全等三角形中档题

1、1倍长中线(线段)造全等BA=BD，求证：AE= - AC1、已知：如图， AD是4ABC的中线，BE交AC于E,交 AD 于 F,且 AE=EF ,求证：AC=BF5分析：要求证白两条线段 AC、BF不在两个全等的三角 形中，因此证AC=BF困难，考虑能否通过辅助线把 AC、 BF转化到同一个三角形中，由AD是中线，常采用中线倍长法，故延长 AD到G,使DG=AD，连BG,再通过 全等三角形和等线段代换即可证出。2、已知在 ABC中，AD是BC边上的中线， E是AD 上一点，且BE=AC ,延长BE交AC于F,求证：AF=EF6、如图， ABC中，BD=DC=AC E是DC的中点，求证:AD

2、平分/ BAE.7、已知 CD=AB , / BDA= / BAD , AE 是/ ABD 的中线, 求证：/ C=/BAE提示：倍长 AD至G,连接BG,证明ABDGACDA 三角形BEG是等腰三角形3、已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3,则中线 AD的取值范围是.4、在 ABC中,AC=5,中线 AD=7,则 AB边的取值范围是()A、1AB29B、4AB24C、5AB19D、9ABEF方法1:在DA上截取 DG=BD ,连结EG、FG 证明 A BDE A GDE A DCF A DGF 所以 BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法2:倍长ED至H ,连结CH、F

3、H 证明 FH=EF、CH=BE 利用三角形两边之和大于第三边10、如图， ABC中，E、F分别在 AR AC上，D已DF, D是中点，试比较 BE+C* EF的大小.11、已知：如图，在4ABC中，AB = AC , D、E在BC 上，且 DE=EC，过 D 作 DF BA交 AE 于点 F, DF=AC. 求证：AE平分/ BAC方法1:倍长AE至G,连结DG方法2:倍长FE至H ,连结CH截长补短7.9作业：已知，四边形 ABCD中，AB/CD, /1 = /2, /3=/4。求证：BC = AB + CD。1、如图，AD / BC,点 E 在线段 AB 上，/ ADE= / CDE ,

4、 / DCE= / ECB.求证：CD=AD+BC.证明：在CD上截取CF=BC在 FCE与 BCE中,CF =CBFCE = BCECE =CE. FCE BCE (SAS), / 2=/ 1.又 AD / BC,/ ADC+ / BCD=180 , / DCE+ / CDE=90 , . / 2+ Z 3=90 , / 1 + / 4=90 / 3=/4.在 FDE与 ADE中，FDE =/ADE DE = DE/3=/4L FDE ADE (ASA), DF=DA , CD=DF+CF , CD=AD+BC.2、已知：如图，在 ABC 中，/ C=2/B, / 1 = / 求证：AB=A

5、C+CD.A2.4、如图，已知在 ABC中，ZB=60 , 4ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证：OE=OD证明：方法-延长AC到/ ACB =CDE =Z CED ,AABC 中ACBB= Z2/E 2/BE,和 NACB,重大BD、CE :并加以证明,BD、CE分别平分/ABCO,试判断 BE、CD、BCB 二 EAD = AD ABDA AED (AAS) AB=AE.又 AE=AC+CE=AC+DC AB=AC+DC.方法二（截长法）AB上截取AF=AC , 在 AFD与乙ACDAF =ACAD =AD006、如图，已知在 ABC内，/BAC =60 , /C = 40 ,巳Q

6、分别在CA上，并且/ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP AFDA ACD (SAS), DF=DC , / AFD = / ACD / ACB = 2/ B,FDB = Z B,FD=FBAB=AF+FB=AC+FD , AB=AC+CD.7、如图在 ABC中，AB AC, / 1 = /2, P为AD上任意3、如图，在 ABC中，/ BAC=60 , AD是/ BAC的平分线，且AC=AB+BD求/ ABC的度数A求证；AB-ACPB-PC8、如图，点M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作/DMN =60，射线MN与/ DBA 外角的平分线交于点 N ,

7、 DM与MN有怎样的数量关系？4、如图，在 ABC 中，/ ABC=100 , / ACB=20 , CE平分/ ACB, D是AC上一点，若/ CBD=20 ,求 / ADE的度数.角平分线上的点向角两边引垂线段图九7.5 作业：已知， ABAD, /1 = /2, CD=BC。 求证：/ ADC +/ B= 180 。1、如图，在四边形 ABCN, BOBA,AD= C口 求证：/ BAD吆 C=1802、如图，四边形 ABCD中，AC平分/ BAD,CEAB 于 E, AD+AB=2AE ,则/ B 与/ ADC 互补.为什么？7.6作业：如图，在4ABC中/ ABC, Z ACB的外角

8、平分 线交P.求证:AP是/ BAC的角平分线3、如图 4,在 ABC 中，BD=CD / ABD4 ACD,求证 AD 平分/ BAC.7.6作业：如图，由B= / C=90 ,AM 平分/ DAB,DM 平 分/ ADC求证:点M为BC的中点连接法（构造全等三角形）7.9作业：已知：如图所示， AB = AD, BC=DC, E、F 分别是DC、BC的中点，求证：AE = AF。1、如图，直线 AD与BC相交于点 O,且 AC=BD , AD=BC ,求证：CO=DO .C D5、如图所示，BD=DC,DE BC,xZ BAC的平分线于 E,EM AB,EN LAC,求证：BM=CN6、如

9、图，在4ABD 和4ACD 中，AB=AC , /B=/C.求 证： ABDA ACD .92、已知：如图 16, AB=AE , BC=ED，点F是CD的中 点，AF CD .求证：/ B=Z E.B3、如图 11-30,已知 AB = AE, /B = /E, BC=ED, 点F是CD的中点.求证：AFXCD.4、在正 MBC内取一点 D ,使DA =DB ,在 MBC外取 一点 E ,使 ZDBE =/DBC，且 BE = BA,求 /BED.全等+角平分线性质1、如图 21, AD平分/ BAC D已AB于 E, DF,AC于 F, 且 DB=DC 求证：EB=FC2、已知：如图所示，

10、 BD为/ ABC的平分线，AB=BC , 点P在BD上,PMXAD于M , ?PNCD于N,判断 PM与PN的关系.全等+等腰性质1、如图，在 ABE中，AB= AE,AA AC,/BAD= / EAC, BC DE交于点O.求证：(1) ABe AAED (2) OB =OE .A2、如图：A、E、F、B四点在一条直线上，AC CE,BDXDF, AE=BF , AC=BD。求证： ACF BDEC3、如图，在四边形 ABCD中，E是AC上的一点，/1 = /2, /3=/4,求证：/5=/6.2、.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上， AB= DC, BE = CF , Z B

11、=Z C.求证：OA = OD.AO4、已知如图， E、F在BD上，且 AB = CD, BF = DE ,AE = CF求证：AC与BD互相平分两次全等7.4作业：AB=AC DB=DC F是AD的延长线上的一点。求 证：BF=CF1、如图，D、E、F、B 在一条直线上 AB=CD, /B=/D,BF=DE.求证：(1) AE=CF;(2) AE / CF(3) / AFE= / CEF由 BF=DF,得 BE = DF ABEA CDF ,/ B=/D再证 AOBACOD ,得 OA=OC, OB = OD即AC、BD互相平分5、如图，在四边形 ABCD 中，AD/BC, Z ABC=90

12、DE LAC于点F ,交BC于点G ,交AB的延长线于点 E, 且 AE=AC.求证：BG=FG直角三角形全等(余角性质)作业：如图，在等腰 RtAABC中，/ C=90 , D是斜 边上AB上任一点，AELCD于E, BFLCD交CD的 延长线于F, CHLAB于H点，交AE于G.求证：BD=CG.C1、如图，将等腰直角三角形 ABC的直角顶点置于直线 l 上，且过A, B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D, E,请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全 等的过程.解：全等三角形为： ACD CBE .证明如下：由题意知/ CAD+ / ACD=90 ,/ ACD+ / BCE=90

13、 ,/ CAD= / BCE.在4ACD与4CBE中，/ ADC= / CEB=90 / CAD= / BCE AC=BC . ACDA CBE (AAS).2、如图，/ ABC = 90 , AB=BC, D 为 AC 上一点, 分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为 E、F求证：EF=CF-AEB证 ABEA BCF,得 BE = CF , AE=BF, EF = BE-BF=CF-AE3、在ABC 中，/ACB = 90口，AC= BC,直线 MN 经过点C ,且AD _L MN于D , BE _L MN于E.(1)当 直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： MDC 色 ACEB ; D

14、E = AD + BE ;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的 结论还成立吗？若成立， 请给出证明；若不成立，说明理 由.4、如图：BEX AC , CF AB, BM=AC , CN=AB。求证：(1) AM=AN ; (2) AM LAN。作平行线1、已知 ABC , AB=AC , E、F分别为 AB和AC延长 线上的点，且 BE=CF , EF交BC于G.求证：EG=GF .2、如图，在 ABC 中，AB=AC , BD 平分/ ABC , DE，BD于D ,交BC于点E.求证：CD= BE证明：过点D作DF / AB交BC于点F.BD 平分/ ABC ,/ 1 = 7

15、 2.DF /AB,/ 1 = /3, Z 4=Z ABC ./ 2=7 3, DF=BF .DEXBD, . / 2+/DEF=90 o, Z 3+Z 5=90o. ./ DEF= /5. DF=EF .AB=AC ,/ ABC= / C./ 4=/ C, CD=DF .CD=EF=BF ,即 CD= 1 BE 22、如图， ABC 中，/ BAC=90 度，AB=AC , BD 是/ABC的平分线，BD的延长线垂直于过 C点的直线于E, 直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE .延长角平分线的垂线段1、如图，在 ABC 中，AD 平分/ BAC , CE LAD 于 E. 求证：/

16、 ACE= / B+ Z ECD .3、如图：/ BAC=90 , CE BE, AB=AC , BD 是/ABC的平分线，求证： BD=2EC4、已知，如图 34, ABC 中，/ ABC=90 o, AB=BC , AE是/ A的平分线，CD LAE于D.求证：CD= 1 AE2分析：注意到 AD平分/ BAC, CE XAD ,于是可延长CE交AB于点F,即可构造全等三角形.证明：延长CE交AB于点F.AD 平分/ BAC ,/ FAE= / CAE .CEXAD ,/ FEA= / CEA=90o .在 FEA和 CEA中，/ FAE= / CAE ,AE=AE ,/ FEA= / C

17、EA . FEAA CEA ./ ACE= / AFE./ AFE= / B+/ ECD ,/ ACE= / B+/ ECD .面积法例1如图1,在 ABC中，/ BAC的角平分线 AD平分 底边BC.求证AB=AC.DC分析：根据已知可知 AD是/ BAC的平分线，可通过点D作/ BAC的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形 的面积进行证明.证明：过点D作DEAB, DFXAC,垂足分别为 E、F. 因为DA为/ BAC的平分线，所以 DE=DF.又因为AD平分BC,所以BD=CD ,所以 Sa abd=SaACD ,又 Sa abd=一 AB DE ,Saacd= 1 AC DF,22所以

18、 AB DE=AC DF , 所以AB=AC.2、如图所示，已知D是等腰 ABC底边BC上的一点，它 到两腰AB、AC的距离分别为 DE、DF,CM LAB,垂足为 M,请你探索一下线段DE、DF、CM 三者之间的数量关系，并给予证明.3、己知， ABC 是BC上任一点，中，AB=AC , CD AB,垂足为 D, PPE LAB, PF LAC垂足分另1J为 E、F,求证： PE+PF=CD. PE - P F=CD.旋转型1、如图，正方形 ABCD的边长为1, G为CD边上一动 点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形 GCEF，连接DE交BG的延长线于 H。 求证： ABCGA DCE BH XDE2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B, C, E在同一条直线上，连结DC（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明： 结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC! BE.（2）如图8, A OAB固定不动，保持 大小不变，将 AOCD绕着点。旋转（ 不能重叠），求/ AEB的大小.AOCD的形状和A OAB 和 A OCD3、（1）如图7,点O是线段AD的中点，分别以 AO和 DO为边在线段 AD的同侧作等边三角形 OAB和等边三 角形OCD ,连