第24题拓展试题

1、24. (1)如图，抛物线y=x2+ax+b与x轴交于A、B两点，对称轴为直线x=1, 且点A的坐标为A (-1, 0)(1) 求抛物线的解析式；(2) 点Q是抛物线上一点，若点Q到y轴的距离等于AB的长，求点Q的坐标;(3) 若点Q在抛物线对称轴的右侧，点 P为y轴上一点，以点P、A、B、Q为 顶点作 ABQP,将口ABQP绕点A旋转180°,得平行四边形ABZ Qz Pz .那么经 过点Q/、PC A三点的抛物线是否可由(1)的抛物线平移而得到？若行，请确 定平移关系；若不行，请说明理由.第24 (1)题图 解:(1) v抛物线y=x2+ax+b的对称轴为直线x=1，点A的坐标为

2、A (-1, 0), 点B的坐标为B (3，0),抛物线的解析式为：y=(x+1)(x-3)=x2 -2x-3;(2) v AB=4,则点Q到y轴的距离为4,二点Q的横坐标为4或-4.当 x=4 时，y=42 -2 >4-3=5，即点 Q 的坐标为 Q (4，5);当 x=-4 时，y= (-4) 2-2 X(-4) -3=21,即点 Q 的坐标为 Q (-4，21)综上所述，满足题意的点 Q有两点：Q1 (4，5) , Q2 (-4, 21);(3) v点Q在对称轴的右侧，则点 Q (4,5),则点P (0,5),v点Q (4, 5)和点Q/关于点A (-1, 0)中心对称,点 Q/

3、(x,y)的坐标满足:x+4=2X (-1) ,y+5=2X0, x=-6,y=-5, Q/ (-6,-5),同理可得 P/ (-2, -5),设经过三点A、Q/、p/的抛物线的解析式为：尸ax2+bx+c,9 = a - b + c由题意得： 5=36a-6b+c,解之得：a=1, b=8, c=7.厂5 = 4a _2b +c二此抛物线的解析式为：y=x2 +8x+7.抛物线 y=x2-2x-3= (x-1) 2-4 与抛物线 y=x2+8x+7=(x+4)2-9 二次项相同，则它们的形状相同，将抛物线y=x2-2x-3向左平移5个单位，再向下平移5个单位便可得到抛物线 y=x2 +8x+

4、7.(2 )如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点0、B (1, 3)、C (2, 2)与x轴交于另一 点N.(1) 求抛物线的表达式；(2) 若点P为抛物线上一点，当 PON的面积最大时，求点P的坐标；(3) 连接BC，若点A为BC所在直线与y轴的交点，是否存在点P,使得 POA的面积等于 PON的面积的-?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说15明理由第24 (2)题图 解：(1)将B，C，O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c，a b c =3 可得丿4a+2b + c=2，c =0a = -2解得* b = 5 ,i c = 0所求的抛物线为y=-2x2+5x;(2) v

5、 ON的长是定值，当点P为抛物线的顶点时， PON的面积最大，由 y - -2x2 5x - -2(x-)225 得，48则该抛物线的顶点坐标为(-,竺).4 8则点P的坐标为(-,2-).4 8(3) 存在,设BC所在直线的表达式为y=kx+b，将点B、C的坐标代入可得k=-1,b=4, 贝 U y=-x+4.把 x=0 代入 y=-x+4 得 y=4，点 A (0，4)，把 y=0 代入 y - -2x2 5x 得 x=0 或 x =5，25点 N(5,0)，设点P的坐标为(x,y) OJ*x = 2jc» Sg丽ON*y 二丄 h 二* (+5x) = (-2x + 5x) 222 24由 S