4.3概率论与数理统计南京财经大学朱玲妹老师的ppt课件

1、，)()(),Cov(YEYXEXEYX )()(),Cov(YDXDYXXY tcoefficienncorrelatio则称其为则称其为 X 与与 Y 的协方差的协方差 (Covariance)为为X 与与Y 的相关系数的相关系数或称为或称为X 与与Y 的标准协方差的标准协方差),Cov(YX)(XYE )()(YEXE )()(YEYXEXE )()()()(YEXEXYEYXEXYE )()()(YEXEXYE ),Cov(YX )(YXD)()(YDXD ),Cov(2YX )(ZYXD)()()(ZDYDXD ),Cov(2),Cov(2),Cov(2ZXZYYX ),Cov(),

2、Cov(1XYYXo ,)()(4*XDXEXXo )()(*YDYEYY XYYX ),Cov(*协方差的性质：协方差的性质：),Cov(2)()()(22YXabYDbXDabYaXD ),Cov(),Cov(2YXabbYaXo ),Cov(),Cov(),Cov(3ZYZXZYXo (a,b 是常数是常数)1|10 XY 1| XY )()()()(YDYEYXDXEXD )()()()(YDYEYDXDXEXD )()()()(Cov2YDYEYXDXEXXY 211 0)1(2 XY 证明证明:1|20 XY )0(1 abaXYP, 1| XY , 1 XY )()()()(YD

3、YEYXDXEXD022 XY 1)()()()( CYDYEYXDXEXP0)()()()( YDYEYXDXEXEC1)()()()( YDYEYXDXEXP),0(1 abaXYP证明证明:称称X 与与 Y 正相关正相关. 1 XY )()()()(YDYEYXDXEXD022 XY 1)()()()( CYDYEYXDXEXP0)()()()( YDYEYXDXEXEC1)()()()( YDYEYXDXEXP)0(1 abaXYP称称X 与与 Y 负相关负相关.),0( abaXY2)(XEXaE )(XaD )()(baXDYD )(2XDa |aa 0011 aa)()(YEYX

4、EXE ),Cov(YX)()(baXEbaXXEXE )()(),Cov(YDXDYXXY )()()(YDXDYXD 0),Cov( YX0 XY ，若若0 XY ),Cov(YX)(XYE )()(YEXE 证明：证明：),()()(YEXEXYE )()()(YEXEXYE 0 , 0 XY 称称X 与与 Y 不相关不相关.假设假设 X 与与 Y 相互独立相互独立,则则X 与与 Y 不相关不相关.X 与与 Y 相互独立相互独立,X 与与 Y 不相关不相关(X 与与 Y 不相关不相关)X 与与 Y 不相关不相关X 与与 Y 相互独立相互独立)(XYE )5 . 0(5 . 00 25.

5、0 , 5 . 0)( XE5 . 0)( YE, 0)( XYE1 11 125. 005 . 025. 0XY25. 075. 0 ip75. 025. 0jp ),Cov(YX求：求：XY1 15 . 05 . 0p),Cov(YX)()(YEXE 例例1 随机变量随机变量(X, Y)的分布律为的分布律为:解解: 例例2 设随机变量设随机变量 X 和和 Y 的联合密度为的联合密度为 ),(yxf)(yx 0其它其它, 10 x10 y0 xy11)(XE127 dxdyyxxf),( 1010)(dyyxxdx)(YE dxdyyxyf),( 1010)(dyyxydx127 )(XYE

6、 dxdyyxxyf),( 1010)(dyyxxydx31 ),Cov(YX)(XYE )()(YEXE 12712731 1441 XYYX ),Cov(求：求：解解:)(2XE125 dxdyyxfx),(2 10210)(dyyxxdx,125)(2 YE22)()()(XEXEXD 14411 ,14411)( YD144111441 111 )()(),Cov(YDXDYXXY );32()1(YXD ).,Cov()2(YXYX , 2)( XE, 9)( XD, 1)( YE, 3)( YD3 )32(YXD )(4XD )(9YD ),cov(12YX 27 ),Cov()2

7、(YXYX )()(YXEYXE )()(YXEYX )()(YEYXEXE )()(22YEYXEXE )()(YDXD 6 ),Cov()1(YX)(XYE )()(YEXE )()(YEYXEX ),9 , 2( NX,4 , 2 UY, 5)( XYE例例3 知知求：求：解解:,2XY , 0)( XE,32)()(2 XEYE, 0)()(3 XEXYE0)()()(),Cov( YEXEXYEYX，0 XY 0 YP02 XP31 0 XP0, 0 YXP31 0 XP310, 0 YXP0 XP910 YP XP1 01313131例例4 设设X 的分布律为的分布律为:求求XY

8、, 并讨论并讨论X与与Y 的独立性的独立性.解解:X与与Y 不独立不独立.X与与Y 不相关不相关.XY1 01103231000313131313131(1)不相关的随机变量不一定独立不相关的随机变量不一定独立;(2)不相关不是没有关系不相关不是没有关系,而是没有线性关系而是没有线性关系.本例说明本例说明:，),(),(222121 NYX21),cov(DXDXYXXY 211 )(21 YXE dxdyyxfyx),()(21 211 ssstttdsdt21 22222112112 yyxx dxdy exp )1(212 221121 2211 yx 求求X和和Y 的相关系数的相关系数

9、.例例5212 ste)1(212 2)(st )1(22s dtds 2s22se 212 t)1(212 e2)(st dsdt 22sds 212 ste)1(212 )2(22tt ss dsdt 22se 设设(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,则则X与与Y 相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是X与与Y 不相关不相关.1.二维随机变量独立与不相关有什么关系？相关二维随机变量独立与不相关有什么关系？相关系数表示什么？系数表示什么？2. 二维正态分布的联合密度函数与边缘密度函数二维正态分布的联合密度函数与边缘密度函数有什么关系？有什么关系？ 相关系数绝对值的大小反映了随机变量

10、间线性相关系数绝对值的大小反映了随机变量间线性关系的密切程度关系的密切程度.X 与与 Y 不相关不相关1. X 与与 Y 相互独立相互独立 当当取不同值时取不同值时,表示不同的二维正态分布表示不同的二维正态分布.而边缘而边缘分布与分布与无关无关,所以不同的联合分布可以有相同的边所以不同的联合分布可以有相同的边缘分布缘分布. 对于不相关的两个正态随机变量对于不相关的两个正态随机变量,联合分布可以确定边缘联合分布可以确定边缘分布分布,边缘分布也惟一确定联合分布边缘分布也惟一确定联合分布.其它分布不具备这性质其它分布不具备这性质.2. 二维正态分布的边缘分布是一维正态分布二维正态分布的边缘分布是一维

11、正态分布222121, 当当 保持不变时保持不变时,可以取不同的值可以取不同的值.1. 随机变量随机变量X b (n, p), Y 服从参数为服从参数为的指数分的指数分布布,则有则有( ) npYXE)()3( npqYXD)()1( npXYE )()4( npqYXD)()2(, ,则有则有( )( )其其它它1,00),(),(. 2 yxyxyxf 127)()()2( EE5 . 1)()()1( EE14449)()3( E7211)()4( D4.如果如果,独立独立,那么那么( )1),Cov()1( )()()()2( DDD )()()()3( DDD )()()()4( D

12、DD 3.与与独立独立,其方差分别为其方差分别为 6 和和 3,那么那么 =( ) (1) 9 ； (2) 15； (3) 21； (4) 27)2( D5.设设,为两个随机变量为两个随机变量, 那么那么 ( )4 . 0, 9)(, 4)( DD ),Cov( (1) 2.4； (2) 14.4； (3) -2.4； (4) 14.4 6.设随机变量设随机变量 X 与与Y 的方差存在且不等于的方差存在且不等于0,那么那么是是X 与与Y ( )()()(YDXDYXD (1) 不相关的充分条件不相关的充分条件,但不是必要条件但不是必要条件. (2) 独立的充分条件独立的充分条件,但不是必要条件

13、但不是必要条件.(3) 不相关的充分必要条件不相关的充分必要条件. (4) 独立的充分必要条件独立的充分必要条件.7.关系式关系式 表示随机变量表示随机变量X 与与Y ( ) 0 XY 1)3( baXYP)()(),cov()4(2YDXDYX (1) 相互独立相互独立 (2) 不相关不相关),(YX(1) 求求 ,(2) X与与Y是否相关？是否独立？是否相关？是否独立？)(XYE81818118108108181811101 YX9. 设二维随机向量设二维随机向量 的联合分布为的联合分布为8. 设随机变量设随机变量 X与与Y 的相关系数为的相关系数为0.5，, 0)()( YEXE, 2)

14、()(22 YEXE 2)(YXE那么那么11. 设二维随机变量设二维随机变量,的联合密度函数为的联合密度函数为 ),( 其他其他20 , 100)(31),( yxyxyxf求求 的相关系数的相关系数. .常常数数kkZYZXUZ),sin(,sin,2 , 0.12 10.设随机变量设随机变量X 和和Y 的联合密度为的联合密度为 ),(yxfxy80其它其它10 xxy 0),Cov(YX求求求求X和和Y 的相关系数的相关系数.14.利用二维正态分布的结论利用二维正态分布的结论,有有 dxexxx2)3(22)96(21 ，12),Cov(,25)(,16)(, 0)()( YXYDXDY

15、EXE13. 设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)服从服从),(222121 N则则X和和Y的协方差的协方差Cov(X,Y)=15. 设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,且且求求(X,Y)的联合概率密度函数的联合概率密度函数.16 .设二维随机向量设二维随机向量 (X,Y) 的密度函数为的密度函数为 ),(),(21),(21yxyxyxf (1)求随机变量求随机变量X和和Y的密度函数的密度函数,X和和Y的相关系数的相关系数; (2)问问X 和和Y是否独立是否独立?为什么为什么?其中其中 与与 都是二维正态密度函数都是二维正态密度函数, ,且它且它们对应的

16、二维随机变量的相关系数分别为们对应的二维随机变量的相关系数分别为1/31/3和和-1/3,-1/3,),(1yx ),(2yx 它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零都是零, ,方差都是方差都是1.1.1. (3) ；2. (2) ；3. (4) ；4. (2) ；5. (1) ；6. (3) ; 7. (2) 22)()()(YXEYXEYXD 2)(YXE ),cov(2)()()(YXYDXDYXD , 2)(, 2)(. 8 YDXD)()(),cov(YDXDYX 15 . 02 6 9.81818118108108181811

17、101 YX838283 ip838283jp , 0)()()1( YEXE, 0)( XYE811, 1)2( YXP64911 YPXP ),Cov(YX)(XYE 0)()( YEXEX与与Y 不相关不相关.X与与Y 不独立不独立.)(XE 1044dxx54 dxdyyxxf),( xydyxdx02108)(YE 10438dxx158 dxdyyxyf),( xdyxydx021080 xy11)(XYE dxdyyxxyf),( xdyyxdx022108 10538dxx94 ),Cov(YX)(XYE )()(YEXE 2254 10. 解解:,162/13)(, 9/5)

18、(.11 XDXE81/1),Cov(, 3/2)( YXXYE2992 其它其它02021)( zzfZ)(sin)(ZEXE 0sin2120 zdz12. 解解:81/23)(, 9/11)( YDYE)(sin()(kZEYE 0)sin(2120 dzkz),Cov(YX)(XYE )()(YEXE )sin(sinkZZE 20)sin(sin21dzkzz 20)2cos(cos41dzkzkkkcos212cos41 22)()()(XEXEXD 202sin21zdz212212sin24202 zdz)()(2YEYD 21)(sin21202 dzkz XY )()(),Cov(YDXDYXkkcos21cos21 , 0,2 k取取ZYZXcos,sin 122 YX21.13 ； 14. 1； )162425(5121exp321),(.1522