小学奥数教案-第25讲-流水行船问题教

1、教师辅导讲义学员编：年级:六年级课时数:3学员姓名：辅导科目：奥数教师：陈老师授课主题第25讲一一流水行船问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标掌握流水行船的基本概念；能够准确处理流水行船中相遇和追及的速度关系。授课日期及时段T(Textbook-Based）一一同步课堂知识梳理一、参考系速度通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑人本身的速度即可。二、参考系速度一一“水速”但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为0的参考系，因为水本身也是在

2、流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响，具体为：水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速。（可理解为和差问题）由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论：船速=（顺水速度+逆水速度）+2;水速=（顺水速度-逆水速度）+2此外，对于河流中的漂浮物，我们还会经常用到一个常识性性质，即：漂浮物速度=流水速度。三、流水行船问题中的相遇与追及两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）+（乙船速-水速）二甲船船速+乙船船速同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关甲船顺水速度-乙船顺水速

3、度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）二甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系。典例分析考点一：基本的流水行船问题例1、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。【解析】顺水速度：208+8=26（千米/小时），逆水速度：208+13=16（千米/小时），船速：（26+16）+2=21（千米/小时），水速：（2616）+2=5（千米/小时）.例2、一位

4、少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒，在同样的风速下逆风跑70米，也用了10秒，则在无风时他跑100米要用秒.【解析】本题类似于流水行船问题.根据题意可知，这个短跑选手的顺风速度为90:10=9米/秒，逆风速度为70T10=7米/秒，那么他在无风时的速度为（9+7）+2=8米/秒.在无风时跑100米，需要的时间为100+8=12.5秒.例3、船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时？【解析】本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影响，水速发生变化，要求船逆

5、水而行要几小时，必须要先求出水速增加后的逆水速度船在静水中的速度是：（180+10+180+15）+2=15（千米/小时）.暴雨前水流的速度是：（180+10-180+15）+2=3（千米/小时）.暴雨后水流的速度是：180+9-15=5（千米/小时）.暴雨后船逆水而上需用的时间为：180+（15-5）=18（小时）.例4、一条小?R流过A,B,C三镇.A,B两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距50千米，水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时，接着乘木船

6、又顺流而下到C镇，共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米？【解析】如下画出示意图水速；L5千米，小时-_50千米A力汽船B木船C静水:11千米/小时静水95千*/小时有ATB段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时，有BTC段顺水的速度为3.5+1,5=5千米/小时.而从ATC全程的行驶时间为8-1=7小时.设AB长X千米，有_x_+50二x=7解得x=25.所以A,B两镇间的距离是12.5525千米.例5、甲、乙两船分别从A港顺水而下至480千米外的B港，静水中甲船每小时行56千米，乙船每小时行40千米，水速为每小时8千米，乙船出发后1.5小时，甲船才出发，到B港后返回与乙迎面相

7、遇，此处距A港多少千米？【解析】甲船顺水行驶全程需要：480+（56+8）=7.5（小时），乙船顺水行驶全程需要：480+（40+8）=10（小时）.甲船到达B港时，乙船行驶1.5+7.5=9（小时），还有1小时的路程（48千米），即乙船与甲船的相遇路程.甲船逆水与乙船顺水速度相等，故相遇时在相遇路程的中点处，即距离B港24千米处，此处距离A港480-24=456（千米）.注意：关键是求甲船到达B港后乙离B港还有多少距离解决后，要观察两船速度关系，马上豁然开朗。这正是此题巧妙之处，如果不找两船速度关系也能解决问题，但只是繁琐而已，奥数特点就是体现四两拨千斤中的巧劲.考点二：相遇与追及问题例1、

8、A、B两码头间河流长为220千米，甲、乙两船分别从A、B码头同时起航.如果相向而行5小时相遇，如果同向而行55小时甲船追上乙船.求两船在静水中的速度.【解析】相向而行时的速度和等于两船在静水中的速度之和，同向而行时的速度差等于两船在静水中的速度之差，所以，两船在静水中的速度之和为：220+5=44（千米/时），两船在静水中的速度之差为：220+55=4（千米/时），甲船在静水中的速度为：（44+4）+2=24（千米/时），乙船在静水中的速度为：（444）+2=20（千米/时）.例2、甲、乙两艘小游艇，静水中甲艇每小时行2.2千米，乙艇每小时行1.4千米.现甲、乙两艘小游艇于同一时刻相向出发，甲

9、艇从下游上行，乙艇从相距18千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地.问水流速度为每小时多少千米？【解析】两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和，所以它们从出发到相遇所用的时间为18+（2.2+1.4）=5小时.相遇后又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地，说明甲艇逆水行驶18千米需要5+4=9小时，那么甲艇的逆水速度为18+9=2（千米/小时），那么水流速度为2.22=0.2（千米/小时）.例3、某人畅游长江，逆流而上，在A处丢失一只水壶，他向前又游了20分钟后，才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在离A处2千米的地方追到，则他返回寻水壶用了多少分钟？【解析】此

10、人丢失水壶后继续逆流而上20分钟，水壶则顺流而下，两者速度和=此人的逆水速度+水速=此人的静水速度水速+水速=此人的静水速度，此人与水壶的距离=两者速度和父时间.此人发现水壶丢失后返回，与水壶一同顺流而下.两者速度差等于此人的静水速度，故等于丢失水壶后至返回追寻前的两者速度和，而追及距离即此人发现水壶丢失时与水壶的距离，所以追及时间等于丢失水壶后至发现丢失并返回追寻的这一段时间，即20分钟.例4、一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游50千米处。客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变。客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物距客船5千米。客船在行驶

11、20千米后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇。求水流的速度。【解析】5+1/6=30（千米/小时），所以两处的静水速度均为每小时30千米。50+30=5/3（小时），所以货船与物品相遇需要5/3小时，即两船经过5/3小时候相遇。由于两船静水速度相同，所以客船行驶20千米后两船仍相距50千米。50+（30+30）=5/6（小时），所以客船调头后经过5/6小时两船相遇。30-20+（5/3-5/6）=6（千米/小时），所以水流的速度是每小时6千米。例5、江上有甲、乙两码头，相距15千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5小时后货船追上游船。又行驶了1

12、小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上），6分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米？【解析】此题可以分为几个阶段来考虑。第一个阶段是一个追及问题。在货舱追上游船的过程中，两者的追及距离是15千米，共用了5小时，故两者的速度差是15+5=3千米。由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是3千米。在紧接着的1个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距3X1=3千米。这时货船上的东西落入水中，6分钟后货船上的人才发现。此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度X1/10千米，从此时算起，到货船和落入水中的物体相遇，

13、又是一个相遇问题，两者的速度之和刚好等于货船的静水速度，所以这段时间是货船的静水速度*1/10+货船的静水速度=1/10小时。按题意，此时也刚好遇上追上来的游船。货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距3+3*1/10=33/10千米，两者到相遇共用了1/10小时，帮两者的速度和是每小时33/10+1/10=33千米，这与它们两在静水中的速度和相等。（解释一下）又已知在静水中货船比游船每小时快3千米，故游船的速度为每小时（33-3）+2=15千米。三、用比例解行程题例1、一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时。求水流的速度。【解析】

14、两次航行都用16时，而第一次比第二次顺流多行60千米，逆流少行40千米，这表明顺流行60千米与逆流行40千米所用的时间相等，即顺流速度是逆流速度的1.5倍。将第一次航行看成是16时顺流航行了120+80X1.5=240（千米），由此得到顺流速度为240+16=15（千米/时），逆流速度为15+1.5=10（千米/时），最后求出水流速度为（1510）+2=2.5（千米/时）。例2、某人乘船由A地顺流而下到达B地，然后又逆流而上到达同一条河边的C地，共用了3小时.已知船在静水中的速度为每小时8千米，水流的速度为每小时2千米.如果A、C两地间的距离为2千米，那么A、B两地间的距离是多少千米？【解析】

15、此题没有明确指出C的位置，所以应该分情况进行讨论.根据题意，船在顺流时行1千米需要11.1+（8+2）=6小时，逆流日行1千米需要1+（8-2）=1小时.如果C地在AB之间，则船继续逆流而上到达A地所用的总时间为3+1X2=31/bH,所以此时A、B两地间的距离为：31（二+）=12.5千米.如果A地在BC633106之间，则船逆流而上到达A地所用的时间为3-1父2=2小时，所以此时A、B两地间的距离为：6322+（工+1）=10千米.故A、B两地间的距离为12.5千米或者10千米.3106例3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比

16、第一小时多行驶6千米.那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？【解析】后一小时比前一小时多行6千米，说明前一小时小船逆水行驶，差3千米走完全程.后一小时小船逆水走3千米，顺水走了一个全程.因为顺水、逆水速度每小时差8千米，所以若小船一小时全顺水走，应比行程时的第一小时多行8千米，也就是比一个全长多5千米.再与小船第二小时行驶做比较，我们就得到小船顺水走5千米的时间与逆水走3千米的时间相同，这个时间我们认为是1份.在一份时间内，顺水与逆水所行距离差2千米，一小时差8千米，所以一小时内有8+2=4份时间.由此得出小船顺水一小时走5X4=20千米，逆水一小时走3X4=12千米.因为小船在第一小时始终逆水

17、，比全程少走3千米，所以从甲地到乙地为12X1+3=15千米.例4、甲、乙两地相距30千米，且从甲地到乙地为上坡，乙地到甲地为下坡，小明用2个小时从甲地出发到乙地再返回甲地，且第二个小时比第一个小时多行了12千米，小明上坡和下坡的速度分别为多少？【解析】后一小时比前一小时多行12千米，说明前一小时小明走上坡，差6千米走完全程，后一个小时走上坡路6千米，然后下坡走完一个全程.前一个小时在上坡，走了30-6=24（千米），故上坡的速度为241=24（千米/小时），后一个小时中先有6千米在上坡，用时6+24=0.25（小时）,剩下的10.25=0.75（小时）中全部是在走下坡路，且走了30千米，故下

18、坡的速度为30+0.75=40（千米/小时）.例5、一艘船从甲港顺水而下到乙港，到达后马上又从乙港逆水返回甲港，共用了12小时.已知顺水每小时比逆水每小时多行16千米，又知前6小时比后6小时多行80千米.那么，甲、乙两港相距千米.【解析】本题是一道流水行船问题.一船从甲港顺水而下到乙港，马上又从乙港逆水行回甲港，共用了12小时，由于顺水、逆水的行程相等，而顺水速度大于逆水速度，所以顺水所用的时间小于逆水所用的时间，那么顺水所用的时间少于12小时的一半，即少于6小时.那么前6小时中有部分时间在顺水行驶，部分时间在逆水行驶，后6小时则全部逆水行驶.由于顺水每小时比逆水每小时多行16千米，而前6小时

19、比后6小时多行80千米，所以前6小时中有80-16=5小时在顺水行驶，所以顺水、逆水所用的时间分别为5小时、7小时，那么顺水、逆水的速度比为7:5,顺水速度为16175不7=56（千米/时），甲、乙两港的距离为56M5=280（千米）.例6、某船从甲地顺流而下，5天到达乙地；该船从乙地返回甲地用了7天.问水从甲地流到乙地用了多少时间？【解析】水流的时间=甲乙两地间的距离+水速，而此题并未告诉我们“甲乙两地间的距离”，且根据已知条件，顺水时间及逆水时间也无法求出，而它又是解决此题顺水速度、逆水速度和水速的关键.将甲、乙两地距离看成单位“1”，则顺水每天走全程的工，逆水每天走全程的.水速=（顺水速

20、度逆水速57一.1111度）=2二（1）2=一,所以水从甲地流到乙地需：L=35（天）.573535RPractice-Oriented)实战演练实战演练K课堂狙击1、河水是流动的，在B点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从A点到B点，然后穿过湖到C点，共用3小时；若他由C到B再到A,共需6小时.如果湖水也是流动的，速度等于河水速度，从B流向C,那么，这名游泳者从A到B再到C只需2.5小时；问在这样的条件下，他由C到B再到A,共需多少小时？【解析】设人在静水中的速度为x,水速为y,人在静水中从B点游到C点需要t小时.2根据题忌，有6x(6t)y=3x十(3t)y，即x=(3_t)y,同样，有

21、2.5x+2.5y=3x+(3t)y,32_即x=(2t1)y；所以，2t1=3t,即t=1.5,所以x=2y；(2x+y)x2.5+(2yy)=7.5(小时)，3所以在这样的条件下，他由C到B再到A共需7.5小时.2、轮船用同一速度往返于两码头之间，它顺流而下行了8个小时，逆流而上行了10小时，如果水流速度是每小时3千米，两码头之间的距离是多少千米？【解析】方法一：由题意可知，(船速+3)乂8=(船速之)黑10,可得船速=27千米/时，两码头之间的距离为(27+3)X8=240(千米).方法二：由于轮船顺水航行和逆水航行的路程相同，它们用的时间比为8:10,那么时间小的速度大，因此顺水速度和

22、逆水速度比就是10:8(由于五年级学生还没学习反比例，此处教师可以渗透比例思想，为以后学习用比例解行程问题做些铺垫)，设顺水速度为10份，逆水速度为8份，则水流速度为(10-8)+2=1份恰女?是3千米/时，所以顺水速度是10X3=30(千米/时)，所以两码头间的距离为30X8=240(千米).3、甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的A站顺水向下游的B站驶去，与此同时乙轮船自B站出发逆水向A站驶来。7.2时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。已知甲轮船与自漂水流测试仪2.5时后相距31.25千米，甲、乙两船航速相等，求A,B两站的距离。【解析】因为测试仪的漂流速度与水流速度相同，所以若水不流动，则7.

23、2时后乙船到达A站，2.5时后甲船距A站31.25千米。由此求出甲、乙船的航速为31.25+2.5=12.5（千米/时）。A,B两站相距12.5X7.2=90（千米）。4、甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行.相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1千米.如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔1小时20分，则河水的流速为多少？【解析】第一次相遇时两船航程相等，所以两船速度相等，即+V水=丫乙V水，得V乙=%+2V水；第一次相遇后两船继续前行，速度仍然相等，所以会同时到达A

24、、B两地，且所用时间与从出发到第一次相遇所用时间相同，所行的路程也相等；从两船开始返航到第二次相遇，甲、乙两船又共行驶了A、B单程，由于两船的速度和不变，所以所用的时间与从出发到第一次相遇所用时间相同，故与从第一次相遇到各自到达A、B两42_地所用的时间也相同，所用的时间为：+2=（小时）；返回时两船速度差为：V乙+V水=丫甲V水=4V水，33故V水M2=1,得V水=3（千米/时）。385、一艘船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时9千米，平时逆行与顺行所用的时间比是2:1.一天因下暴雨，水流速度为原来的2倍，这艘船往返共用10小时，问：甲、乙两港相距千米.【解析】设平时水流速度

25、为x千米/时，则平时顺水速度为（9+x）千米/时，平时逆水速度为（9-x）千米/时，由于平时顺行所用时间是逆行所用时间的一半，所以平时顺水速度是平时逆水速度的2倍，所以9+x=2（9-x）,解得x=3,即平时水流速度为3千米/时.暴雨天水流速度为6千米/时，暴雨天顺水速度为15千米/时，暴雨天逆水速度为3千米/时，暴雨天顺水速度为逆水速度的5倍，那么顺行时间为逆行时间的工，故顺行时间为往返总时间的-,为10父二=二小时，甲、5663乙两港的距离为15黑5=25（千米）.3课后反击1、甲船在静水中的船速是10千米/时，乙船在静水中的船速是20千米/时.两船同时从A港出发逆流而上，水流速度是4千米

26、/时，乙船到B港后立即返回.从出发到两船相遇用了2小时，问：A,B两港相距多少千米？【解析】乙船逆水时候的速度204=16（千米/时），甲船逆水时候的速度104=6（千米/时），两船逆水速度比为：16:6=8:3,所以乙船到B港时甲船行了2,乙船顺水速度与甲船逆水速度比为：（20+4）:6=4:1,8乙船返回到两船相遇，乙船行了（1一斗尺二1,所以甲船2小时共行了1-1=，A,B两港相距84122216M2+,=24（千米）.2、甲、乙两艘游艇，静水中甲艇每小时行3.3千米，乙艇每小时行2.1千米.现在甲、乙两游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距27千米的上游下行，两艇于途中相遇

27、后，又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地.水流速度是每小时千米.【解析】两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和，所以它们从出发到相遇所用的时间为27+（3.3+2.1）=5小时.相遇后又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地，说明甲艇逆水行驶27千米需要5+4=9小时，那么甲艇的逆水速度为27+9=3（千米/小时），则水流速度为3.33=0.3（千米/小时）.3、甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3小时后相遇.已知水流速度是4千米/时.求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？【解析】在两船的船速相同的情况下，一船顺水，一船逆水，它们的航程差是什么造成的呢？不妨设

28、甲船顺水，乙船逆水.甲船的顺水速度=船速+水速，乙船的逆水速度=船速-水速，故：速度差=（船速+水速）-（船速水速）=2父水速，即：每小时甲船比乙船多走4X2=8（千米）.3小时的距离差为8父3=24（千米）.4、一艘轮船顺流航行80千米，逆流航行48千米共用9小时；顺流航行64千米，逆流航行96千米共用12小时.求轮船的速度.【解析】轮船顺流航行80千米，逆流航行48千米，共用9小时，相当于顺流航行320千米，逆流航行192千米共用36小时；顺流航行64千米，逆流航行96千米共用12小时，相当于顺流航行192千米，逆流航行288千米共用36小时；这样两次航行的时间相同，所以顺流航行32019

29、2=128千米与逆流航行288192=96千米所用的时间相等，所以顺水速度与逆水速度的比为128:96=4:3.将第一次航行看作是顺流航行了80+48+3X4=144千米，可得顺水速度为144+9=16（千米/时），逆水速度为16+4x3=12（千米/时），轮船的速度为（16+12户2=14（千米/时）注意：由于两次航行的时间不相等，可取两次时间的最小公倍数，化为相等时间的两次航行进行考虑然后在按例题思路进行解题。5、一只轮船从甲港顺水而下到乙港，马上又从乙港逆水行回甲港，共用了8小时.已知顺水每小时比逆水多行20千米，又知前4小时比后4小时多行60千米.那么，甲、乙两港相距千米.【解析】由于前4小时比后四小时多行60千米，而顺水每小时比逆水多行20千米，所以前4小时中顺水的时间为60+20=3（小时），说明轮船顺水3小时行完全程，逆水则需83=5小时，所以顺水速