无源网络综合

1、第7章 无源网络综合7.1 网络分析与网络综合已知电路给定激励响应？电路？给定激励给定响应网络分析网络综合网络分析与网络综合的区别：1 “分析”问题一般总是有解的(对实际问题的分析则一定是有解的)。而“设计”问题的解答可能根本不存在。N ?erert2“分析”问题一般具有唯一解，而“设计”问题通常有几个等效的解。N ?-V16-V412412241212-V4-V16-V16-V43“分析”的方法较少，“综合”的方法较多。网络综合的主要步骤： 按照给定的要求确定一个可实现的转移函数，此步骤称为逼近；(2) 确定适当的电路，其转移函数等于由逼近所得到的函数，此步骤称为实现。7.2 网络的有源性和

2、无源性( )( ) ( )p tv t i t00( )( )( ) ( )dttW tW tvi( )0,( ), ( )W tv t i t00( )00()22200( )( )( ) ( )( )111( )( )( )( )222tv ttv tW tW tvidW tCvdvW tCv tCv tCv t22011( )( )( )22W tCv tCv t02( ),ttv t dt 02( )tti t dt 00( )( )( ) ( )d0ttW tW tvi( )()( )()0vvii ( )( ) ( )d0tW tvi( ), ( ),v t i t t ( )(

3、) ( )d0tTW tvi( )( ) ( )d0tTW tvi2( )( ) ( )d( )ttW tviRid112200vininv 1122( ) ( ) ( )( ) ( )d0tW tvivi112200virvri 112200vikikv 7.3正实函数)(sFjs1 定义 设是复变量的函数，如果0Ims0)(ImsF当时，0Res0)(ResF当时，则称)(sF为正实函数 j)(ResF)(ImsF(1)(2)(2)(2)(2)00图5.6 正实函数的映射关系s平面F(s) 平面正实条件 )(/ )()(sNsMsF设 M(s)、N(s)全部系数大于零；(2) M(s)、N

4、(s)的最高次幂最多相差1，最低次幂最多也相差1；(3)F(s)在j轴上的极点是一阶的，且具有正实留数；0)j (ReF(4)(5)M(s)、N(s)均为Hurwitz多项式。霍尔维茨（Hurwitz）多项式的定义： 如果多项式P(s)的全部零点均位于左半平面，则称P(s)为严格霍尔维茨（Hurwitz）多项式。如果多项式P(s)的全部零点均位于左半平面，且在虚轴上的零点时单阶零点，则称P(s)为霍尔维茨（Hurwitz）多项式。霍尔维茨（Hurwitz）多项式判别条件： 设P(s) 是一次的或二次的，如果它没有缺项且全部系数同符号，则是严格霍尔维茨（Hurwitz）多项式。两个或两个以上严格

5、霍尔维茨（Hurwitz）多项式的乘积仍是严格霍尔维茨（Hurwitz）多项式。霍尔维茨（Hurwitz）多项式判别方法：罗斯-霍尔维茨数组检验法 罗斯-霍尔维茨数组：2131nnnnnnaaaaba41511nnnnnnaaaaba24113521231210nnnnnnnnnnnnnnnnsaaasaaasbbbscccss61721nnnnnnaaaaba131nnnnnnaabbcb例：5432( )20147484612336P ssssss罗斯-霍尔维茨数组如下： 543210114761220484336122.8595.2387.06336489336ssssss1521nnn

6、nnnaabbcb例：5432( )56656P ssssss罗斯-霍尔维茨数组如下：5432101655165.83.82.276619.096ssssss例：42( )43P sss44243342101434348( )482323sPsssP ssssss例 判断下列函数是否为正实函数。132)(1sssZ4252)(22ssssZ5433325736( )101ssssZ sss2422( )2ssZss 4325543210355024( )5656ssssZssssss(a)(e)(d)(c)(b) 显然满足(1)、(2)。又，满足(3)，是正实函数。132)j (Re1j3j2

7、)j (2211ZZ，)(1sZ(b) 显然满足(1)、(2)。但)50(0161002)j (Re2222当Z不是正实函数。 )(2sZ(c) 分子与分母最高次方之差为2, 不是正实函数。 (d) 分子为二次式，不缺项且系数均为正，故为严格霍尔维茨多项式。 分母可写为2( )2(2)(2)D sssjsj故Z4(s)在 轴上有两个单阶极点： j122,2sjsj 不满足（3）。 121142221()( )02222s ssjssjss D ssjj 221242221()( )02222s ssjssjss D ssjj 2242222Re()Re1022jDj 因此是正实函数。 232(

8、 )10355024N sssss4321013524105030244224sssss5432( )5656D ssssss5432101655165.83.82.276619.096ssssssD(s)不是霍尔维茨数组。 因此不是正实函数。 7.4 LC一端口的实现 112( ) ( )( )( )0bkkkU s I sUs Is112( ) ( )( )( )bkkkU s I sUs Is11( )( )I s Is12211( )1( )( )( )(1)( )( )bkkkU sZ sUs IsI sI s1( )()( )(2)kkkkkUsRsL IssC特勒根定理： 222

9、111( )()( )( )bkkkkkZ sRsLIssCI s202( )( )(3)bkkkF sR Is2021( )( )(4)bkkkV sIsC202( )( )(5)bkkkT sL Is00022211Re ( )( )( )( )( )Z sF sV sT sI sRe 0sRe ( )0Z s因此Z(s)是正实函数。 )()(1)()(1)(00021ssTsVssFsIsZLC一端口性质： 00021( )10,( )0,( )( )|( )|V sRF sZ ssT sI ss1 Z(s)或Y(s)为正实函数；2零、极点均位于 轴上且交替出现。j22221222221

10、2()()( )()()zzLCpps ssZsKss222212222212()()( )()()zzLCppssZsKs ss)()(| )(|1)(0021sTsssVsUsY二 LC一端口的Foster综合(基于部分分式展开) 1 Foster第一种形式串联形式，用Z(s) niiissKsKsKsZ1220)( L0CiLiCiiiiiiiiCLsCssCsLCLsZ1/1/)(2 计算并联阻抗：220002222j( )limlim ( )( )lim( ) ( )piisssspipiissZ sKKZ s ssZ ssssKZ sZ sssZ(s)=，s200/ 1/ 1iii

11、iiKLKCKCKL ，2 Foster 第二种形式并联形式，用Y(s) niiissKsKsKsZsY12201)()( C0LiCiLnCnL21)/ 1 (11)(iiiiiiCLssLsCsLsY )(sYiiiiiKLKCKLKC11200 、【例】5.2 分别用Foster 第一和第二种形式综合阻抗函数)4)(2()3)(1(8)(2222ssssssZ【解】 (1) 对Z(s)进行展开 22222221023)2(2342)(sssssssKssKsKsZ22)(lim, 3824)(lim22100sssZKssZKjss34)(lim222sssZKjs0C1L1C2L2C)

12、(sZH43F311H1F211F31122222221111100，KLKCKLKCKC (2) 对Y(s)进行展开 316111638131)3)(1(8)4)(2()(1)(2222212222sssssssKssKsKssssssZsY C1C1L2C2L)(sYH161 F,481H3161 F,163 F,81222222112111 KLKCKLKCKC三 Cauer(考尔) 综合 (基于连分式) 1 Cauer 第一种形式(特点：逐次移出 处的极点。串臂为电感，并臂为电容) s)(sZ)(/)(sYsZ111 1sL)(/ 1)(22sYsZ 1sL1sC)(/ 1)(33sY

13、sZ 1sL1sC2sL)()(sYsLsZ111 的极点为)(sYs1 )(s1)(211sYCsLsZ 的极点为)(2sZs )(sZsLCsLsZ32111s1)( 的极点为)(3sYs 图5.15 Cauer 第一种形式原理图【例】7.3 设 。试用Cauer第一种形式综合。 ssssZ1231)(32【解】 为Z(s)的零点，故首先用Y(s)。 ssssssssY919113112323 )(099(9) 109/( 1)9333(123) 122223132ssCssssLssssssCssssF31 CH912 LF92 C图5.162 Cauer 第二种形式(特点：逐次移出s=

14、0处的极点。串臂为电容，并臂为电感) F(sZ11sC11sC1sL1sL11sC21sCF(/F(sYsZ111 的极点为F(sYs10 的极点为F(sZs20 F(F(sZsLsCsZ2111111 F(sYsCsZ1111)( F(/F(sYsZ221 的极点为)(03sYs F(/F(sYsZ331 图5.17 Cauer 第二种综合原理例7.4 设 。试用Cauer第二种形式综合。 ssssZ1231)(32ssssZ411161121)( 【解】 04/3)/(1)4/(1 (4/3)3012)/(1/16(312)4/34/1)/(1)12/(1 (1 )312222313221

15、23ssCsssssLssssssCssssF121 CH1611 LF42 C7.5 RC 一端口的实现 一 RC一端口的性质(必要条件)00 F(sMF (F(|F(|F(sVssFsIsZ002111 0 F(zsZ000 F(F(zzzsFsVs)(1)(| )(|1)(0021sVssFsUsY0)( zsY000 F(F(zzzsFsVsFI(F(0110 innKKsKsKsKKsZ niiiKKddZ12200F(F()(Z二 ZRC(s)的性质1 全部零极点位于负实轴上，而且是一阶的。 2 ( )RCZ是严格单调减函数。零点和极点在负实轴上交替排列。3 ZRC(s)在原点可能

16、有极点，但不可能有零点。在无穷处可能有零点，但不可能有极点。(0)(0)( )RCRCRCRCZZZ当和）均为有限值时，必有Z。4 分子和分母的阶数相等，或分母较分子高一次。5 所有极点处的留数均为正值。6 对于所有的()0jRC值，均有ReZ。三 Foster综合(基于部分分式展开)1 Foster第一种形式(并串联形式)12121122()()()( )()()()0zzzmRCpppnpzpzpmzmsssZsKsssFI(F(0110 innKKsKsKsKKsZ00( )( )()( )piRCRCsipiRCssKZsKsZsKsZsLim R0CiRiCiRiCF/ (/F(ii

17、iiCRsCsZ11 iiiiiKCKRKCKR/I/I/I1100 Foster 第二种形式(串并联形式) niiisKsKKssY10F( niiissKKsKsY10)(001( )( )( )pipiRCsRCsiRCssKYsKYsKYsss C0RiRiCnRnCiiiiiKRKCKRKC/I/I1100 F(sY【例】7.5 试用Foster两种形式综合。F(FF (F(2312 sssssZ【解】(1) Foster 第一种形式展开 2132 sssZF(2)Foster 第二种形式展开3411413122 ssssssYs/FF (F44F41F/(F121F/(2F31F/

18、(F/( 21F21F/(Foster 1Foster 2四 Cauer 型综合(基于连分式)1 Cauer 第一种形式(串臂为电阻，并臂为电容) nnsCRsCRsCRsZ111112211 F(1R2RnR1C2CnCCauer 12 Cauer 第二种形式(串臂为电容，并臂为电阻)。 nnsCRsCRsCRsY111111111112211 F(1R1C2R2CnRnC【例】7.6试用Cauer 两种形式综合。FF (FF (F(3142 sssssZ【解】(1) Cauer 103115 . 1134121113486s)(22 ssssssZ1R1sC2R2sC3R1F/(34F/(

19、 31F50.F51.12218634Rssss(F 342 ss12503452sCssss.(F ss522. 23452351Rss/(F. 42 s2513511sCss.(.F s51.33113R/(F10Cauer 1 的长除过程Cauer 20443121968188491732183684322 sssssssYF(11R11sC21R21sC31RF327F968213849883441221834368Rssss(F 834932ss 1221732688547sCsssss(F s7208 222188498547722Rssss(F 2884947ss 2221219

20、68722443sCssss(F s7223221443443Rss(F2443s0Cauer 2 的长除过程7.6 RLCM一端口的实现jj一 定义1 不含轴上极点的阻抗(导纳)函数，称为极小电抗(电纳)函数。2 在称为极小实部函数； 轴上某一点具有零实部的阻抗（导纳）函数， 3 如果一个导抗函数同时是极小电抗函数、极小电纳函数，极小实部函数，则称之为极小函数。（极小函数是正实函数）。4122 sssssZF(0.5( 1j 15)ps 0.5( 1j 3)Zs 20)4(44)j (Re22224Z二 从正实函数中分解出极小函数1 移出j轴上的极点：FF (F(415683222234 s

21、sssssssZ移出j上的极点：F(F(sZsKssZ121 112 F(l i msZssKjs452212221 sssssKssZsZF(F(2 电阻约简（移出实部最小值）142j222221 F(F(F (oe Z2 mi nF (oe RjZ 114112212 sssssZsZF(F(H1F11 mi nRF(sZ2F(sZF(sZ14111)(222 sssssssZ三 极小函数的布隆综合F(sZ11111jjXZ F(设为极小函数，则存在，使得。1 以01 X情况为例：F(sZS0112 jsSsZsZsZF (F(F(提取串联元件，使余函数, 即要求112j)j (XZ 。0

22、1 C1121sCsZsZ F(F(设串联元件为电容，则。 (a) F(sZ2在s=0处存在极点，且极点留数为-1/C10,Z2(s)不是正实函数。(b) Z1(s)=Z2(s)+1/(sC1)在s=0处存在极点，Z1(s)非极小函数，矛盾。 故串联元件不能为电容。(2) 设串联元件为电感，则0jj)j (111111XLXLZS(a) |F(F(F(11112LssZsLsZsZ F(sZ2在1js处存在零点(一定成对出现)，移出之 1L2L2C3YF(sZ1F(/F(sYsZ221 0010121222222212232122221 /I/F(F(l i mF(F(F(KCKLYsYssK

23、sYssKsZsYjs是正实函数(b) 212223 ssKsYsYF(F( sF(F(F(F(零点，00322 sYsYsZ34331sKsZsYsZ F(F(F(03333 KLssZKs，F(l i m1L2L2C3L4ZF(sZ1F(sZ2F(sZ3F(sZ4F(sZ4 s仍为正实函数，化为极小函数后重复上述过程。在处无极点。（c）解决负电感问题*MpLSLMLLp 1MLLS 3ML 2消去互感1L2L3L23221LMLLLLLLSP 增加互感可实现的MLLSP、必须满足条件：1002000 SPSPSPSPLLMkLLMLLMLL， sKLLLLLLLLssLsLsLssZF(F(321332213211111F(sZ1 s因为是极小函数，在处无极点，所以032133221 LLLLLLLLK0133221 LLLLLL032222323221 LLLLLLLLLLLP032 LLLS200223