全等三角形提高拓展经典题(教师版)

1、D、BEA全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角 的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3)有公共边的，公共边常是对应边.(4)有公共角的，公共角常是对应角.(5)有对顶角的，对顶角常是对应角.(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素

2、是关键.全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2)角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3)边边边定理(SSS：三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用： 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和

3、、差、倍、分相等是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】 已知 MBC中，2A =60” BD、CE分别平分/ABC和上ACB , BD、CE交于点O，试 判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.D【例2】 如图，点M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作/DMN =60%射线MN与/DBA外角 的平分线交于点 N , DM与MN有怎样的数量关系？【变式拓展训练】如图，点M为正方形 ABCD的边AB上任意一点， MN _LDM且与/ ABC外角的平分线交于点 N , MD与MN有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图， ABCD是正方形，/ FAD = /F

4、AE.求证：BE +1B例4以MBC的AB、AC为边向三角形外作等边 MBD、MCE ,连结 证：OA平分/DOE .A _ _,'17 14ED”7 EC板块求证：AD平分/CDE 全等与角度例5如图所示， MBC是边长为1的正三角形，ABDC是顶角为120 口的等腰三角形，以D为顶 点作一个60叩勺/MDN，点M、N分别在 AB、AC上，求AAMN的周长.【例6】 五边形 ABCDE 中，AB =AE, BC+ DE=CD, /ABC+/AED = 180°,A4 / 14/BAN =50：/ABM =60、【例10】在四边形ABCD中, 的度数.求.NMB .已知 AB

5、 =AC , /ABD =60,/ADB=76'，/BDC=28°祗【例11】如图所示，在四边形 求.ACD的度数.ABCD 中，/DAC =12 , /CAB =36 , /ABD =48 ,jDB【例7】如图，在 MBC中，/BAC=60） AD是/BAC的平分线，且 AC = AB +的度数.【例81在等腰 MBC中，AB =AC ,顶角/A=20：在边AB上取点D ,求 ZBDC .B<【例 9】 如图所示，在 AABC中，AC=BC, /C=20，又M在AC上,【例12】在正 MBC内取一点 D ,使DA = DB ,在 MBC外取一点 E ,使NDE【例13

6、】BE =BA,求 /BED.如图所示，在 MBC中，/BAC=NBCA=44 : 2MAC =16 :求 NBMC 的度数.M为AABC内一点，使得jA -30AAB全等三角形证明经典 50题（含答案）1 .已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求 AD 延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数，则AD=512 .已知：D 是 AB 中点，/ ACB=90 ° ,求证：CD = A

7、B 23 .已知：BC=DE , /B=/E, /C=/D, F 是 CD 中点，求证: 证明：连接BF和EF。因为 BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF。所以 三角形BCF全等于三角形 EDF（边角边）。所以 BF=EF, / CBF= / DEF。连接BE。在三角形 BEF中，BF=EF。所以 /EBF=/BEF。又因为 /ABC=/AED。所以 / ABE= / AEB。所以AB=AE 。在三角形ABF和三角形 AEF中，AB=AE,BF=EF,/ ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF。所以三角形ABF和三角形AEF全等。所以 / B

8、AF= / EAF ( /1 = /2)。4 .已知：/ 1 = Z2, CD=DE , EF/AB ,求证：EF=AC 证明：过E点，作EG/AC ,交AD延长线于 G则/ DEG= / DCA , / DGE= / 2又 CD=DE /ADCEGDE (AAS)EG=AC EF/AB ./ DFE=Z 11 = /2 ./ DFE= Z DGEEF=EGEF=AC5.已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD ,求证：/ B=2 / C 证明：在AC上截取 AE=AB ,连接 ED. AD 平分/ BAC/ EAD= / BAD又 AE=AB , AD=AD./AEDE ABD (S

9、AS)，/AED=/B, DE=DB AC=AB+BDAC=AE+CE.CE=DE ./ C=Z EDC / AED= / C+/ EDC=2 / C ./ B=2Z C12 .如图，四边形 ABCD中，AB /DC, BE、CE分别平分/ ABC、/BCD ,且点E在AD上。求证：BC=AB+DC 。证明：在BC上截取BF=BA,连接EF./ ABE= / FBE,BE=BE,贝UABE 且 A FBE(SAS),/ EFB= / A;AB 平行于 CD,则:/ A+/D=180°又/ EFB+ / EFC=180，则/ EFC= / D;又/ FCE=/ DCE,CE=CE,故/

10、FCE A DCE(AAS),FC=CD.所以，BC=BF+FC=AB+CD.13 .已知：AB/ED , /EAB=/BDE, AF=CD , EF=BC ,求证：/ F=/C AB/ED,AE/BD 推出 AE=BD, 又有 AF=CD,EF=BC所以三角形AEF全等于三角形DCB,所以：/C=/F14 .已知：AB=CD , /A=/D,求证：/ B=/C证明：设线段AB,CD所在的直线交于 E,（当AD<BC时，E点是射线BA,CD 的交点，当 AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。则： AED是等腰三角形。所以：AE=DE而 AB=CD所以：BE=CE （等量加等量

11、，或等量减等量）所以： BEC是等腰三角形所以：角8二角C.15. P 是/ BAC 平分线 AD 上一点，AC>AB ,求证：PC-PB<AC-AB作B关于AD的对称点B ；因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC 上（在AC中间，因为AB较短）因 为 PC<PB +B 'C,PCPP <B 'C,而 B'C=AC-AB'=AC-AB, 所 以 PC-PB<AC-AB16. 已知/ ABC=3 /C, / 1 = /2, BEXAE ,求证：AC-AB=2BE / BAC=180- (/ ABC+ / C=180-4 /

12、 C/ 1 = / BAC/2=90-2 / C/ ABE=90- / 1=2/C延长BE交AC于F因为，/ 1 =/2, BEXAE所以， ABF是等腰三角形AB=AF,BF=2BE / FBC= / ABC- / ABE=3 / C-2/ C=/ CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17. 已知，E 是 AB 中点，AF=BD , BD=5 , AC=7 ,求 DC作AG / BD交DE延长线于 GAGE全等BDEAG=BD=5AGFsCDFAF=AG=55 / 14所以 DC=CF=218. （5 分）如图，在 ABC 中，BD=DC, /1 = /2,求证：ADXBC

13、.延长AD至H交BC于H;BD=DC;所以：/ DBC= /角 DCB;/ 1 = 72;/ DBC+ / 1 =/角 DCB+ / 2;/ ABC= / ACB;所以：AB=AC;三角形ABD全等于三角形 ACD;/ BAD= / CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以：AD垂直BC19. （5 分）如图，OM 平分/ POQ, MA±OP,MB±OQ, A、B 为垂足,AB 交 OM 于点 N,求证：/ OAB=/OBA因为AOM与MOB都为直角三角形、共用 OM ,且/ MOA= / MOB所以MA=MB所以/ MAB= / MBA因为/ OAM= Z OBM=90

14、 度所以/ OAB=90- / MAB / OBA=90- / MBA所以/ OAB= / OBA20. （5分）如图，已知 AD/BC, / PAB的平分线与/ CBA的平分线相 交于E, CE的连线交 AP于D.求证：AD + BC=AB.证明：做BE的延长线，与AP相交于F点， PA/BC ./ PAB+ ZCBA=180 ,又,，AE, BE均为/ PAB和/ CBA的角平分线 . / EAB+ / EBA=90 . . / AEB=90 , EAB 为直角三角形在三角形 ABF中，AE XBF,且AE为/ FAB的角平分线三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF

15、与三角形BEC中，/ EBC= / DFE,且 BE=EF , / DEF= / CEB, 三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，DF=BC AB=AF=AD+DF=AD+BC21 .（6分）如图，AABC中，AD是/ CAB的平分线，且AB=AC+CD, 求证：/ C=2/B证明：在 AB上找点E,使AE=ACDB AE=AC , / EAD= / CAD , AD=ADADEAADC o DE=CD , / AED= / C AB=AC+CD , DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE/ B=Z EDB /C=/ B+/ EDB=2 ZB22. (6分)如图，E、F分别为线段 AC上的

16、两个动点，且DELAC于E, BFLAC于F,若AB=CD, AF=CE, BD 交 AC 于点 M.(1)求证：MB=MD , ME = MF(2)当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予 证明；若不成立请说明理由.7 / 14BC分析：通过证明两个直角三角形全等，即RtADECRtABFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论.解答：解：(1)连接BE, DF. DEXAC 于 E, BFXAC 于 F,/ DEC= / BFA=90 , DE / BF ,在 RtADEC 和 RtA BFA 中， AF=CE ,

17、AB=CD , RtADEC RtA BFA, DE=BF . 四边形BEDF是平行四边形.MB=MD , ME=MF ;(2)连接 BE, DF. DEXAC 于 E, BFXAC 于 F,/ DEC= / BFA=90 , DE / BF , 在 RtADEC 和 RtA BFA 中， AF=CE , AB=CD , RtADEC RtA BFA, DE=BF . 四边形BEDF是平行四边形.MB=MD , ME=MF .23. (7分)已知：如图， DC/AB,且DC=AE, E为AB的中点, (1)求证： AEDA EBC.(2)观看图前，在不添辅助线的情况下，除 EBC外，请再写 出

18、两个与 AED的面积相等的三角形.(直接写出结果，不要求证明)(1)DC / AE,且DC=AE ,所以四边形 AECD是平行四边形。于是知 AD=EC ,且/ EAD= / BEC。由 AE=BE ,所以 AED EBC。(2) AEC> AACD > AECD 都面积相等。24. (7 分)如图， ABC 中，/ BAC=90 度，AB=AC, BD 是/ ABC 的平分线，BD的延长线垂直于过 C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE.证明：延长BA、CE,两线相交于点 F BEXCE/ BEF= / BEC=90在 BEF和 BEC中/ FBE= /

19、CBE, BE=BE, / BEF= / BEC . BEFA BEC(ASA)EF=EC . CF=2CE / ABD+ / ADB=90，/ACF+ / CDE=90又. / ADB= ZCDE/ ABD= / ACF在4ABD和4ACF中/ ABD= / ACF, AB=AC, / BAD= / CAF=90ABDAACF(ASA)BD=CFBD=2CE25、（10 分）如图：DF=CE AD=BC / D=/C。求证： AED BFG26、（10 分）如图：AE BC交于点 M F 点在 AMLh, BE/ CF, BE=CF 求证：AM是 ABC的中线。证明： BE | CF/ E=

20、Z CFM , / EBM= / FCM BE=CF . BEMA CFMBM=CMAM 是 ABC的中线.27、（10分）如图：在 ABC中，BA=BC D是AC的中点。求证：BD± AG 三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角 ADB和角 CDB相等，它们的和是 180度，所以都是90度，BD垂直AC28、（10分）AB=AC DB=DC F是AD的延长线上的一点。求证： BF=CF 证明：在 ABD与 ACD中AB=ACCBD=DCAD=AD8 / 14ABDAACD/ ADB= / ADC/ BDF= / FDC在 BDF与 FDC中BD=DC/ BDF=

21、 / FDCDF=DFFBDA FCD.BF=FC29、（12 分）如图：AB=CD AE=DF CE=FB 求证：AF=DE因为AB=DCAE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF 因为角DCB=角ABFAB=DC BF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE30.公园里有一条“Z"字形道路ABCD,如图所示，其中AB / CD ,在AB, CD, BC三段路旁各有一只小石凳 E, F, M,且BE=CF, M在BC的中 点，试说明三只石凳 E, F , M恰好在一条直线上.证： AB平行CD （已知）B=/C （两直线平行，内错角相等）

22、. M在BC的中点（已知）EM=FM （中点定义）在 BME和4CMF中BE=CF （已知）/ B=/C （已证）EM=FM （已证）， BME全等与EMB= ZFMCEMF= / EMB+ 性质）CMF （SAS）（全等三角形的对应角相等）/ BMF= / FMC+ / BMF= / BMC=180 （等式的E, M , F在同一直线上31.已知：点A、F、E、C在同一条直线上,AF = CE, BE / DF,BE=DF.求证： ABECDF.cC第2题）10 / 14证明： AF=CE . AF+EF=CE+EF . AE=CF BE/DF/ BEA= / DFC又 BE=DF/ABEI

23、CDF (SAS)32 .已知：如图所示， AB=AD, BC=DC, E、F分别是 DC、BC的中点，求证： AE=AF。连结BD ,得到等腰三角形 ABD和等腰三角形 BDC ,由等腰两底 角相等得：角 ABC二角ADC 在结合已知条彳证得： ADEA ABF 得 AE=AF33 .如图，在四边形 ABCD中，E是 AC上的一点，/ 1=72, / 3=/ 4,求证：/ 5= / 6.因为角1二角2/3=/4所以角ADC= H ABC.又因为AC是公共边，所以 AAS=三角形ADC全等于三角形 ABC.所以BC等于DC ,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以/ 5=7

24、 634 .已知 AB/DE, BC/ZEF, D, C 在 AF 上，且 AD=CF,求证：AABCADEF.因为D,C在AF上且 AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE, BC平行EF所以角A+角EDF,角BCA二角F （两直线平行，内错角相等）然后SSA （角角边）三角形全等F,求证：BE=CD .35 .已知：如图，AB=AC, BD.LAC, CE1AB,垂足分另为 D、E, BD、CE相交于点证明：因为 AB=AC ,所以 / EBC= / DCB因为 BDXAC, CEXAB所以 / BEC= / CDBBC=CB （公共边）则有三角形EBC全等于三角形DCB11 / 14所

25、以BE=CD36、如图，在 ABC中，AD为/ BAC的平分线,求证：DE=DF.AAS 证AD EA ADF37.已知：如图，AC_LBC 于 C , DE _L AC 于 E , AD _LAB角C=角E=90度角8=角EAD=90度-角BACBC=AE ABCDAEAD=AB=538.如图：AB=AC , ME ±AB , MF ± AC ,垂足分别为 E、F, ME=MF。求证：MB=MC证明AB=AC. .ABC是等腰三角形. B=/C又 ME=MF , BEM和 CEM是直角三角形 . BEM 全等TA CEMMB=MC40.在ABC 中，NACB =901 A

26、C = BC ,直线 MN 经过点 C ,且AD _L MN于D , BE _L MN于E .(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：AADC 色 ACEB ; DE = AD + BE ;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由(1)证明：.一/ ACB=90 ,J / ACD+ / BCE=90 ,双而 AD，MN 于 D, BEMN 于 E,/ ADC= / CEB=90 , / BCE+ / CB=90 ,% ./ACD= / CBE.图 1在 RtAADC 和 RtA CEB 中，/ ADC= / CEB / A

27、CD= / CBE AC=CB , RtAADC RtACEB (AAS), AD=CE , DC=BE ,.DE=DC+CE=BE+AD ;(2)不成立，证明：在 ADC 和 CEB 中，/ADC= / CEB=90 / ACD= Z CBE AC=CB ,ADCACEB (AAS), AD=CE , DC=BE , DE=CE-CD=AD-BE ;EAFM13 / 14BC17 / 14AM=AN ; (2) AM LAN。41 .如图所示，已知 A已AB, AF，AC, AE=AB AF=AC 求证：(1) EC=BF (2) Ed BF(1)证明；因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC

28、+角CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF因为 AE=AB AF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F(2) (2)延长FB与EC的延长线交于点 G因为角ECA二角F(已证)所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF42.如图：BEX AC, CFXAB , BM=AC , CN=AB 。求证：(1) 证明：(1) BEXAC , CF± AB / ABM+ / BAC=90 , / ACN+ / BAC=90/ ABM= / ACN BM=AC , CN=ABABM NACAM=AN(2

29、). ABM NAC/ BAM= / N / N+ / BAN=90 / BAM+ / BAN=90即/ MAN=90AM ± AN43 .如图，已知/ A= / D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC / EF 连接BF、CE,证明ABF全等于 DEC (SAS),然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF从而求得BC平行于EF44 .如图，已知AC / BD, EA、EB分别平分/ CAB和/ DBA , CD过点E,则AB与AC+BD相等吗？请说明理由在AB上取点N ,使得AN=AC/ CAE= / EAN ,AE为公共边，所以三角形 CAE全等三角形EAN 所以/ ANE= / ACE又AC平行BD所以/ ACE+ / BDE=180 而/ ANE+ / ENB=180 所以/ ENB= / BDE / NBE= / EBNBE为公共边，所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN所以 AB=AN+BN=AC+BD 45、（10分） 如图,已知：AD是BC上的中线，且DF=DE .求证：BE /CF.证明： AD是中线 BD=CD DF=DE , / BDE= / CDF . BDEA CDF ./ BED= / CFDBE