设xnfn是一个以自然数集为定义域的函数将其函数值按学习教案

1、会计学1设设xnfn是一个以自然数集为定义域的函数是一个以自然数集为定义域的函数将其函数值按将其函数值按第一页，编辑于星期二：九点 二分。 设xn=f (n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x1, x2,xn, , 称为一个数列. xn称为数列的第n项，也称为通项,数列也可表示为xn或xn=f (xn)第一节数列的极限第一节数列的极限一、数列的极限一、数列的极限第1页/共156页第二页，编辑于星期二：九点 二分。例例. .,11 . 1nxn,) 1( . 2 nn,21) 1( . 3nnx, . 42n,1,34,23, 2nn ,) 1(,31,21,

2、 1nn,21) 1(, 1 , 0 , 1 , 0n, 9 , 4 , 12n第2页/共156页第三页，编辑于星期二：九点 二分。1x 看数列1.nxn11从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时, 数列xn趋近于1.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?2x123x234x345x4xn第3页/共156页第四页，编辑于星期二：九点 二分。 注意到,实数a, b的接近程度由| ab |确定. | ab |越小, 则a, b越接近.因此, 要说明“ 当n越来越大时, xn越来越接近于1”就只须说明“ 当n越来越大时, | xn1 |

3、会越来越接近于0”.而要说明“| xn1 |越来越接近于0”则只须说明“ 当n充分大时,| xn1 |能够小于任意给定的, 无论多么小的正数” 就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数, 当n充分大时, | xn1 | 比还小,由于是任意的,从而就说明了|xn1| 会越来越接近于0.第4页/共156页第五页，编辑于星期二：九点 二分。事实上, nxn1| 1|, 给10001, 很小, 100011| 1|nxn, 只须n1000 即可, 数列中,从第1001项开始,以后各项都有10001| 1|nx要也即在这个第5页/共156页第六页，编辑于星期二：九点 二分。又给100001, 则从第10

4、001项开始,以后各项都有100001|1|nx第6页/共156页第七页，编辑于星期二：九点 二分。一般, 任给 0, 不论多么小, nxn1| 1|只须1n. 因此, 从第11项开始, 以后各项都有 | 1|nx. 因是任意的, 这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.要使第7页/共156页第八页，编辑于星期二：九点 二分。定义定义: : 设xn是一个数列, a是一个常数, )( , limnaxaxnnn或若 0, 正整数N, 使得当nN时, 都有|xna|0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|N时, 有| xna |”

5、的意思是说, 从第N+1项开始,以后各项都有|xna |0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|,.limaxnn则记第11页/共156页第十二页，编辑于星期二：九点 二分。几何意义几何意义: :x2x1a-xN+5axN+1a+x3x)(xN由于| xna | a xn0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|0. 由于|xn1|=|c c|= 0取N=1, 当nN时, 有|xnc |=0 ccnlim故即常数的极限就是常数本身.第13页/共156页第十四页，编辑于星期二：九点 二分。例例2.2. 设q是满足 |q | 0. 设 0 |q |N时, 有 |qn 0| )因

6、| xn a | = |qn 0| = |qn | = |q | n ,要使| xn a | , 只须 |q | n 即可.第14页/共156页第十五页，编辑于星期二：九点 二分。即 n ln |q | N 时, 有,|lnln|lnlnqqn从而有. 0limnnq故| qn 0 | 0) | 0cos1|nn.1|0cos1|0|nnnxn因|0|nx要使,1n只须则当nN时, 有.|0cos1|0|nnxn(要证N, 当nN时, 有,1.1Nn取即. 0cos1limnnn故若 0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|0,由于nnannanaxn22221|)(222nanna

7、.2na第17页/共156页第十八页，编辑于星期二：九点 二分。要使 | xn a | N 时, 有122nan. 1lim22nann故第18页/共156页第十九页，编辑于星期二：九点 二分。例例5.5. .0. 1lim为常数其中证明aann证证: : (1) 设 a = 1, 结论显然成立.(2) 设 a 1, ),0(1nnna令从而 nnnnnnnnnnCCCa 2211)1 ( 1+ nn.1nan得第19页/共156页第二十页，编辑于星期二：九点 二分。 0,11naann,1na要使,1na只须.1即可即an.1,1naNnaN有时则当取).1(1limaann其中故第20页/

8、共156页第二十一页，编辑于星期二：九点 二分。(3) 设 0 a 0, N, 当nN时, 有 .11na.1nnaa即nnaa1或 .(因 0 a 1) 综合得).0(.1limaann).10(.1limaann第21页/共156页第二十二页，编辑于星期二：九点 二分。本例也可用本例也可用有理化有理化的方法处理的方法处理. 注意到公式从而) 1,(. 11abaaannn看作公式中的将1)()( 1)()(1(2121 nnnnnnnnnaaaaana 1(分母都用1代).以下同(2).第22页/共156页第二十三页，编辑于星期二：九点 二分。baxb+ 证证: : 反设xn收敛, 但极限

9、不唯一, ,2ba设bN1时,2|baaxnN2, 当nN2时,2|babxn取N=maxN1, N2, 则当nN时, 上两式同时成立.从而当 nN时, 有|bxxabxxababannnnbababa22矛盾, 故极限唯一.若 0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|0, 使得|xn|M, n=1, 2, . 则称数列xn有界, 否则, 称xn无界.由于 |xn|MMxnM xnM, M.故, 所谓xn有界, 就是xn要全部落在某个对称区间M, M内.看图0MxxnM)(第25页/共156页第二十六页，编辑于星期二：九点 二分。例例1.1. xn=(1)n有界, 而xn=n2无界.

10、x11x0194x1x2x30 x2nx2n-1第26页/共156页第二十七页，编辑于星期二：九点 二分。设xna (n), 则对n=1, 2, ,有|xn|M证证: :由定义, 对=1, 存在自然数N,当nN时, 有|xna|1,故 |xn|xna|+|a|0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna| N时, (1), (2)同时成立，即 xn yn. 第30页/共156页第三十一页，编辑于星期二：九点 二分。在定理3中取 yn= 0.0limbynn故正整数N, 当nN时, . 0nnyx有推论推论1.1. (保号性定理) 若axnnlim, 而a0 (aN时, 有xn0 (xn b

11、 = 0.类似证明 a 0的情形.第31页/共156页第三十二页，编辑于星期二：九点 二分。推论推论2.2. .,lim,limbayxNnNbyaxnnnnnn则必有有时当正整数且若设证证: : 反设 a N1时, 有xn N2 ( N)时,有 xnN时, axnnlim, 则 有 xn0 (xn0). 且a0 (a0).)0lim(0limnnnnxx即第33页/共156页第三十四页，编辑于星期二：九点 二分。01lim , 01nnxnn但比如,注注: : 在推论3中, 即使xn0, 也只能推出a0,0lim,nnx即第34页/共156页第三十五页，编辑于星期二：九点 二分。定理定理4.

12、4.xn yn zn.lim,limlimayazxnnnnnn则且证证: :,limlimazxnnnn由 0 , N1, 当n N1时, 有 |xn a| .(1)即 a xn N 时, 有第35页/共156页第三十六页，编辑于星期二：九点 二分。N2, 当n N2时, 有 a zn N * 时, (1), (2), (3)同时成立.有a xn yn zn a + 即 | yn a | 1 时的结论的方法是记,1nna得nnnna1)1 (得.1nan现在类似，记),0(1nnnn则第39页/共156页第四十页，编辑于星期二：九点 二分。22) 1(1)1 (nnnnnnnn22) 1(1

13、nnn解得nn20nnnn2111易证, 02limnn, 1)21 (limnn所以. 1limnnn第40页/共156页第四十一页，编辑于星期二：九点 二分。所谓数列xn 子列，就是从数列 x1, x2, , xn, 中任取无穷多项，按原来的次序，从左到右排成一个新的数列，这个数列称为xn的子列. 比如，x2, x5, x14, , x78, 就是xn的一个子列,21kknnnnxxkxx子列记作记作项第第二项记作子列中第一项记作上列中n1=2, n2=5, n3=14等.二、子列二、子列第41页/共156页第四十二页，编辑于星期二：九点 二分。注：注：.,) 1 (项中的第是原来的数列表

14、示下标中子列knnknnxxnxkk.)2(项是子列中的第表示kxkkn易见 k nk .,项是原数列中的第表示这是因为knknxnk,项是子列中的第表示而kxkknknx所以在前必已从xn中抽出了k1项，是从从而knxxn的第 k 项后的项中抽出，也即 k nk .第42页/共156页第四十三页，编辑于星期二：九点 二分。(3) 对任何两个正整数 h, k, 若 h k, 则有 nh nk .反之，若 nh nk, 则 h k.这是因子列次序与原数列次序相同.在子列中位置靠后的项，在原数列中位置也靠后，反之也对.第43页/共156页第四十四页，编辑于星期二：九点 二分。,)4(,21knnn

15、nkxxxk而不是位置的是下标表示各项在子列中的中在子列a 的定义是：收敛于因此子列knx|, 0, 0axKkKkn有时当此时，记为)(limkaxaxkknnk或或)(limkaxaxkknnk或第44页/共156页第四十五页，编辑于星期二：九点 二分。定理定理5.5. .,lim为极限且都以都收敛的任何子列的充要条件是axaxnnn证：证：充分性充分性.由于xn可看作它自已的一个子列.由条件 xn 的任何子列都以 a 为极限，故axnnlim第45页/共156页第四十六页，编辑于星期二：九点 二分。必要性必要性.,knnxx的子列任取KkK当要证, 0(),|,axkn有时, 0,lim

16、知由axnn.|, 0axNnNn有时当.)|,(axNnknk有时当显然,NKnnKkNKKk有时当取.| axkn从而.limaxknK故第46页/共156页第四十七页，编辑于星期二：九点 二分。注：注：由定理5，若 xn 的两个子列一个收敛于 a , 而另一个收敛于 b，且 ab, 则xn发散；或者，xn中有一个子列发散，则xn发散.,2) 1(1,nnx例0, 1, 0, 1, 发散.,2sin,nxn例1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 发散.推论推论. . ).(,lim122kaxaxaxaxkknnn即和偶数项子列都收敛于的奇数项子列的充要条件是第47页/共156页

17、第四十八页，编辑于星期二：九点 二分。 若数列xn满足 x1x2xn, 则称xn为单调递增数列. 若x1x2xn, 则称xn为单调递减数列.单调递增和单调递减数列统称为单调数列.三、收敛准则三、收敛准则第48页/共156页第四十九页，编辑于星期二：九点 二分。例例4.4. xn=n2是单调递增数列, 但xn是发散的. xn=(1)n是有界数列, 但xn=(1)n也是发散的.第49页/共156页第五十页，编辑于星期二：九点 二分。定理定理6.6. 单调递增且有上界的数列必有极限; 单调递减且有下界的数列必有极限.即, 单调有界数列必有极限.第50页/共156页第五十一页，编辑于星期二：九点 二分

18、。例例5.5.数列nnnx)11 ( 是单调递增且有上界的数列.证证: : 首先注意到, 当ab0时,有11nnba)(1221nnnnnbabbabaabanaban)(1(移项, 有1)(1(nnbbanaa即1) 1(nnbnabna第51页/共156页第五十二页，编辑于星期二：九点 二分。(1) 取代入,111 ,11nbna有,)1(1中nnbnabna1111112) 1(11nnnnnnnnnn即111111nnnn.11 是单调递增的故nnnx第52页/共156页第五十三页，编辑于星期二：九点 二分。(2) 取代入, 1 ,211bna,)1(1中nnbnabna有即1212)

19、 1(211nnnnnn2211nn., 2 , 1 , 4211 22nnxnn从而第53页/共156页第五十四页，编辑于星期二：九点 二分。由于nnnx)11 ( 单调有界, 从而必有极限.enn)11 (lim ,n记(e=2.71828, 为一无理数). 4.11 212nnnnxxnx有单调递增由于数列. . 411有上界所以故nnnxnx第54页/共156页第五十五页，编辑于星期二：九点 二分。定理定理7:7:| xnxm | 0, N 0, 当n, mN 时，有第55页/共156页第五十六页，编辑于星期二：九点 二分。例例6.6. 利用柯西收敛原理证明 xn=1+q+q2+ +q

20、n ( | q |0，设 m n，| xmxn |mnnqqq21|1|1|1qqqnmn|1|1qqnmnnqqq|21第56页/共156页第五十七页，编辑于星期二：九点 二分。要使| xmxn | , 只须.|1|1qqn即(n+1)ln |q| N 时，有| xnxm | 0, N 0, 当 n N 时, 有 | xn | 0, N 0, 当 n N 时, 有 | xna | .即| n | 0, N 0, 当 n N 时, 有 |n | .即| xna | N 时), 第62页/共156页第六十三页，编辑于星期二：九点 二分。性质性质4.4. 若若 xn 是无穷小量是无穷小量, yn

21、a ( 0), 则则. 0是无穷小量即nnnnyxyx1. 两个无穷小量的商不一定是无穷小量.2. 性质1, 2中的条件有限多个不能丢.1111lim nnnn如n个注注: : 第63页/共156页第六十四页，编辑于星期二：九点 二分。例例1.1. .8cos1limnnn求解解: :. 0, 1.8cos. 01原式nn例例2.2. .2) 1(2limnnnnn求解解: :nnnnnnnn) 1(2(212) 1(2. 1,) 1(2( , 021从而有界有界因nnnn故 原式 = 0.第64页/共156页第六十五页，编辑于星期二：九点 二分。看数列 xn = n2, 即， 1, 22,

22、32, , n2, . x322210当 n 越来越大时, 数列 xn 的值也越来越大, 要多么大就有多么大, 可以大于预先给定的任意大的数G.称为无穷大数列(无穷大量).二、无穷大量二、无穷大量第65页/共156页第六十六页，编辑于星期二：九点 二分。定义定义2.2. 若若 G 0(无论多么大无论多么大), N 0, 当当 n N时时, 有有 | xn | G ,则称则称 xn 为无穷大量为无穷大量, 记作记作).(limnxxnnn或(1).lim的极限不存在表示nnnxx(2) 任何常数列(常量)都不是无穷大量.注注: : 第66页/共156页第六十七页，编辑于星期二：九点 二分。的几何

23、意义nnxlimxxN+2Gx10 xNGxN+1即, 当n N 时, xn 都落在区间 G, G外面.在 G, G内, 只有 xn 的有限多个项.第67页/共156页第六十八页，编辑于星期二：九点 二分。例例3.3. 设 | q | 1.limnnq证明证证: : G 0, (要证N 0, 当 n N 时, 有 | qn | G )要使 | qn | = | q |n G.只须.|lnlnqGn ,|lnlnqGN取则当 n N 时, 有 | qn | G .limnnq故第68页/共156页第六十九页，编辑于星期二：九点 二分。例例4.4. 数列 xn = (1+(1)n)n 是否为无穷大

24、量?解解: : 数列 xn 为0, 22, 0, 24, 0, 26, .如图x2624x2k+122因不论 n 多么大, 总有 | xn | = | x2k+1 | = 0 G.所以 xn 不是无穷大量.第69页/共156页第七十页，编辑于星期二：九点 二分。定义定义3.3. .),(0,lim正无穷大量为则称时且若nnnnxNnxx.limnnx记作.),(0,lim负无穷大量为则称时且若nnnnxNnxx.limnnx记作从几何上看, xn .xx1x20G xn xxnx30G x1 x2xn +.第70页/共156页第七十一页，编辑于星期二：九点 二分。证证: : 设 xn 为无穷大

25、量, 要证 为无穷小量.nx1 0, .1|,1即可只须要nnxx因 xn 为无穷大量., 0, 01NG对.1|,GxNnn有时当从而.1nx.1是无穷小量故nx定理定理2.2. 若 xn 是为无穷大量, 则 为无穷小量.nx1nx1若 xn 是为无穷小量(xn 0), 则 为无穷大量.第71页/共156页第七十二页，编辑于星期二：九点 二分。(1) 两个无穷大量的和, 差, 两个无穷大量的商都不一定是无穷大量.比如, 当n +时, n2 , n2 , 但 n2 + (n2) = 0,. 122nn都不是无穷大量.但, +(+) = +, +() = . 注注: : 第72页/共156页第七

26、十三页，编辑于星期二：九点 二分。(2) 有界量乘无穷大量不一定是无穷大量.无穷小量乘无穷大量不一定是无穷大量(无穷小量)特别, 比如, 当xn = n2 , yn = 0, 则 xnyn = 0 不是无穷大量.(3) 若数列 xn , 则 xn 无界,但反之不对.如, 当xn = (2+(1)n)n . 无界, 但不是无穷大量.(4) = , (有界量) = .第73页/共156页第七十四页，编辑于星期二：九点 二分。定理定理3.3. 设数列 xn和 yn 的极限都存在. 且,limaxnn.limbxnn则(1).limlim)(limbayxyxnnnnnnn(2).limlim)(li

27、mbayxyxnnnnnnn(3) 设 C 为常数，有.limlimaCxCCxnnnn(4) 当 b0 时，有.limlimlimbayxyxnnnnnnn三、数列极限的运算法则三、数列极限的运算法则第74页/共156页第七十五页，编辑于星期二：九点 二分。证：证：只证(1). 因.lim,limbyaxnnnn由极限与无穷小关系，有，xn=a+n, yn=b+n，其中n, n0(n+).从而 xn yn =(a b)+(n n )由无穷小量性质知n n0(n+)再由极限与无穷小的关系定理，知.limlim)(limnnnnnnnyxbayx第75页/共156页第七十六页，编辑于星期二：九点

28、 二分。定理定理4.4. 若. |lim|lim),(limnnnnnnxaxax则常数证：证：由于由极限定义,limaxnn.|, 0, 0axNnNn有时当注意到不等式 | | A | | B | | | A B |从而 | | xn | | a | | | xn a | 故. |limaxnn第76页/共156页第七十七页，编辑于星期二：九点 二分。反之不对反之不对. .lim|,|lim的结论不能得出即若axaxnnnn比如, 设 xn = (1)n., 1|limnnx则.lim不存在但nnx第77页/共156页第七十八页，编辑于星期二：九点 二分。例例5.5. 求.235123li

29、m22nnnnn解解: :一般, 称形为 f (x) = a0 xk+a1xk1+ak1x+ak 为 x 的一个 k 次多项式. 其中k为非负整数，ai为常数, a00.两个多项式的商称为有理式(有理函数).对这种以n为自变量的有理函数的极限问题(n时), 可将分子，分母同除以分母的最高次幂n2.第78页/共156页第七十九页，编辑于星期二：九点 二分。235123lim22nnnnn由于分母的极限等于5(0), 分子的极限等于3，235123lim32nnnnn= 0，235123lim23nnnnn= .,235123lim22nnnnn.53原式故第79页/共156页第八十页，编辑于星期

30、二：九点 二分。一般，若 a0, b0 都非0，则LLkknbnbana00limLkba,00，0，k L第80页/共156页第八十一页，编辑于星期二：九点 二分。例例6.6. 求).100(lim2nnnn解：解：有理化有理化.)100(lim2nnnn)100100(lim2nnnn11001100lim2nn= 50.第81页/共156页第八十二页，编辑于星期二：九点 二分。例例7.7. 求求.21lim2nnn解：解：注意到求和公式.2) 1(21nnnnnn21lim2= 2.) 1(2lim2nnnn第82页/共156页第八十三页，编辑于星期二：九点 二分。例例8.8. 求) 1

31、(1321211(limnnn解：解：注意到,111) 1(1nnnn从而) 1(1321211nnxn)111()3121()211 (nn.111n所以，原式=. 1)111 (limnn第83页/共156页第八十四页，编辑于星期二：九点 二分。例例9.9. 求).11 ()411)(311)(21(limnn解：解：注意到,111nnn从而，)11 ()311)(211 (nxnnn1433221.1n故 . 01limnn原式第84页/共156页第八十五页，编辑于星期二：九点 二分。例例10.10. 设x0=1, ), 2, 1(1111nxxxnnn证明 xn 的极限存在，并求之.证

32、：证：通常要证明某数列极限存在可考虑用:(1)单调有界数列必有极限.(2)夹逼定理(条件中往往有不等式).此例用(1)注意到 0 0 , 故 a 0.第87页/共156页第八十八页，编辑于星期二：九点 二分。设有数列u1, u2, , un, ,则式子121nnnuuuu称为一个(常数项)无穷级数.第n项un称为级数的一般项或通项.1是左端和式的简写符号nnu第四节常数项级数的概念和性质第四节常数项级数的概念和性质一、基本概念一、基本概念第88页/共156页第八十九页，编辑于星期二：九点 二分。1222221 nnn比如1) 1(1321211) 1(1 nnnnn而级数是无穷多个数的和. 它

33、可能是一个确定的数, 也可能不是一个确定的数.比如0+0+ +0+ =0,而1+1+ +1+就不是一个数.第89页/共156页第九十页，编辑于星期二：九点 二分。,211nnnuuuu设级数记 Sn = u1+ u2 + +un. 称为此级数的前n项部分和.(如 S1= u1, S2 = u1+u2, , Sn = u1+ u2 + + un.)由部分和构成的数列S1, S2, Sn , , 称为此级数的部分和数列.易见. (i) un = SnSn 1(ii) 从形式上看, 有11limlimnnnkknnnuuS第90页/共156页第九十一页，编辑于星期二：九点 二分。定义定义: :1,n

34、nnSu 的部分和数列为设级数,limSSnn若则称此级数收敛,极限值S 称为该级数的和. .1Sunn.,lim则称该级数发散不存在若nnS记作第91页/共156页第九十二页，编辑于星期二：九点 二分。nnnnSSrSu记时收敛于当级数,121nnuu称为该级数的余和(余项, 余式)0limlim nnnnSSr有第92页/共156页第九十三页，编辑于星期二：九点 二分。例例1.1.1),0( ,nnnaararaar级数称为等比级数. r 称为公比. 讨论等比级数敛散性.解解: :1,1,1)1 (12rnarrraarararaSnnn第93页/共156页第九十四页，编辑于星期二：九点

35、二分。从而,(i). 0lim,1|nnrr有时当事实上, 若0 r 1,. 0limnnr有若1 r 0, 则 r = | r |, rn = (1)n | r |n . 0|) 1(lim nnnr仍然有.11)1 (limlimrarraSnnnn第94页/共156页第九十五页，编辑于星期二：九点 二分。从而,(ii).lim,1|nnrr有时当.1)1 (limlimrraSnnnn(iii).limlim,1naSrnnn时当(iv)rraSrnnnn1)1 (limlim,1时当,2) 1(1 limnna不存在.第95页/共156页第九十六页，编辑于星期二：九点 二分。综合:1|

36、,1|,1limrrraSnn不存在即:收敛等比级数1nnar| r | 0. .)1ln(1xxxx则nSn1312111)11ln()311ln()211ln() 11ln(nnkk1)11ln(nkkk1ln)1ln()( ,)1ln(nn故调和级数发散.第113页/共156页第一百一十四页，编辑于星期二：九点 二分。例例5.5.)(.,:111发散则发散收敛若证明nnnnnnnVuvu证证: : .)(1收敛反设nnnVu记Wn = un + Vn .从而Vn = Wn un . ,11都收敛和由于nnnnuW.,)(1111矛盾收敛从而nnnnnnnnnuWuWV第114页/共156

37、页第一百一十五页，编辑于星期二：九点 二分。., 01为正项级数则称级数若nnnuu正项级数的部分和数列 Sn=u1+ u2 + +un 是单调递增数列 0 S1 S2 Sn . 1nnu第五节第五节 常数项级数敛散性的判别法常数项级数敛散性的判别法一、正项级数敛散性的判别法一、正项级数敛散性的判别法第115页/共156页第一百一十六页，编辑于星期二：九点 二分。.,.lim,1收敛即存在则有上界若所以nnnnnuSS.lim,1存在则收敛若反之nnnnSu从而Sn有界,也就有上界.定理定理1.1.正项级数收敛的充要条件是其部分和数列Sn有界(有上界).)0(1nnnuu第116页/共156页

38、第一百一十七页，编辑于星期二：九点 二分。推论推论: :.lim11nnnnnnnSSuu无界数列的部分和发散正项级数(最后一个充要条件可由无界数列. 无穷大量的定义以及Sn单调递增得到.)第117页/共156页第一百一十八页，编辑于星期二：九点 二分。定理定理2.2.(比较法).,11nnnnnnVuVu且和设正项级数n = 1, 2, , 则(1).,11收敛则收敛若nnnnuV(2).,11发散则发散若nnnnVu第118页/共156页第一百一十九页，编辑于星期二：九点 二分。证证: :.,11nnnnnnVSu的部分和为的部分和为记.0 11nnkknkknVuS故, (1) .,1有

39、上界从而有上界则收敛若nnnnSV.,1收敛因此nnu. . )( )( .11发散故从而因发散若nnnnnnnVnnSu(2)第119页/共156页第一百二十页，编辑于星期二：九点 二分。注注2.2.实际应用时, 要判正项级数收敛. 可将un1nnu.,11收敛则收敛若nnnnuV.,1逐步缩小可将发散要判正项级数nnnuu.11发散发散，则若nnnnuV注注1.1.定理2中条件“ un Vn”只须从某项开始以后一直成立即可.逐步放大, un Vn .nnVu第120页/共156页第一百二十一页，编辑于星期二：九点 二分。例例1.1. 0,11的敛散性级数讨论nPpnP解解: : (1) 若

40、 0 1. 考虑对P级数按下列方法加括号所成级数.第121页/共156页第一百二十二页，编辑于星期二：九点 二分。PkPkPPPPPPPP) 12(1)2(1)15181()71615141()3121(11PkPkPPPPPPPP)2(1)2(1 818141414141212118 个2k 个kPPPP131211212121211第122页/共156页第一百二十三页，编辑于星期二：九点 二分。.,12101收敛的等比级数最后的级数是公比为P从而, 加括号的P级数收敛. 原来级数收敛加括号的级数收敛.”由于“ 对正项级数而言,故, 当P 1时, P级数收敛.1.,1 ;,1,1,nPPPn

41、发散时当收敛时当综合第123页/共156页第一百二十四页，编辑于星期二：九点 二分。推论推论. . (比较法的极限形式).,11是正项级数设nnnnVu.0 ,limnnnVu若则这两个级数有相同的敛散性.第124页/共156页第一百二十五页，编辑于星期二：九点 二分。例例2. 2. .1sin12的敛散性判别nn解解: : 常以P级数和调和级数作为推论中的.1nnV. 111sinlim22nnn因为,112收敛而nn.1sin12收敛故nn第125页/共156页第一百二十六页，编辑于星期二：九点 二分。例例3.3.)1(1的敛散性判别nnn解解: :nnun1)( 011nnn.211li

42、mlim .1nnnVunVnnnnn有取. .11故原级数发散发散因nn第126页/共156页第一百二十七页，编辑于星期二：九点 二分。定理定理3.3. (比值法, 或,达朗贝尔判别法).,lim.11nnnnnuuu若为正项级数设则(1) 1或 = +时, 级数发散.(3) = 1时, 级数可能收敛也可能发散(须用另外的方法判断).第127页/共156页第一百二十八页，编辑于星期二：九点 二分。例例4.4. .0,!anann的敛散性判别解解: :nnnnnnannauu!)!1(limlim1101limnan 1故级数收敛. 0!lim ,nann且知? )100(!收敛或发散问nnn

43、第128页/共156页第一百二十九页，编辑于星期二：九点 二分。例例5. 5. .!1的敛散性判别nnnn解解: :nnnnnnnnnnuu!)!1() 1(limlim11nnnnn) 1(lim . 1)11 (limennn故级数发散.第129页/共156页第一百三十页，编辑于星期二：九点 二分。例例6. 6. .) 1(11的敛散性判别nnn解解: :1) 1() 1)(2(1limlim1nnnnuunnnn. 12limnnn所以, 用比值法无法判定其敛散性, 改用比较法.第130页/共156页第一百三十一页，编辑于星期二：九点 二分。.) 1(1nnun注意到.1nVn取则111

44、1lim1) 1(1limlimnnnnVunnnnn. ,1故原级数发散发散由于nn第131页/共156页第一百三十二页，编辑于星期二：九点 二分。定理定理4.4. (根值法, 或柯西判别法).,lim.1nnnnnuu 若设正项级数则(1) 1或 = +时, 级数发散.(3) = 1时, 级数可能收敛也可能发散第132页/共156页第一百三十三页，编辑于星期二：九点 二分。例例7.7. .) 1(21的敛散性判别nnnn解解: :. 0) 1(2nnnnu记nnnVnu3 有. 103limlimnVnnnnn因为.1收敛故nnV.,1收敛由比较法nnu第133页/共156页第一百三十四页

45、，编辑于星期二：九点 二分。.) 1() 1(, 0111为交错级数或称设nnnnnnnuuu交错级数各项是正负交错的.二、交错级数及其敛散性判别法二、交错级数及其敛散性判别法第134页/共156页第一百三十五页，编辑于星期二：九点 二分。定理定理5.5. (莱布尼兹判别法)满足若交错级数, 0,) 1(11nnnnuu. 0lim)2( , 2 , 1,) 1 (1nnnnunuu则级数收敛, 且其和 S u1.第135页/共156页第一百三十六页，编辑于星期二：九点 二分。证证: : 我们来证明部分和数列Sn收敛, 为此, 只须证明. limlim122即可SSSnnnn(1) 因S2n

46、=(u1 u2) + (u3 u4) + +(u2n1 u2n ) 0.且易见, S2(n+1) S2n .以及S2n= u1 (u2u3 )(u4u5) (u2n2u2n1)u2n u1.故数列S2, S4, S6,S2n , 单调递增有上界. 从而存在极限.第136页/共156页第一百三十七页，编辑于星期二：九点 二分。.lim12uSSnn设(2) S2n+1 = S2n + u2n+1 ,12212limlimlimnnnnnnuSS故= S + 0 = S综合(1),(2)知,.lim1uSSnn问: 若将条件(1)改为un un+1, n =N, N+1, N+2, , 结论是否全对, 应如何修改.第137页/共156页第一百三十八页，编辑于星期二：九点 二分。例例8.8. .1) 1(11的敛散性判别nnn解解: : 此为交错级数.111,11nnnunnunu因. 0limnmu且由莱布尼兹判别法, 级数收敛.注: 本题是由调和级数.) 1(,111而成添符号nnn?0,