第二章 等额年金 (上)

1、第二章等额年金（上）等额年金（上）主要内容v年金的定义年金的定义v年金的类型年金的类型v年金的现值与终值年金的现值与终值v年金的利率问题、时间问题求解年金的利率问题、时间问题求解一、年金的定义v年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付或收款。或收款。v等额年金：每次的支付额相等。等额年金：每次的支付额相等。二、年金的类型v确定性分类：确定型年金、不确定型年金。确定性分类：确定型年金、不确定型年金。v每次的支付额分类：等额年金、变额年金。每次的支付额分类：等额年金、变额年金。v支付时点分类：期初付年金、期末付年金。支付时点分类：期初付年金、期末付年金。v支付期

2、限分类：定期年金、永续年金。支付期限分类：定期年金、永续年金。v连续性年金：离散型年金、连续型年金。连续性年金：离散型年金、连续型年金。三、年金的现值与终值v1、n年定期年金年定期年金v1）期末付年金）期末付年金v现值现值0 1 2 3 n1 1 1 1vv2vn。nnvvva2ivn1vvvn1)1(年金。元的，则每年末可得到年初存入1na上式可写成：nnvia1期初投资期初投资1元，每年末可获得利息元，每年末可获得利息i，且第且第n年末可获得本金年末可获得本金1元。元。年金终值v.0 1 n-2 n-1 n1 1 1 11+i(1+i）2(1+i)n-1。12)1 ()1 ()1 (1nn

3、iiisnsiin1)1 (每年末存入1元，第n年末可得)1 (1)1 (1iin的关系与nnsannnias)1 ( 证明：iiiisnn1)1 (1证：isann11nnnnaviiii111)1 ()1 (2）期初付年金v现值0 1 2 n-2 n-1 n1 1 1 1 1 vv2Vn-1。121nnvvva vvn11dvn1nnvad 1或：终值v。0 1 n-2 n-1 n1 1 1 1 1+i(1+i)2(1+i)n。diiiisnnn1)1()1()1()1(2 dsaiassannnnnnn 11)1(或：的关系与期初付年金与期末付年金期初付年金与期末付年金nnaia)1 (

4、 nnsis)1 ( 其他111111nnnnnnssaaaa 例：王平从银行贷款例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的元，他想在今后的10年年内等额还清贷款，贷款年利率为内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求：。求：1）每年末的还款额；）每年末的还款额；2）每年初的还款额）每年初的还款额。v解:元04.3985200001200001010PivPPa1010200001200003485.25PavPdP元2、延期、延期m年的年的n年期年金年期年金v1）期末付延期年金v现值0 m m+1 m+n-1 m+n 1 1 1Vm+1vm+n-1Vm+n。v或：mnmnmaaanmnmmm

5、nmvvvva121nmav)(2nmvvvv终值nnnnmsiiiiis1)1 ()1 ()1 ()1 (112nmnmnmias)1 (或：或：2)期初付延期年金v现值11nmmmnmvvva mnmnmaaa 或：)1 (12nmvvvvnmav 。v终值 nnnnmsdiiiis 1)1 ()1 ()1 ()1 (2nmnmnmias)1 ( 或：或：例：例：3，000元的债务从第元的债务从第5年初开始，每年初偿还相年初开始，每年初偿还相同的数额，共分同的数额，共分15次还清，年利率为次还清，年利率为8%，求年还债，求年还债额。额。解：解：元51.441)08. 01)(3121. 3

6、6036. 9()(3000419154PPaaPaP 3、永续年金、永续年金v1）期末付年金现值）期末付年金现值v2）期初付年金现值）期初付年金现值iivaannnn11limlimddvaannnn11limlim 期初投资期初投资 元，则元，则每年可获得每年可获得1元元期初投资期初投资 元，元，则则每年可获得每年可获得1元元d1i13）延期）延期m年的永续年金年的永续年金dvavaivavamnmnmmnmnm limlim4、其他时点上的年金v过期年金的终值mnmniss)1 ( 0 1 - n n+1 n+m 1 - 1mnmniss)1 ( mnmssmnmss 同理：同理：.v年

7、金的当前值年金的当前值mnnmiav)1 ( 0 1 - m n 1 - 1 1 1mnnmiav)1 ( mnmasmnmas 同理：同理：例：某投资项目，前例：某投资项目，前3年每年初投资年每年初投资5万元，后万元，后3年每年每年末投资年末投资3万元，万元，i=6%，试计算该项投资在，试计算该项投资在10年末的年末的终值终值v解：前3年投资在10年末的终值为：v后3年投资在第10年末的终值为：v总的终值为：37.43万元万元06.12)1 (334343iss万元37.25)1 (557373iss 5、连续年金、连续年金v现值11)1()1ln()1()1(1ln1ln0000aiiid

8、tisvvvvvdtvannnttnnnnnttn永续年金终值例：某企业从银行获得一笔贷款，年利率为例：某企业从银行获得一笔贷款，年利率为6%，假设企业每，假设企业每年末向银行偿还年末向银行偿还20，000元，元，10年后还清，如果企业打算在年后还清，如果企业打算在5年内一次还清，试求一次还清的额度。年内一次还清，试求一次还清的额度。v解： 元0617.196982747285. 0360087. 720000)1 (20000510PiPa李明今年李明今年30岁，他计划每年初存岁，他计划每年初存300元，共存元，共存30年建年建立个人养老金，这笔存款能使他从立个人养老金，这笔存款能使他从60

9、岁退休开始每年岁退休开始每年初得到固定金额的养老金，共能取初得到固定金额的养老金，共能取20年，假设存款利年，假设存款利率在前率在前30年为年为6%，后，后20年为年为12%，求每年得到的养，求每年得到的养老金额。老金额。v解：%1220%630300aPs 元78.3365P例：某单位计划用例：某单位计划用10年时间每年初存入银行一笔固定年时间每年初存入银行一笔固定的金额建立基金，用于的金额建立基金，用于10年末开始每年年末开始每年2，000元的永元的永续奖励支出，续奖励支出，i=12%,求每年需存入的金额。求每年需存入的金额。%12%12102000asP 元74.949P解：解：例：设某

10、期初付年金共支付例：设某期初付年金共支付20年，其中：前年，其中：前6年的年金额为年的年金额为5元，元，中间中间9年的年金额为年的年金额为7元，后元，后5年的年金额为年的年金额为10元，请写出年金元，请写出年金现值和终值的表达式。现值和终值的表达式。5159661075aaa 146595)1 (5)1 (710isiss 解：现值解：现值终值终值四、年金的利率、时间问题求解四、年金的利率、时间问题求解v1、利率问题、利率问题v1）迭代法一）迭代法一v2）Newton-Raphson迭代法迭代法1）迭代法一v迭代公式迭代公式)(1ttifi步骤v第一步第一步 ：确定：确定i0，求，求i1；vA

11、、i0 可由线性插值法确定；可由线性插值法确定；vB、泰勒级数前两项确定。、泰勒级数前两项确定。)121(1)211 (1122inninnan) 1()(2) 1()(20nAAnnaaninn第二步：由第二步：由i1求求i2，以此类推，以此类推。 v可得i0、i1、i2-，直到it+1it为止。v确定迭代公式：Aiiann)1 (1Aiin)1(1得：。v得：Aiintt)1 (11缺点：收敛速度慢。即达到精确值的速度慢。缺点：收敛速度慢。即达到精确值的速度慢。2）Newton-Raphson迭代公式2 , 1 , 0A)1(1 )1 (1)1 (11)1(1taniiAiiiintntt

12、nttt其中：) 1()(20nAAni优点：速度快优点：速度快。推导N-R近似公式v。)()()(11tttttiFiiiFiF0)(1tiF令：)()(1ttttiFiFii得：。Aiiann)1 (1令：AiiiFtntt)1 (1)(得：2 , 1 , 0A)1(1 )1 (1)1 (11)1(1taniiAiiiintnttnttt其中：如果已知如果已知 ，则迭代公式，则迭代公式ns1)1(1 )1 (1)1 (111niisiiiitnttnttt其中：其中：) 1()(22 , 1 , 00nsnsitssn例、某人存入银行例、某人存入银行8，000元，然后每年末从银行支取元，然

13、后每年末从银行支取1，000元，共取元，共取10年，求：年，求：iv解法一：线性插值法。8100080001010aa8)(10 aif试算得：试算得：f(0.040)=0.1109=f(i2) f(0.045)=-0.0873=f(i1)04280. 0)()()()(1211210ifififiiii令：令：解二：迭代一：045. 0) 110(8)810(20iAiintt)1 (11i(0)=0.045 i(1)=0.0448583 i(2)=0.0443989 i(6)=0.0433879 i(7)=0.0432567i(8)=0.0431539 - i(42)=0.04277506

14、 i(43)=0.0427750 i(44)=0.0427750由公式：由公式：解法三，N-R迭代法045. 0118)810(2) 1()(20nAAni2 , 1 , 0A)1(1 )1 (1)1 (11) 1(1taniiAiiiintnttnttt其中：042775. 0042775. 0042748. 004545. 0045. 043210iiiii由由N-R公式：公式：得：得：i=0.0427752、时间问题v1）解析式ivann1viannln)1ln( 2）小额支付v当当n为非整数时，有小额支付问题。为非整数时，有小额支付问题。0 1 k-1 k s k+1 1 1 1 w

15、n=k+s s1最后一次支付额w1W的计算skknwvaaW的提前支付vW在第k+1年初的现值。v最后一次取款额为swvP swv1W的延时支付vW在第k+1年末的终值。siw1)1 (例：投资者将其例：投资者将其20，000元存入某基金，希望元存入某基金，希望在每年末领取在每年末领取1，000，i=4.5%，求：，求：v1）领取的时间及取款的次数；）领取的时间及取款的次数；v2）最后一次的取款额；）最后一次的取款额；v3）最后一次取款额在当年的现值和终值。）最后一次取款额在当年的现值和终值。解：v1）求n20200001000nnaa3114.52)1ln()201ln(iin取款次数为取款

16、次数为53次次2）设小额支付为w元7 .3061000200003114.5252wwva3）如果如果w在在53年初支付，则其现值为：年初支付，则其现值为：元52.3023114.0 wvA元14.316)1 (3114. 01iwB如果如果w在在53年末支付，则其终值为：年末支付，则其终值为：五、可变利率年金五、可变利率年金v假设每年的实际利率分别为假设每年的实际利率分别为i1、i2、-in。v1、期末付年金、期末付年金0 i1 1 i2 2 n-2 in-1 n-1 in n 1 1 1 1 1现值11111111211)1()1()1()1()1()1(iiiiiiannn11121vv

17、vvvvnnnttssi111)1 (终值v。 )1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 (1321nnnnniiiiiisnttssni1101)1 (2、期初付年金、期初付年金111211111211)1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 (1iiiiiiannn )1()1()1()1()1()1(211nnnnniiiiiis 现值现值终值终值3、如果支付时，以当年利率为标准、如果支付时，以当年利率为标准。1221)1 ()1 ()1 (1nnnniiisnnniiia)1()1()1(2211nnnniiis)1 ()1 ()1 (121 )1(12211)1 ()1 ()

18、1 (1nnniiia 例：某人每年初存入银行例：某人每年初存入银行1，000元，前元，前4年的年利率年的年利率为为6%，后，后6年的年利率为年的年利率为10%，试求该年金的终值和，试求该年金的终值和现值。现值。v解：元06.1670217.848789.82141000%)101 (1000%1066%64ss 元77.7467%)61 (%)101 (06.1670246终值：终值：现值：现值：例：在每年初投资例：在每年初投资1，000元，为期元，为期5年。如果前年。如果前2年的年的投资按年实际利率投资按年实际利率5%计算，后计算，后3年的投资按年实际利年的投资按年实际利率率6%计算，试计

19、算该项投资在第计算，试计算该项投资在第5年末的价值。年末的价值。v解：前2年的投资在第5年末的价值为：v后3年的投资在第5年末的价值为：v总价值为：3%52%)51 (1000s %631000s %631000s 3%52%)51 (1000s 元4 .5866第2章练习题v。1、某人想用分期付款方式购买一辆现价为、某人想用分期付款方式购买一辆现价为10万元的万元的汽车，如果首期支付一笔款项后，在今后的汽车，如果首期支付一笔款项后，在今后的5年内每年内每月末付款月末付款2，000元即可付清车款，假设每月结转一次元即可付清车款，假设每月结转一次利息的年名义利率为利息的年名义利率为8%，试计算首

20、期付款的金额为，试计算首期付款的金额为多少？多少？v2、某人将在10年后退休，他打算从现在开始每年初向一种基金存入2，000元，如果每年的收益率为6%，试计算他在退休时可以积存多少退休金？v3、某人从2000年3月1日起，每月可以领取200元，直到2010年6月1日。如果每月结转一次利息的年名义利率为6%，试计算：1）年金的现值；2)年金的终值；3)年金在2005年12月31日的值。4、某人在今后的、某人在今后的20年内，每年初向一基金存入年内，每年初向一基金存入10，000元，从第元，从第30年开始，每年末可以领取一笔退休金。年开始，每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为该基金的收益率为

21、6%。1）如果限期领取）如果限期领取20年，每次年，每次可以领取多少？可以领取多少？2）如果无限期的领下去（继承人可）如果无限期的领下去（继承人可以领取）每次可领取多少以领取）每次可领取多少?v5、某人留下了10万元的遗产，遗嘱规定，该笔遗产前5年的利息收入由其长子领取，第二个5年的利息由其次子领取，从第11年开始，剩余遗产全部归第三个儿子。如果实际利率为8%，试计算第三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额。6、某人将一笔遗产（每年可以领取的永续年金）捐、某人将一笔遗产（每年可以领取的永续年金）捐赠给了赠给了A、B、C、D四家慈善机构。在前四家慈善机构。在前n年，每次年，每次领取的款项由领取的款项

22、由A、B、C三家平均分享，三家平均分享，n年后，剩余年后，剩余部分均由部分均由D领取。试确定当领取。试确定当(1+i)n为多少时，为多少时，A、B、C、D四家在该遗产中享有的现值相等。四家在该遗产中享有的现值相等。v7、假设一笔、假设一笔10，000元的贷款，计划从第元的贷款，计划从第5年开始在每年末偿还年开始在每年末偿还1，000元，直到还清为元，直到还清为止。如果年实际利率为止。如果年实际利率为5%，并要求将不足，并要求将不足1，000元的一次非正规付款提前在前一年末支元的一次非正规付款提前在前一年末支付，试计算最后一次付款的时间和金额。付，试计算最后一次付款的时间和金额。8、如果年利率为

23、、如果年利率为i，那么一笔在，那么一笔在36年内每年末支付年内每年末支付4，000元的元的年金，与另一笔在年金，与另一笔在18年内每年末支付年内每年末支付5，000元的年金将有相元的年金将有相等的现值。试计算等的现值。试计算1，000元的投资在年实际利率为元的投资在年实际利率为i时，经过时，经过多长时间可以翻番。多长时间可以翻番。v9、借款人原计划在每月末偿还、借款人原计划在每月末偿还1，000元，元，用用5年的时间还清贷款。每月结转一次利息的年的时间还清贷款。每月结转一次利息的年名义利率为年名义利率为12%。如果他希望一次性支付。如果他希望一次性支付60，000元还清贷款，应该在何时偿还？元

24、还清贷款，应该在何时偿还？v10、投资者每月初向一基金存入一笔款项，、投资者每月初向一基金存入一笔款项，5年后可以积存到年后可以积存到60，000元。如果前元。如果前2年每年每次存入次存入1，000元，后元，后3年每次存入年每次存入500元，试元，试计算每月结转一次利息的名义利率。计算每月结转一次利息的名义利率。11、投资者每年末向一年金存入、投资者每年末向一年金存入2，000元。如果在前元。如果在前2年的投资按年的投资按6%的年实际利率计算，在后的年实际利率计算，在后2年的投资年的投资按按5%的年实际利率计算，投资者在第四年末可以积的年实际利率计算，投资者在第四年末可以积存多少价值。存多少价

25、值。v12、投资者每年末向一基金存入、投资者每年末向一基金存入2，000元。元。如果基金在前如果基金在前2年收益率为年收益率为6%，在后，在后2年的年年的年收益率为收益率为5%，投资者在第四年可以积存多少，投资者在第四年可以积存多少价值。价值。题1。元1363200010000012%860 xax题2。v。元279432000%610sP 题3元20.1834120012%6123aP元97.33872)12%61 (20012312%6123as元71.26004)12%61 (2006912%6123aV题4元60881)1 (10000%62010%620PaPis 元41898)1 (10000%610%620PaPis 题5万元194168. 310%851iaP万元173897. 2105%852viaP万元631935. 43P题6)1()1 (3iPiPann4)1 (ni。第1章练习题1）投资）投资1在利息强度为在利息强度为 的情况下，经过的情况下，经过27.72年将增加到年将增加到2，在每，在每2年计息一次的年名年计息一次的年名义利率义利率 的情况下，经过的情况下，经过n年增加到年增加到7.04，求，求n。272.27e04. 7)21 (2n80n解：2）基金以每月计息一次的年名义利率）基金以每月计息一次的年