第三章 点、直线、平面投影

1、3-1 投影法投影法3-2 多面正投影和点的投影多面正投影和点的投影3-3 直线的投影直线的投影第三章第三章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影3-4 平面的投影平面的投影3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置B B投影面投影面图图3-1 3-1 投影法的概念投影法的概念！投影中心投影中心S S( (一一) )投影法的概念投影法的概念b ba a投影投影投影投影空间点空间点A A空间点空间点投射线投射线3-1 投影法投影法( (二二) )投影法的分类投影法的分类1. 中心投影法中心投影法 a ab bc cd dA AB BC CD DS S 2.

2、平行投影法平行投影法 特点特点: : 投影中心与投影面的距离有限投影中心与投影面的距离有限, ,投影线交汇在一点投影线交汇在一点, , 改变物体与投影面改变物体与投影面之间的距离之间的距离, ,相应在投影面上投影大小相应在投影面上投影大小发生变化发生变化; ;投影投影度量性差度量性差。 视觉效果较好视觉效果较好, ,适用于美术、建筑及适用于美术、建筑及工业造型的绘图（画）中。工业造型的绘图（画）中。图3-2 中心投影法斜投影法斜投影法正投影法正投影法当投影中心位于无限当投影中心位于无限远时远时, ,投影线趋于平行投影线趋于平行（1）斜投影法）斜投影法 （2）正投影法）正投影法A AB BC C

3、D Dc ca ab bd dA AB BC CD Da ab bc cd d图3-3 平行投影法斜投影图失真较严重，度量性差 正投影图绘制过程较简单，度量性好 1 . 1 . 从 属 性从 属 性 2 . 2 . 平 行 性平 行 性 3 . 3 . 定 比 性定 比 性 4 . 4 . 积 聚 性积 聚 性 5 . 5 . 保 真 性保 真 性 6 . 6 . 类 似 性类 似 性 特点：特点：正投影图绘制过程简单正投影图绘制过程简单, ,度量性好度量性好. .正投影图具备了平行投影正投影图具备了平行投影图的全部特性图的全部特性, ,并具有并具有积聚性积聚性和和重影重影性性, ,因此被广泛

4、应用于工程的生产和因此被广泛应用于工程的生产和施工施工. .正投影图多数是多面投影图正投影图多数是多面投影图. .关于正投影法与正投影图关于正投影法与正投影图 正投影法是绘制工程图样的主正投影法是绘制工程图样的主要方法，本课程各部分内容均要方法，本课程各部分内容均采用采用正投影法正投影法讨论。讨论。 并将并将”正投影正投影”简称为投影简称为投影. .( (三三) )正投影的特性正投影的特性特性: 注意注意:用投影法所绘用投影法所绘制物体的投影制物体的投影,只画轮只画轮廓廓,不画阴影不画阴影.图图3-4 3-4 从属性从属性Hacdbef12EIFABCIID因为 IEF，所以1 ef因为因为

5、IIIIADAD，所以，所以II II ABCABC因为因为 II II ABC ABC ，所以，所以2 2 abcabc图图3-5 3-5 平行性及定比性平行性及定比性因为因为AB/CD 所以所以ab/cdcbadHABCD因为因为AB/CD 所以所以AB:CD=ab:cd图图3-6 3-6 积聚性积聚性H HABPPa(b)图图3-7 3-7 保真性保真性Ha ab bABPP图图3-8 3-8 类似性类似性HPP 3-2 多面正投影和点的投影多面正投影和点的投影 一、单面正投影一、单面正投影 图图3-10 3-10 物体的单面视图物体的单面视图结论结论:利用单面视图无法确定物体的空间形状

6、利用单面视图无法确定物体的空间形状投投 影影 方方 向向pAA0a投投 影影 方方 向向图图3-9 3-9 点的单面投影点的单面投影VWH图图3-11 3-11 物体的多面投影物体的多面投影二、多面正投影二、多面正投影 建立三面投影体系建立三面投影体系VHW图图3-12 3-12 物体的三视图的形成物体的三视图的形成把投影面看作无限大时把投影面看作无限大时,应应删除其边线删除其边线VHW三、点在两个投影面体系第一分角中的投影三、点在两个投影面体系第一分角中的投影 图图3-13 四个分角的划分四个分角的划分VXO图图3-14点在两面体系中的投影点在两面体系中的投影VAXOaaax xVXOaaa

7、x xHXOaaAHZWaa”azayyOaxxzXYVa(a)四、点在三个投影面体系第一分角中的投影四、点在三个投影面体系第一分角中的投影 （一）点的三面投影的形成（一）点的三面投影的形成XHYwYhaywywaz zWOaaa”Vax xayhyh(b)图图3-15 3-15 点的三面投影的形成点的三面投影的形成三视图投影特点三视图投影特点”长对正长对正”、“高平齐高平齐”“”“宽相等宽相等”的理论依据的理论依据 设空间点设空间点A A的坐标为的坐标为（x,y,z), x,y,z), 则有：则有： a (x,y)a (x,y) a(x,z) a(x,z) a(y,z) a(y,z)（二）点

8、的投影分析（二）点的投影分析图图3-16 3-16 点的投影规律点的投影规律1. 1. 点的投影与坐标的关系点的投影与坐标的关系2. 2. 点的投影规律点的投影规律 aa OZ aa OZ a a OX a a OX aax aax a a”azazaaxayhaywazaa”XZYhYwO长长高高宽宽宽宽（三）由点的二投影求第三投影（三）由点的二投影求第三投影 (1) (1) 坐标法坐标法 (2) 45(2) 45辅助线法辅助线法2. 2. “二求三二求三”方法方法1. 点的三个投影之间的坐标关系点的三个投影之间的坐标关系a(x,z)a”(y,z)a (x,y)图图3-17 3-17 “二求

9、三二求三”的方法的方法(a) 坐标法坐标法(b) 45辅助线法辅助线法xxyyxYwYHozaa”aaaa”ozxYwYH45图图3-18 3-18 空间点的重建法空间点的重建法(a) (a) 坐标法坐标法(b) (b) 逆投影线法逆投影线法已知点已知点A的坐标或投影，在大脑中进行的坐标或投影，在大脑中进行 （四）、四）、空间点的重建方法空间点的重建方法VWHZOXYZOVHXYAAaa”aW（五）、两点的相对位置（五）、两点的相对位置图图3-19 3-19 相对坐标定义相对坐标定义OX XZ Zy yX Xy yZ Zaba”b”ab45YwYH重影点重影点VHZ ZY YX XO OA A

10、B Ba ab ba a(b(b) )a a”b b”图图3-20 3-20 特殊位置点及重影点特殊位置点及重影点特殊位置的点特殊位置的点(A)(B)( (六六) ) 特殊位置点及重影点特殊位置点及重影点VHZ ZY YX XO OA A(x,0,z)B B(0,y,0)C C(0,0,0)O前前前前下下左左图图3-21 3-21 利用相对坐标作图利用相对坐标作图例例3-13-1已知点已知点A A的投影，且知点的投影，且知点B B在在A A的左方的左方1010、下方、下方1515及前方及前方1212，试作出，试作出点点B B的投影。的投影。YwYwY YH Ha”a”aaa abb”b图图3-

11、22 3-22 无轴投影无轴投影 从图从图3-213-21的作的作图过程中可以发图过程中可以发现，在使用相对现，在使用相对坐标作图时，投坐标作图时，投影轴（图中以红影轴（图中以红色粗实线示出）色粗实线示出）实质上并未起作实质上并未起作用，若将其删除用，若将其删除，即成无轴投影，即成无轴投影。（七）、无轴投影（七）、无轴投影a”a”aab”b”b ba abb例例3-2:3-2:试求出试求出A A、B B、C C各点的第三投影。各点的第三投影。 图图3-23 3-23 无轴投影作图无轴投影作图aaa”bb”bccc”一一.直线及直线上的点投影特性直线及直线上的点投影特性若点若点K直线直线AB,则

12、有：则有： 1.从属性从属性 kab , , kab , , kab2.定比性定比性 ak:kb = ak: kb= ak: kb ak: kb= ak: kb = AK:KB 一般情况下，直线的投影仍为直线。由于两点决定一直线，因而只要作出直线上任意两点（通常为直线段的端点）的投影，并将其同面投影用粗实线连线，即可确定直线的投影。( (二二) )直线上的点投影特性直线上的点投影特性3-3 3-3 直线的投影直线的投影（一）直线投影的确定（一）直线投影的确定（a a）（b b）图图3-24 3-24 直线上点的投影直线上点的投影从属性从属性: 因为因为K AB，所以：所以：kab , kab

13、, kab定比性定比性: ak:kb = ak: kbak: kb= ak: kb= AK:KBakbka”k”b”abWVHaaa”kk”kbAKBb”b图3-25 判断点是否属于直线结论：结论：点K不属于直线AB例例3-3 3-3 判断点判断点K K与直线的相对位置与直线的相对位置aa”abb”bkkk”二、二、直线对投影面的相对位置及投影特性直线对投影面的相对位置及投影特性直线一般位置直线投影面的平行线投影面的垂直线投影面的平行线投影面的平行线正平线正平线水平线水平线侧平线侧平线特殊位置直线正垂线铅垂线侧垂线投影面的垂直线投影面的垂直线图图3-26 3-26 直线投影的确定直线投影的确定

14、 XYZXYwYHZOOABaba”b”abb”a”abab定义定义: :直线与直线与V V面倾角为面倾角为, , 与与H H面面倾角为倾角为 ; ; 与与W W面倾角为面倾角为. .一般位置直线一般位置直线图图3-27 3-27 直线投影实例直线投影实例想一想想一想ABAB的投影的投影在在 ? ?ABbab”a”ba表表3-1 3-1 投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性 水平线水平线正平线正平线侧平线侧平线名称名称实例实例投影图投影图特性特性1. ab为斜线为斜线ab=AB2. ab OXab?AB3. a”b” OYwa”b”?AB1. ab为斜线为斜线ab=AB2. ab OX

15、ab?AB3. a”b” OZa”b”?AB3. ab OYHab?AB2. ab OZab?AB1. a”b”为斜线为斜线a”b”=ABaaaaa”a”a”aaaabbbbb”b”bbb”b”a”a”a”b”b”ABBABAaaabbbaabbb表表3-2 3-2 投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性名称名称实例实例投影图投影图特性特性铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线ab积聚为一点积聚为一点 ab OXab=AB a”b”OYwa”b”=ABac积聚为一积聚为一点点 a”c” OZa”c”=AC acOXac=ACa”d”积聚为一积聚为一点点 ad OYHad=AD ad OZa

16、d=ADaaa(c)c”a”a”aaaa(b)adbab”dbc”a”(d”)a”a”b”Ba(c)cda”(d”)adca(b)ACD实例实例三、三、两直线的相对位置两直线的相对位置1.1.两直线平行两直线平行 空间两直线有三种不同的相对位置空间两直线有三种不同的相对位置 两直线的基本位置关系有平行、相交、交叉，而两直线的基本位置关系有平行、相交、交叉，而垂直垂直( (也称也称正交）正交）则是内含于基本关系则是内含于基本关系( (指相交）中的一种特殊情况。指相交）中的一种特殊情况。平行两直线的同面投影均相互平行。平行两直线的同面投影均相互平行。(C)(A)ABCDabcdHoX(B)ZYwY

17、Haaa”bcdbcdb”c”d”图图3-28 平行两直线平行两直线平行平行相交相交同平直线同平直线异平直线异平直线交叉交叉两平行直线构成的平面垂直于投影面两平行直线构成的平面垂直于投影面ABCDcdd”abcdc”b”a”abVWH图图3-29 3-29 两平行直线构成平面的特殊位置投影两平行直线构成平面的特殊位置投影2.2.两直线相交两直线相交相交两直线的同面投影均相交，且其交点必满足点的投影规相交两直线的同面投影均相交，且其交点必满足点的投影规律。律。(A)ACDBHKabcdkaaa”dkbcXYwYHdcbkXOd”(B)b”c”k”( C )图图3-30 相交两直线相交两直线 交叉

18、两直线既不满足交叉两直线既不满足平行平行两直线的投影规律，也不满足两直线的投影规律，也不满足相相交交两直线的规律。两直线的规律。 3.3.两直线交叉两直线交叉图图3-31 3-31 交叉两直线交叉两直线交叉（两异交叉（两异面直线）面直线）abcde(f)abdcefO图图3-32 3-32 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置 I I结论： 两直线交叉例例3-4 3-4 判断两直线判断两直线ABAB和和CDCD的相对位置的相对位置 abcdabcdb”a”c”d”O图3-33 判断两直线的相对位置结论： 两直线交叉 例例3-5 3-5 判断两直线判断两直线和和的相对位置的相对位置图图3-3

19、4 3-34 一边为水平线的直角的投影一边为水平线的直角的投影(C)(A)(B)两直线垂直两直线垂直(正交正交)4.4.两直线垂直两直线垂直直角投影定理：直角投影定理： 若若两直线垂直且其中两直线垂直且其中一直线平行于某投一直线平行于某投影面，则它们在该影面，则它们在该投影面上的投影面上的投影投影仍仍然垂直。然垂直。ABCabcHabcabcXO3- 4 平面的投影平面的投影（一）平面的表示方法（一）平面的表示方法图图3-35 3-35 平面的投影表示平面的投影表示在投影理论中，只需将上述诸方式在投影理论中，只需将上述诸方式简单地转换成投影简单地转换成投影方式，即可实现平面方式，即可实现平面的

20、投影表示。的投影表示。在立体几何中在立体几何中,确定确定平面的方式有五种平面的方式有五种不在一直线上的三点不在一直线上的三点(A)acbacbOXb直线及线外一点直线及线外一点(B)acOXbac相交两直线相交两直线(C)XOacbabcd平行两直线平行两直线(D)abcabcdOXX任意的平面图形任意的平面图形(E)Oabccba特殊位置平面特殊位置平面（二）平面的分类及其投影特性（二）平面的分类及其投影特性一般位置平面一般位置平面投影面的平行面投影面的平行面投影面的垂直面投影面的垂直面平面平面图图3-36 3-36 一般位置平面的投影一般位置平面的投影定义：平面与定义：平面与V V面夹角为

21、面夹角为 ,H,H面夹角为面夹角为 ;W;W面夹角为面夹角为 (a)Sabcabcb”c”a”BAC(b)ZXOYwYHa”aacbc”b”cb表表3-3 3-3 投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性投影面的平行面投影面的平行面正平面正平面水平面水平面侧平面侧平面投影图投影图名称名称特性特性实例实例正平面 P P具有积聚性，且POYH P”具有积聚性，且P”OYW具有保真性水平面侧平面 P具有保真性 P具有积聚性，且POZ且P”OZ P”具有积聚性， P”具有保真性 P具有积聚性，且POX P具有积聚性，且POXPP”PP”P”PPPPPPPPP”PPP”PP”PP表表3-4 3-4

22、投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性投影面的垂直面投影面的垂直面正垂面正垂面 铅垂面铅垂面侧垂面侧垂面 P具有积聚性具有积聚性，且为一斜线且为一斜线. P及及P”为缩小为缩小的类的类似形似形.正垂面名称名称实例实例投影图投影图特性特性铅垂面侧垂面 P具有积聚性，具有积聚性，且为一斜线且为一斜线. P及及P”为缩小为缩小的的类似形类似形. P”具有积聚性具有积聚性，且为一斜线且为一斜线. P及及P为缩小为缩小的类的类似形似形.PPP”PP”PPPPP”P”PPPPP”PPPPP”（三）（三）平面上的点和直线平面上的点和直线若点属于平面内一直线，则该点属于该平面若点属于平面内一直线，则该点

23、属于该平面2.平面上的直线平面上的直线1.平面上的点平面上的点直线属于平面应满足下列条件之一：直线属于平面应满足下列条件之一：（1）过平面上的两点。）过平面上的两点。（2）过平面内一点且平行于平面内一直线。）过平面内一点且平行于平面内一直线。从属性判断从属性判断图图3-37 3-37 平面上的直线和点平面上的直线和点( C )( C )( b )( b )( a )( a )F AFAFAF BCAF BCAFABCF FABCABCABCDFEXOabcefdbacdefO图图3-38 3-38 平面上的点、线的作图及判断平面上的点、线的作图及判断 已知直线已知直线MNMN属于平属于平面面A

24、BCABC，求，求MNMN的正面的正面投影投影mnmn；判断点；判断点K K是否属于平面是否属于平面ABCABC。K ABCK ABC例例3-6 平面内点线的作图及判断问题平面内点线的作图及判断问题.kkbacbacmnfdenmfed（四）（四）圆的投影圆的投影ZXYWYHO图图3-39 水平圆的投影水平圆的投影图图3- 40 正垂圆的投影正垂圆的投影VHXO(a)立体图立体图(b)投影图投影图无论在空间还是在投影图中，立体与其表面的几何要素无论在空间还是在投影图中，立体与其表面的几何要素的关系都是非常密切的，尤其对平面立体更是如此。探讨的关系都是非常密切的，尤其对平面立体更是如此。探讨几何

25、要素的投影是为了更好地解决立体的投影问题。以下几何要素的投影是为了更好地解决立体的投影问题。以下将讨论直线、平面几何要素间的将讨论直线、平面几何要素间的相对相对投影特性。投影特性。 3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置 ( (一一) ) 直线与平面的相对位置直线与平面的相对位置直线与平面间的基本位置关系有直线与平面间的基本位置关系有平行平行和和相交相交，而，而垂直垂直则是则是相交相交的特殊情况。的特殊情况。1.直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于平面的几何条件为：直线平行于平面内一直线。如果直线直线平行于平面的几何条件为：直线平行于平面内一直线。如果

26、直线与投影面的与投影面的垂直面平行垂直面平行，那么，在相应的投影面上，两者的，那么，在相应的投影面上，两者的投影投影也也平行平行。( a )( a )ABCDPO( b )( b )abcdpabcdp图图3-41 3-41 直线与平面平行直线与平面平行( C )( C )AB核心问题为求交点。核心问题为求交点。图图3-42 3-42 直线与平面相交直线与平面相交( b )( b )( a )( a )( C )( C )KABKPpabkpabk2.直线与平面相交直线与平面相交XOO O图图 3-43 3-43 直线与平面垂直直线与平面垂直( b )( b )( a )( a )( c )( c )ABPABPXpababp3.直线与平面垂直直线与平面垂直 直线