y和x对应时，y称为x在映射下的像.,，记作yx，也可表示为：xy对于任一固定的y,称适合关系yx的x的全体的元素在y在之下的原.像.集

19、合A称为映射的定义域记作D，设C是A的子集,C中所有元素的像的全体,记作：C,称它是集C在之下的像,A称为映射的值域,记作：记忆方法.有像，且像唯一有原像原像唯一映射函数函数有反函数定义2设A和B是非空集合，若存在从集合A到B上的一一映射,即满足:单射：对任意x.yA,若xy,使彳3xy;满射:对任意yB,存在xA,使得xy.则称A和B对等，记为AB,规定.例1我们可给出有限集合的一个不依赖与于元素个数概念的定义：集合A称为有限合，如果A=或者A和正整数的某截断1,2，n对等。注：有限集合的一个不依赖与于元素个数概念的定义，例如A的总个数与正整数的某个截断相对应。例2正奇数全体正偶数全体.事实

20、上，只要令xx1即可.例3正整数全体正偶数全体.这只需令x2x,x是正整数.例4区间0,1和全体实数底对等，只需对每个x0,1，令(x)=tan(x-)例5设A与B是两个同心圆周上的点集（图1.4）,显然A-B.事实上，对A上每一点x与同心圆的连线与B相交且只交于一点。值得注意的是，若将此展开为线段时，则这两线段的长度并不相同。这告诉我们，一个较大的线段并不比另一个线段较短线段含“个多的点”。例4还表明，无限长的“线段”也不比有限长的线段有“更多的点”。例3和例4说明，一个无限集可以和它的一个真子集对等（可以证明，这一性质正是无限集的特征，常用来作为无限集的定义）。这一性质对有限集来说显然不能

21、成立。由此可以看出无限集与有限集之间的深刻差异。对等关系显然有一下性质：定理1对任意集合A,B,C,均有：(1)(反射性)AA;(2)(对称性)2B则B-A;(3)(传递性)2B,BC,则4C.定义3若a和B对等，则称他们有相同的基数，记为AB.定义4设A,B是两个集合，如果A不与B对等，但存在B的真子集B*,有A-B*,则称A比B有较小的基数(或称B比A有较大明基数)并记为AB(或BA).自然，我们要提出问题：任给两个集合A,B,在Ab,AB,Ab中是否必有一个成立且只有一个成立呢？回答是肯定的，但是在第一个问题的论证较为复杂，不能再此讨论。一下是对第二个问题的回答。定理2【伯恩施坦(Ber

22、nstein)定理】设A,B是两个非空集合。如果A对等与B的一个子集，B又对等与A的一个子集，那么A对等于B.注利用基数的说法是：设AB,BA,则AB.证明有假设，存在A到B得子集Bi上的一一映射i及B到A得子集A上的一一映射2。因为BiB,记A22(Bi).显然2是巳到2上的一一映射，即12ABrA并且A2Ai.作映射1和2的复合映射如下：当xA时，(x)2(i(x)。那么实现了A到A2上的对应。因为A是A的子集，A(Ai)是A2的子集，所以并且A3A2.（图1.5）图1.5伯恩斯坦定理证明示意图-.-照这样进行下去，我们找到一列子集：AiA2A3An于是在同一映射之下，有2AAp"

23、;Ap"AA.一这样我们可以把A分解为一系列互不相交的子集的并：AaaUaAAUAA2UA2AAUAA2UA2A3U-'-Ud其中daCa1nA2nA3n，类似地，AAAUA2A3UAA4U-UDi,其中Dian4n,，易知dDi,有因为映射是一一映射，容易看出:AAAA?AiA2AA4,AAiA2显然，我们可以把A及A的上述分解写成ADUAA1UAA2UA2A3UA3A4U,ADUAA3UA1aUaAsUA%U它们的对应项在映射之下是对等的，从而有AA,而AB,所以A-B,注意：这一定理给我们提供了一个判定两个集合对等的有力工具。作为定理的应用，我们可证明如下结论。设ABC

24、,且2C,则A-卜C,.事实上，有假设知_一_VBA,且B-B,B是A的子集B(记为A)对等，乂.：AC,则A的子集A与C的子集C对等，即得到B-AC,B-C(2)CBB丁CB,且，CCCB(C).终上所述，得到B-C,从而ABC._一_*BCC及CBB,再有伯恩施坦定理知BC,从而A-B,故A-B-C.证明：设ABC,且A-C,则ZB-Co(目的：只需证B-C,B与C的子集C对等，C与B的子集B对等。)、一一*证明：BCC§4可数集合在本节中我们将详细地讨论无限集合中最简单同时也是最常见的一类集合，即其元素能够排成一列的集合.非空有限集合既然是那些和正整数列某一截断1,2,n对等的

25、集合,那么，在无限集合中首先受到关注的当然是那些和全体正整数所成集合对等的集合了（正整数列本身就是这种集合）.定义1凡和全体正整数所成集合z对等的集合都称为可数集合或可列集合由于z可按大小顺序排成一无穷序列：1,2,3,n,因此，一个集合A是可数集合的充要条件为：A可以排成一个无穷序列：ai,a2,a3,an,可数集合是无穷集合，那么它在一般无限集合中处于什么地位呢？定理1任何无限集合都至少包含一个可数子集.证明设M是一个无限集，因M，总可以从M中取一元素记为e1,由于M是无限集，故M3,于是又可以从Me中取一元素，记为己，显然会”且61e2,设已从m中取出n个这样的元素e1,e2,en，由于

26、“是无限集，故mee,©，于是又可以从m0,。,©中取一元素，记为en1,显然舁1m且和e1,e2,en都不相同，这样由归纳法，我们就找到M的一个无限子集0,0,4,.,en,，它显然是一个可数集该定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数.下面的定理告诉我们可数集有怎样的子集.定理2可数集合的任何无限子集比为可数集合，从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集.证明设A为可数集而A*是A的一个无限子集，则由于A*是A的子集，有*AA,有由于A是无限集合，而A是可数集，依定理1有AA,因此按.-7-.*伯恩斯坦定理就有AA,即A也是可数集.下面我们来研究有可

27、数集出发通过加法运算可产生什么样的集合定理3设A可数集，B为有限或可数集，则AB为可数集（利用可排性）证明先设AB.由于可数集总可排成无穷序列，不妨设Aa,a2,Bb,b2,h（当B有限时）或Bb,b2,bn,（当B可数时）.由于当B有限时（B排在前，A排在后）,AUBbi也,bn,ai,a2,；又当B可数时（交错排列），AUBai,ti,a2,t2,-,an,bn,-.可见AB总可以排成无穷序列，从而是可数集.一般情形下.此时，令BBA,则AB,ABAB但当B作为B的子集仍为有限或可数集（定理2）,这样就归结到的情形了.n推论设Ai1,2,n是有限集或可数集，则A也是有限集或可数i1”n集，

28、但如果至少有一个A是可数集，则A必为可数集.i1定理4设Ai1,2,3,都是可数集，则A也是可数集.i1证明先设aAj因A都是可数集，故可令a41,a42,a43,a44,按照箭头顺序可将a排成:i1A自自自包自自,因此，a是可数集i1注意，上面的证明当部分（不是全部）A是有限集时仍可适用一般情形下.i1令AA，AAA（i2）,则aAj1JJij时），且AA.i1ii1i易知A*都是有理数集或可数集（定理2）,如果只有有限个不为空集，则由A定理3的推论，a为可数集（因至少A*i1A为可数集），如果有无限多个（必为可数个）a不为空集，则由中的注意,A*也是可数集，故在任何情形下,A也是可数集.i

29、1今后我们用a（或0）表示可数集的基数，则当a均为可数集合时，定理3的推论可简记为naaaaa（定理3）n个而本定理的结论就可简记为aaaaaa（定理4）可数个定理5有理数全体成一可数集合.证明设A1,2,3,（i1,2,3,）,则a是可数集，于是由i'i'i'定理4知全体正有理数成一可数集QA，因正负有理数通过i1rr,成为一一对应，故全体负有理数成一可数集q，但有理数全体所成之集合QQQ0,故由定理3的推论知Q为可数集.应该注意，有理数在实数中是处处稠密的，即在数轴上任何小区间中都有有理数存在（并且有无穷多个）.尽管如此，全体有理数还只不过是一个和那样稀疏分布着的正

30、整数全体成为对应的可数集.这个表面看来令人难以置信的事实，正是康托尔创立集合论，向“无限”进军的一个重要成果，它是人类理性思维的有一个胜利.用有理数集的可数性和稠密性可推断出一些重要的结论.例1设集合A中元素都是直线上的开区间，满足条件：若开区间K,JA,KJ,则KJ.证明A是可数集或有限集.证明作映射：AQ.设KA,由于Q在直线上稠密，任取rAQ,定义Kr.由于任意K,JA,KJ,有KJ，因此是A到Q内的单射，于是AAQ,所以AQa,即A是可数集或有限集.定理6设A是可数集，i可数集.证明用归纳法证明.显然i1,2,n，则AAAA是1时，结论成立.假设已证：若A是可数集，i1,2,n1,则A

31、AAA1是可数集.因知An可数，则AkAAA1,k1,2,，因此A,是可数集.又故设Ax,X2,Xk,.记AkAAaXkAAAA，由定理牝AAAa是可数集.例2平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集.例3元素n,n,nk是由k个正整数组成的，其全体成一可数集1,2,k例4整系数多项式nn1a0xa1xan1xan的全体是一可数集.证明对任意的n,设A是n次整系数多项式的全体组成的集合，则Ana0xna1xn1anZ°ZZ,其中z。zo和Z都是可数n个集，因此由定理6,A是可数集.从而整系数多项式的全体组成的集合AA也是可数集.n0%每个多项式只有有限个根，所以得下面的定理定

32、理7代数数的全体成一可数集.（所谓代数数，乃是整系数多项式的根.）§5不可数集合到目前为止，在无限集合中我们只讨论了可数集，是不是无限集合都是可数集合呢？如果真是这样的话，那么所有无限集合将只能具有同一的基数，而基数概念的引进也将没有什么意义了。下面我们将看到事实并非如此。不是可数集合的无限集合我们称为不可数集合。定理1全体实数所成的集合是一个不可数集合。证明：由§3例4知R0,1,我们只要证明0,1不是可数集就好了。首先0,1中每一个实数都可以唯一地表示为十进位无穷小数:ann110n的形式，其中各是0,1,9中的一个数字，不全为9,且不以0为循环节，我们称实数的这种表示

33、为一个正规表示。反之，每一个上述形式的无穷小数都是0,1中某一实数的正规表示。现用反证法：假设0,1中的全体实数可排列成一个序列0,1123a,a,a将每个表示成正规的无穷小数:0.a1111a2a3现在设法在2220.aa2a§3_3-30.aa2a§0,1中找一个与所有这些实数都不同的实数。为此利用对角线上的数字annn1,2,3作一个无穷小数如下0.a1a2a3a4,其中an=1,如果ann1或者42如果ann=1则此无穷小数的各位数字既不全是9,也不以0为循环节，因此必是0,1中某一实数a的正规表示，但从这个无穷小数的作法可知，它与每一个an的正规表示都不同（因为至

34、少第n位小数不同），因此aann1,2,3-,从而0,1a1,a2,a3,与假设矛盾。因此0,1是不可数集合。推论1若用c表示全体实数所成绩和R的基数，用a表示全体正整数所成的集合的Z基数，则ca以后称C为连续基数（C有时记为）0定理2任意区间，a,b,a,b,a,b,0,0,均具有连续基数C（这里ab）0分析：:a,bR,.a,b的基数为Ca,ba,bR则a,b的基数为C0,10,R则0,的基数也为C定理3设A,A,A,A4,是一列互不相交的集合，它们的基数都是C,则UAn的基数也是Cn1证明：设1nn1,n则ImPlIn（mwn）,但1nCn1,2,3，故InAn1,2,3，从而UAUln

35、0,n1n1于是由定理2即得。定理4设若有一列集合Ai：nZ）,Anc,n1,2,.,而A入,则ACn1证明由于人(0,1)C,不妨设A(0,1),n1,2,.首先把0,1中任何与x与A中点xx,x,x,.对应，就知道(0,1对等与A的一个子集。反之，对A中的任何XXpX2，Xn,.按十进位无限的小树表示Xn有X10.X11X22.X1n,x20.x21x22.x2n,Xn0.XMXn24八由上述一列数XXnB,作一小数也(X)巾（X）=O.X11X|2X21X31X22X13X14X23显然少(x)0,1而且当xwy时也(x)w巾(y).由映射巾,A也对等0,1的一个子集，所以由伯恩斯坦定理

36、得A0,1，定理得证.设n为一个正整数，称由n个实数X1,X2.Xn,按确定的次序排成的数组(月,乂2.乂0)全体称为n维欧几里得空间，记为Rn,每个组(X,X2.Xn)称为维欧几里得空间的点。又称X为点的(x,x2.xn)第i个坐标.定理5n维欧几里得空间Rn的级数为C证明：若“中点（x1,x2.xn）对应于E中点（XnX2，xn,0,0）时,就知道Rn对等于E的子集.如果再将R1中点x对应Rn中点（x,0，,0）时推论2设有C个（C表示连续基数）集的并集，若每个集的基数都是C,则其并集的基数也是C。事实上，对于每一个被并的集，使之与平面上平行于轴的直线上全体点所成集合作成一一对应，也就得到

37、所述的并集与平面上全体点所成集合作成了一一对应。推论3设若有一列Bn：nZ；Bn0,1；n1,2,3,一，集合一证明：由于BC,因此BBnAnC,其中入。/刀1,2,3,n1n1任取x0,1用正规的二进位小数表示x,即x0.a1a2a3-，an其中an0,1;n1,2定义：0,1B,（x）a,a2，an,，显然- “1- -是单射，于是B0,10,1C由伯恩斯坦定理BC,定理4、定理5和推论3分别可简写成anacc,cc,2c由定理4,实数列的全体组成的集合基数仍为C,自然产生了新的问题，有没有基数大于C的集合呢？有没有最大的基数呢？下面的定理圆满的回答了这个问题。定理6设M是任意的一个集合，

38、它的所有子集作成新的集合，则M。证明：我们先证明不能与M对等。假设不然，即M,则对应于每个M,都应有M的子集M与之对应。现在我们将M中所有那样的,满11足M，作成一集合M,则MM,所以M1,从而应有中M兀素1与之对应。若1M1,则与之定义矛盾。因M1是由那些M的1作成的，可见1M1。但是如果1M1,那么由M1的定义，1又应该属于M1,因为包括了所有1M1的1。这就产生了矛盾，因而M不对等于。至于M对等于的一个子集，则是显然的事实，因为那些只含一个元素的子集自然是作成M对等于的一个子集。w定理6告诉我们没有一个最大的基数，从而无线集合的不同基数也有无线多个。由于可数集合中元素比连续基数集中元素少

39、得多，我们通常尽可能地用可数集合交并运算代替不可数集合的交并运算。这一点，在第三章测度论中有十分重要的应用。例i是fx定义在点集e上的函数x：ifx10nfxR=P|x:fx1n1n例2设fnx是定义在点集E上的函数列，则本章§2例12中的(1)(2)式x:limfnx0x:fnxnRN1nN和x:Hmfnx0或不存在UAUx:|fnxnRN1nN分别可写成x:limfnx0nUClx:fnx1nkk1N1nNk和11x:limfnx0或不存在UFlUx:|fnx|一nk1N1nNk由此，我们再次看到函数列的极限过程，怎样用集合运算来描述，这在以后的各章中都有重要应用第二章点集第一章

40、介绍了集合的概念及运算.那里的集合只提到其中的元素，以及元素的个数(有限、可数无限、不可数无限等)，没有涉及集合各个元素之间的关系.但是，数学中需要处理的集合，其元素之间本来就存在某种关系，也就是说，集合内部有一种结构.打个比方，第一章研究的集合，相当于赤裸的原始人.这一章研究的点集，相当于穿有各种衣服的文明人.例如，对于全体实数组成的集合，我们不仅考虑一个个的实数，而且要度量彼此之间的距离，以及研究实数间的运算，等等.距离就是一种结构.大家知道，有了两点间的距离，就可以构成空间，定义邻域，于是就可以研究集合上函数的极限、连续、可导等.因此，能够度量元素间距离的集合，是数学研究的重要对象.这一

41、章中，我们要考察这样的空间一度量空间(也成为距离空间).由于我们研究的函数往往定义在一维的实数直线上，以及在n维的欧氏空间Rn中，而其中的元素称为“点”，并且两点之间有距离，所以习惯上把集合中元素间有某种关系、集合内由某种结构的集合，叫做空间或者点集.当然，度量空间不仅限于数集和欧氏空间，区间a,b上连续函数的全体也可构成度量空间.把朴素的欧氏空间推广到更一般的空间，扩大数学视野，形成一般的抽象空间的概念，是本章的任务.§1度量空间，n维欧式空间让我们回忆数学分析中的极限概念，在定义数列Xn的极限X时，要用绝对值|XnX|来表示Xn和X的接近程度.如果我们将实数直线R上任何两点a和b

42、之间的距离d(a,b)用|ab|加以表示，那么所谓R中数列x。收敛于x,就意味着Xn和X之间的距离随n而趋近于0,即limd(xn,x)0这使我们想到，在一般的点集E中如果也有“距离”，那么在点集中也可借这一距离定义极限，这对研究集合的性质将是极其重要的工具.那么，究竟什么是距离呢？设是一个集合X,若对于X中任意两个元素x,y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1d(x,y)0,d(x,y)=0的充要条件为xy;2d(x,y)d(x,z)d(y,z)对任意z都成立，则称d(x,y)是x,y之间的距离，称(X,d)为度量空间或距离空间.X中的元素称为点，条件2

43、。称为三点不等式.距离d有对称性，即d(x,y)d(y,x).实际上，在三点不等式中取zx,并由条件1知d(x,y)d(x,x)d(y,x)d(y,x)由x和y的次序是任意的，故同样可证d(y,x)d(x,y),这就得到d(x,y)d(y,x).如果(X,d)是度量空间，Y是X的一个非空子集，则(Y,d)也是一个度量空间，称为(X,d)的子空间.下面我们只讨论欧式空间Rn,对于其他度量空间的例子将在第七章给出.对于Rn中任意两点x(1,2,.,n),y(1,2,.,n),规定距离n1d(x,y)(ij)2“1 1容易验证d(x,y)满足距离的条件.首先，条件1是显然满足的.现在验证条件2.由柯

44、西(Cauchy不等式2 22(ah)(ai)(bi)i1i1i1得到nnnn,.、22_.2(aibi)ai2aibibii1i1i1i1n-innnai22,ai2.bi2b2i1i1i1i1.2令z(1,2,.n),aiii,biii,贝iiaib.代入上面不等式即为三点不等式.(Rn,d)称为n维欧氏空间，其中称d为欧几里得距离.止匕外，在Rn中还可以用下面方法定义其他距离：(x,y)max|ii|n(x,y)|ii|1 1容易验证，也满足条件T和2。.由此可知，在一个集合中引入距离的万法可以不限于一种.下面我们将考察Rn中的极限、开集、闭集、紧集等一系列概念，它们的基础都是邻域，而邻

45、域则依靠距离即可给出.其实本章的结论在一般度量空间中也都是成立的.在一点我们在第七章还要涉及.我们从定义邻域的概念开始.定义1Rn中所有和定点之距离小于定数的点的全体，即集合称为点之邻域，称为邻域的中心，称为邻域的半径.在不需要特别指出是怎样的一个半径时，也干脆说是的一个邻域，记作.显然，在中的，就是以为中心为半径的开区间，开圆和开球.容易证明邻域具有下面的基本性质：（1） PU(P);(2)对于Ui(P)和U2(P),存在U3(P)Ui(P)HU2(P)；(3)对于QU(P),存在U(Q)U(P)；(4)对于PQ,存在U(P)和U(Q),使U(P)AU(Q).定义2设Pn为Rm中一点列，PR

46、m,若果当n时有d(Pn,P0)0,则称点列Pn收敛于P0.记为limPnP0或RF0.用邻域的术语来说就是：对于P0n的任一邻域U(P0),存在某个自然数N,使当nN时，PnU(P0).定义3两个非空的点集A,B的距离定义为d(A,B)infd(P,Q)PAQB定义4一个非空点集E的直径为(E)supd(P,Q)PAQB定义5设E为Rn中一点集，如果(E),则称E为有界点集(空集也成为有界点集).显然，E为有界点集的充要条件是存在常数K,使对于所有的x(Xi,X2,.Xn)E,都有|x|K(i1,2,.)，即存在常数K,对于所有xE有d(x,0)K,这里0(0,0,.,0),称为n维空间的原

47、点.定义6点集(X,X2，Xn):aiXbi,i1,2,.n称为一个开区间(n维)，如将其中不等式一律换成aiXib,i1,2,.,n(或ai为b,i1,2,.,n),则称之为一个闭区间(或左开右闭区间).当上述各种区间无区别的必要时，统称为区n问I,记作biai(i1,2,.,n).称为I的第i个“边长”，(biai)称为I的“体积”，记为|I|.§2聚点，内点，界点数学分析中，经常要遇到开区间(a,b)和闭区间a,b这样的点集.在实变函数论中，我们要将它扩展为更一般的开集和闭集，并由此生成许多重要的集合类.现在我们从原始概念说起.设E是n维空间Rn中的一个点集，po是Rn中的一个

48、定点，我们来研究P0与E的关系.现在有三种互斥的情形：第一，在Po的附近根本没有E的点；第二，Po附近全是E的点第三，Po附近既有E的点，又有不属于E的点.针对这些情况我们给出下述定义.定义一如果Po存在的某一邻域U(F0),使U(Po)E,则称Po为E的内点；如果Po是Ec的内点(这里余集是对全空间Rn来做的，即EcRnE,以后仿此),则称Po为E的外点；如果Po既非E的内点又非E的外点，也就是：FO的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称PO为E的界点或边界点.上述三个概念中当然以内点最为重要，因为其他两个概念都是由此派生出来的.定义二设E是Rn中一点集，Po为中一定点，如果R的

49、任一邻域内都含有无穷多个属于E的点，则称为Po的一个聚点.由聚点的定义可知有限集没有聚点.显然E之内点必为E之聚点，但E之聚点却不一定是E的内点，因为还可能是E的界点.其次，E之内点一定属于E,但E的聚点则可以属于E也可以不属于E.定理1下面的三个陈述是等价的：（2） B是E的聚点；（2）在R的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于R的点；（3）存在E中互异的点所成点列PJ,使PnP0n.证明由（1）推出（2）及由（3）推出（1）是显然的，现在由（2）推出（3）.1由假定在UPo,1中至少有一点R属于而异于Pc令mindP,P0，,21则在UB,1中至少有一点P,属于E而异于，令2mindP2,

50、B，-,则在3UPo,2中又至少有一点P3属于E而异于，这样无限继续下去，便得到点列Pn,它显然满足要求.再介绍一个派生的概念.定义三设是E中一点集，为Rn中一定点，如果属于E但不是E的聚点，则称为E的孤立点.由定理一可知：是E的孤立点的充分必要条件是：存在的某邻域UPo,使eHuPoP0.由此又知：E的界点不是聚点便是孤立点.既然这样，所有E中的点，对来说又可分为聚点，孤立点，外点三种.故可列表如下：Rn中的点（对E来说）注意，对于一个具体的点集来说，上述任何分类中的三种点不一定都出现.界点或聚点可以属于E,也可以不属于E.根据上面引入的概念，对于一个给定的点集E,我们可以考虑上述各种点的集

51、合，其中重要的是下面四种.定义4设E是Rn中的一个点集，有0(1) E的全体内点所成的集合，称为E的开核，记为E,即0E=x:存在U(x)E;(2) E的全体聚点所成的集合，称为E的导集，记为E',即0E=x:存在U(x)E;(3) E的全体界点所成的集合，称为E的边界，记为E,即Ex:对任意U(x),U(x)HEx;(4) E的孤立点=x:存在U(x),U(x)HEx.(5) eUe'称为E的闭包，记为E,由(2),E=x:对任意U(x),U(x)AE.由(5)还可得到e=eUeeUeeUe的孤立点及闭包与内核的对偶关系：000(E)cE,(E)c(Ec).定理2设AB,则A

52、'B',AB,AB.定理3(AB)'a'b'.证明因为AAB,BAB,故从定理2,从而a'Ub'(aUb)：另一方面，假设p(aUb)',则必有pa'Ub'.否则pa'Ub',那么将有PA且PB.因而有P的某一邻域Ui(P),在内除P外不含A的任何点，同时有P的某一邻域U2(P),在内除P外不含B的任何点，则由邻域基本性质(3)知，存在U3(P)Ui(P)U2(P),在中除点P外不含AUB的任何点，这与p(aUb)的假设矛盾.L下面的定理告诉我们什么时候E.定理4博尔扎诺魏尔斯特拉斯(Bolzano

53、Weierstrass)定理设E是一个有界的无限集合，则E至少有一个聚点.证明方法与数学分析中在R1与R2时的证明相同，在此略去，请读者自行给出定理5设E,ERn,则E至少有一界点证明留作习题.§3开集，闭集，完备集本节着重讨论两类特殊点集。定义1设ERn,如果E的没一点都是E中的内点，则称E为开集.(空集也是开集并且此定义具有相对性)例如整个空间Rn是开集，空集也是开集.又如在R1中任意开区问(a,b)是开集，0,1)不是开集.在R2中E(x,y):x2y21是开集(但把它放在R3中来看时，即看做E(x,y,z):x2y21,z0就不再是开集了).定义2设ERn,如果E的每一个聚点

54、都属于E,则称E为闭集。例如整个空间Rn是闭集，空集是闭集。又如在R1中闭区间a,b是闭集，0,2)但不是闭集。在R2中E(x,y):x2y21是闭集.再如任意的有限集合都是闭集(没有聚点)。开集、闭集利用开核、闭包等术语来说，就是：E为开集的充要条件是EE,亦即E=E；E为闭集的充要条件是EE(或EE).(若E为不含有孤立点的0集合则有EEE故E是完备集)开集常用字母G表示，闭集常用字母F表示:定理1对任何ERn,E是开集，E和E都是闭集(E称为开核，E称为闭包的理由也在于此).证明：(1)证明E为开集，即证E中的每一点p均为内点，即U(p),st.U(p)E.设pE,则U(p),st.U(p)EQU(p),则U(Q),st.U(Q)U(p)E,则Q为E的内点，QE,从而U(p)EE为开集(2)证明为闭集e，即证(E)E,则需证P0(E)poE设P0(E),则在U(po),PiP0.P1U