信号与系统(09)2

1、1二、奇异信号二、奇异信号 奇异函数（或信号）：通常指函数本身或其导数或积分奇异函数（或信号）：通常指函数本身或其导数或积分有不连续点的函数（或信号）有不连续点的函数（或信号）1. 单位斜坡（变）信号单位斜坡（变）信号00( )0tr ttt22.2.单位阶跃函数单位阶跃函数u(t)u(t)1）阶跃函数）阶跃函数u(t)u(t)的定义的定义注意：注意：t=0处的函数值处的函数值不定义或规定为不定义或规定为1/2延迟单位阶跃函数延迟单位阶跃函数 0100tttu00010ttttttu32）阶跃函数的物理意义）阶跃函数的物理意义 tu ttutfsin 22tututg4例例1 1：写出图所示波

2、形的函数表示式：写出图所示波形的函数表示式 思考题：思考题：costu(cost)的波形。的波形。0 0t tf f 3(t t)111 11tututtf 12ttutf 的波形图画出123tutf53. 3. 冲激函数冲激函数d d(t)(t)1）冲激函数的物理意义）冲激函数的物理意义某些物理现象需要用一个作用时间极短，取值极大而效某些物理现象需要用一个作用时间极短，取值极大而效果有限的数学模型来表示，冲激函数就是描述这类物理果有限的数学模型来表示，冲激函数就是描述这类物理现象的数学模型。现象的数学模型。如力学中的冲击力，作用力如力学中的冲击力，作用力F很大，作用时间很大，作用时间D Dt

3、 很短而很短而冲量冲量F D Dt为有限值。为有限值。又如电路中电容电压发生跃变时电流极大，时间极短而又如电路中电容电压发生跃变时电流极大，时间极短而给予电容的电荷为有限值。给予电容的电荷为有限值。62）单位冲激函数的定义）单位冲激函数的定义（有不同的定义方法）（有不同的定义方法）a. 矩形脉冲取极限矩形脉冲取极限(也可以用其他规则函数取极限定义也可以用其他规则函数取极限定义)矩形脉冲可看作一种作用效果矩形脉冲可看作一种作用效果(面积面积)一定，作用时间与一定，作用时间与作用力的大小成反比的物理现象的数学模型。作用力的大小成反比的物理现象的数学模型。 221lim0dtutut7b. 狄拉克定

4、义狄拉克定义 ( )0 0( )1ttt dtdd这种定义从数学的这种定义从数学的角度并不严格角度并不严格c. 用广义函数定义用广义函数定义( ) ( )( ) ( )g tt dtN g tt其中其中 g(t )为广义函数为广义函数 (t ) 为连续且具有任意阶导数的普通函数，称检验为连续且具有任意阶导数的普通函数，称检验函数函数其含意为：一个广义函数其含意为：一个广义函数g(t )是对是对检验函数空间中每个函数检验函数空间中每个函数 (t )赋予赋予一个数值一个数值N的映射的映射广义函数定义的规定表示广义函数定义的规定表示方法，不能理解为一般的方法，不能理解为一般的积分运算。积分运算。8用

5、广义函数概念定义用广义函数概念定义d d(t)( ) ( )(0)tt dtd严格定义严格定义 可看出可看出d d(t)作用于检验函数作用于检验函数 (t )的效果是的效果是:给给 (t )赋予赋予 (0)的值，即从的值，即从 (t )中选出中选出t=0时刻的函数值时刻的函数值 (0) d. 延时单位冲激函数的定义延时单位冲激函数的定义000 ()0 ()1ttttttdtdd93 3） 冲激函数冲激函数d d(t)(t)的性质的性质 注：在广义函数定义下注：在广义函数定义下d d(t)及其及其各阶导数符合普通函数的运算规则各阶导数符合普通函数的运算规则(1)与普通函数与普通函数f f(t)相

6、乘相乘( )( )f ttd(0) ( )ftd(2)取样性（抽样性）取样性（抽样性）（1 -1）（1-2）( ) ( )f tt dtd(0)f 00ftttt设为任意有界函数，且在或处连续，则有0( ) ()f tttd00( ) ()f tttd 00ftttt设是在或处连续，则有0( ) ()f tttdtd0()f t210( ) ()ttf tttdtd01020()0f ttttt不在上述区间10(3)(3)尺度变换尺度变换1()( )0ttad d为常数，且（1 -3）证明略证明略推论：推论： 00001()()01()()tatttaaatattt dtaaddd（4 4）奇

7、偶性）奇偶性证明略证明略 ()( ) ttdd偶函数（1 -4）11（5 5） d d(t)(t)与与u(t)(t)的关系的关系注意：若信号的函数值有跳变，则信号在跳变点处注意：若信号的函数值有跳变，则信号在跳变点处 的导数为冲激信号，其冲激强度为信号在跳的导数为冲激信号，其冲激强度为信号在跳 变点的跳跃值。变点的跳跃值。说明：可认为在函数跳变点处也存在导数，即可对说明：可认为在函数跳变点处也存在导数，即可对 不连续函数进行微分。不连续函数进行微分。 dxxtutd 0010ttdxxtd tudtdtd12例例2：求图所示：求图所示f f (t)的导数的导数f f (t) 总结：总结： 按广

8、义函数的概念，分段连续函数按广义函数的概念，分段连续函数f f (t)在在 ( , ) 范围内导数均存在。范围内导数均存在。f f (t)的各连续段的导数仍为常义导数，用的各连续段的导数仍为常义导数，用f f c(t)表示表示()()()iiif tf tttd间断点处的导数：间断点处的导数：法二：写出函数表达式，在对其求导法二：写出函数表达式，在对其求导法一：直接由图画出法一：直接由图画出13例例3：分别计算下列各式：分别计算下列各式23) (1)tetd-sint4) ( )tt dtd1) 2( )ttd2) 1+2(22)ttd22-35) (4)tetdtd4 冲激偶信号冲激偶信号d

9、 d(t)1)定义：冲激信号定义：冲激信号d d(t)对时间的导数定义为冲激偶对时间的导数定义为冲激偶 信号，简称为冲激偶，用信号，简称为冲激偶，用 表示表示（1 -1）( )( )dttdtdd td14可由三角脉冲利用规则函数取极限的方法得出可由三角脉冲利用规则函数取极限的方法得出( )( )ttx dxdd( )( )dttdtdd22( )( )dttdtd( )0t dtd150( )()f tttd0000( )()( ) ()f tttf tttdd0( )()f tttdtd（1 -2）（1 -4）（1-3）（1-1）0( )ft2) 冲激偶的性质冲激偶的性质(1)与普通函数与

10、普通函数f f(t)相乘相乘(2)取样性（抽样性）取样性（抽样性） 00ftttt设为任意有界函数，且在或处连续，则有( )( )f ttd(0)( )(0) ( )ftftdd( )( )f tt dtd(0)f(3)(3)尺度变换尺度变换1()( )0attaa add为常数，且（1 -5）16（1 -7）（1 -8）（4 4）奇偶性）奇偶性（1 -6）( )( )ttx dxdd( )( )dttdtdd( )0t dtd 的关系、与tuttdd5 tudtdt22d 奇函数ttdd17( )( )( 1)(0)nnnf tt dtfd ()( 1)( ) nnnttdd 当当n=2,4

11、,6 ,8偶函数偶函数当当n=1,3,5 ,7奇函数奇函数 ( ) t( ) nnndtntdtddd令：的 阶导数 ttnnndd11181) ( )tetd-2) (1)( )tt dtd例例4：分别计算下列各式：分别计算下列各式t-3) ( )edd 三、三、 基本离散信号基本离散信号1）单位冲击函数）单位冲击函数d d(k) 又称单位样值又称单位样值(或单位取样或单位取样)函数函数1 0 0 0kkkda. a. 定义定义0( )()f tttd0000( )()( ) ()f tttf tttdd( )( )f ttd(0)( )(0) ( )ftftdd191 c. 0 kikikid b. td与的 区 别( )( ) ()f kkif ikiddd. ( ) kd的取样性质 ( )(0) ( )f kkfkdd202）单位阶跃序列单位阶跃序列u(k)d. d d(k)与与u(u(k k) )的关系的关系注意：注意： (k)在在k=0处有定义处有定义a. a. 定义定义 0100kkkuikikikuc10. 的区别与tub. kijijkkukukukddd01213）单边指数序列单边指数序列 为整数为实数，kkuekfk0224）正弦序列）正弦序列00020( )ssin(2) sin() f kinkkmkm0 称为正弦