排列和逆序数

1、绪绪 论论线性代数是是中学代数的继续和发展。线性代数是是中学代数的继续和发展。一、课程内容一、课程内容 “线性线性”即一次，一次函数、方程、不等式即一次，一次函数、方程、不等式均称为线性的。本课程一重要内容均称为线性的。本课程一重要内容解含解含n个个未知数、未知数、m个方程的任一线性方程组。课程给出个方程的任一线性方程组。课程给出了一套有关线性方程组的理论，其中用到一些了一套有关线性方程组的理论，其中用到一些新知识，如矩阵、向量及相关概念。新知识，如矩阵、向量及相关概念。 行列式与矩阵概念是人们从求解线性方程行列式与矩阵概念是人们从求解线性方程组的需要中建立起来的，又远远越出求解线性组的需要中

2、建立起来的，又远远越出求解线性方程组的范围，成为重要的数学工具。矩阵在方程组的范围，成为重要的数学工具。矩阵在众多数学分支以及自然科学、现代经济学众多数学分支以及自然科学、现代经济学、工程技术等方面也有广泛应用。教材在工程技术等方面也有广泛应用。教材在Ch4进一进一步研究线性方程组问题步研究线性方程组问题。二、课程应用二、课程应用 线性问题广泛存在于自然科学、管理科学线性问题广泛存在于自然科学、管理科学和技术科学的各个领域，某些非线性问题在一和技术科学的各个领域，某些非线性问题在一定条件下也可以线性化，在线性问题中一次不定条件下也可以线性化，在线性问题中一次不等式又可以通过引进新变量转化为等式

3、等式又可以通过引进新变量转化为等式(“线性线性规划规划”课程课程)即线性方程。即线性方程。 因此线性代数的概念和方法应用广泛，尤因此线性代数的概念和方法应用广泛，尤其计算机的应用使得复杂的线性模型得以迅速其计算机的应用使得复杂的线性模型得以迅速、准确求解。准确求解。三、课程特点三、课程特点学习方法学习方法代数繁且抽象。只有一步步稳打稳扎，才能学好代数繁且抽象。只有一步步稳打稳扎，才能学好.预习预习适当适当笔记笔记适时适时复习复习独立独立作业作业及时及时小结小结四、作业要求四、作业要求: 及时、独立完成及时、独立完成; 格式格式; 上交时间上交时间.第一章第一章 行列式行列式(1)排列排列: 自

4、然数自然数1,2, n组成的一个有序数组组成的一个有序数组i1i2in称为称为一个一个n级级(元元)排列排列.例例 123、231、312、自然排列自然排列:(2)逆序逆序: 大数码排在小数码前面大数码排在小数码前面, 称两者构成一称两者构成一个逆序个逆序. 排列中的逆序总数称作排列中的逆序总数称作逆序数逆序数, 记记1.1 排列的逆序数排列的逆序数 51243、41352、五级排列五级排列. .不是排列不是排列. .1242三级排列三级排列, ,共共3! !6种；种；一般排列：不按自然数顺序排列一般排列：不按自然数顺序排列.() (3241) 例例(12345) 2+1+1=4;(1)2n

5、n =0;=5;(51243) ( (1)(2)21)n nn 按自然数顺序排列按自然数顺序排列(左数码左数码右数码右数码)= n-1+n-2+2+1 =(3) 奇排列：逆序数为奇数的排列奇排列：逆序数为奇数的排列 偶排列：逆序数为偶数的排列偶排列：逆序数为偶数的排列上例逆序数为上例逆序数为0, ,是偶排列是偶排列. .n=4=4k或或4 4k1, 偶排列偶排列; n=4=4k2或或4 4k3,奇排列奇排列.(4)排列的对换排列的对换: :1 21 2stntsni iiiii iiii 排列经对换后逆序数改变排列经对换后逆序数改变. 奇偶性是否改变奇偶性是否改变?定理定理1.1.1 对换改变排列的奇偶性。对换改变排列的奇偶性。 证证 对换相邻数码：对换相邻数码： ，Ai jB一般对换：一般对换： ，对换，对换(i, j)可看成可看成:12sAik kk jB12sAk kk jiB12sAjk kk iBi 经经s+1+1次相邻对换得次相邻对换得j再经再经s次相邻对换得次相邻对换得奇偶性共改变奇偶性共改变2s+1次。次。(1)2n n 逆序数增加或减少逆序数增加或减少1 对换对换(is , it)例例 选择i, j, k,使得 21i36jk 97 为偶排列. 解解 在排列中可供 i, j, k选择的数字仅为4,5,8,不妨设i=4, j=5, k=8,则 511111)21